1. SŁUP

Niniejsze obliczenia dotyczą słupa w osiach 2/D w najniższej kondygnacji (słup najbardziej wytężony).

Zostały dobrane dwa przekroje obliczeniowe – górny oraz dolny, które w dalszej części obliczeń są nazywane jako górna i dolna część słupa.

1. Dane wejściowe

   1. Wymiary przekroju

b = h = 0,35 m

c_nom=3,5

Wstępnie przyjęto φ=10 mm

a₁ = a₂ = 3,5+φ/2=4 cm d =0,31 m

l_col = 3,8 m (wysokość od spodu stropu do wierzchu stopy fundamentowej)

l_c,y = l_c,z = 0,7 x l_col = 0,7 x3,8 m = 2,66 m

1. Dane materiałowe

Beton C30/37

f_ck = 30 Mpa = 3$\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}}$ – wytrzymałość char. na ściskanie

f_cd = f_ck/γ_c =30/1,5 = 20 Mpa =2 $\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}}$ – wytrzymałość obl. na ściskanie

E_cm = 32 GPa – moduł sprężystości betonu

φ_∞,t0 = 2,0

Stal A-III-N

f_yk = 500 MPa – char. granica plastyczności stali

f_yd = f_yk/ γ_c = 500/1,15 = 434,78 MPa = 43,478$\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}}$– obl. granica plastyczności stali

E_s = 200 GPa – moduł sprężystości stali

ξ_eff,lim = 0,493 – względna graniczna wysokość strefy ściskanej

1. Zestawienie obciążeń

Układ wykonstruowano w programie za pomocą dwóch oddzielnych ram na kierunku y oraz kierunku z.

Uwzględniowo obciążenie śniegiem, obciążenie użytkowe oraz ciężar własny konstrukcji.

Obciążenie użytkowe rozłożono na całym układzie tak, aby otrzymać siły ekstremalne.

komb Nmax	Nmax	Mydp	Mzodp
głowica	1549,33	-14,49	-14,78
podstawa	1549,33	6,32	10,73
komb Mmax	Nodp	Mymax	Mzodp
głowica	1513,60	-28,50	-86,53
podstawa	1513,60	14,40	45,12

Obliczenie momentu M_E,qp

$Pk = 1,9\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}\ $ $\text{\ G}k = 8,82\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$

$\eta = \frac{Pk}{Gk} = 0,22$

ψ₂=0,8 γ_Gsup=1,35 γ_Q=1,5

$$M_{0Eqp,y,z} = M_{0Ed,y,z}*\left( 1 + \psi_{2}*\frac{\eta}{\gamma_{\text{Gsup}}} + \gamma_{Q}*\eta \right) = M_{0Ed,y,z}*\left( 1 + 0,8*\frac{0,22}{1,35} + 1,5*0,22 \right) = M_{0Ed,y,z}*0,701$$

1. Smukłość słupa

Do policzenia smukłości użyto współczynników zalecanych przez normę. Z uwagi na to, że dane współczynniki zmieniają wartość w zależności od tego, jaką wartość mają momenty dla danej kombinacji i dla danego przekroju, w sytuacji przyjęcia gotowej wartości smukłość słupa jest taka sama w obu kierunkach i zależy tylko od siły Nmax, która wpływa na wartość współczynnika n oraz zmienia swoją wartość w zależności od kombinacji.

$$\phi_{\text{ef}} = \phi_{\bowtie ,t0}*\frac{M_{0Eqp,y,z}}{M_{0Ed,y,z}} = 2,0*0,701 = 1,40$$

$$A = \frac{1}{1 + 0,2*\phi_{\text{ef}}} = \frac{1}{1 + 0,2*1,40} = 0,781$$

B = 1, 10               C = 0, 70

$$\lambda_{y,z} = \frac{l_{c,y,z}}{b}*\sqrt{12} = \frac{2,66}{0,35}*\sqrt{12} = 26,33$$

Dla kombinacji Nmax:

$$n = \frac{N_{\text{Ed}}}{b \times h \times f_{\text{cd}}} = \frac{1549,33}{35 \times 35 \times 2,00} = 0,632$$

$$\lambda_{lim,y,z} = \frac{20 \times ABC}{\sqrt{n}} = \frac{20 \times 0,781 \times 1,1 \times 0,7}{\sqrt{0,632}} = 15,13$$

Dla kombinacji Mmax:

$$n = \frac{N_{\text{Ed}}}{b \times h \times f_{\text{cd}}} = \frac{1513,60}{35 \times 35 \times 2,00} = 0,618$$

$$\lambda_{lim,y,z} = \frac{20 \times ABC}{\sqrt{n}} = \frac{20 \times 0,781 \times 1,1 \times 0,7}{\sqrt{0,618}} = 15,30$$

Dla obu kombinacji:

λ_y, z > λ_{lim, y, z} - oznacza to, że należy uwzględnić efekty II rzędu w dalszych obliczeniach

1. Zbrojenie minimalne

kombinacja Nmax

$$A_{s1,min} = A_{s2,min} = {0,5*A}_{s,m\text{in}} = max\left\{ \begin{matrix} \frac{0,05*N_{\text{Ed}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{0,05*1549,33}{434,78} = 1,78cm^{2} \\ 0,0015*35*35 = 1,84cm^{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

kombinacja Mmax

$$A_{s1,min} = A_{s2,min} = {0,5*A}_{s,min} = max\left\{ \begin{matrix} \frac{0,05*N_{\text{Ed}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{0,05*151360}{434,78} = 1,74cm^{2} \\ 0,0015*35*35 = 1,84cm^{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

ostatecznie:

A_s1, min = A_s2, min = 0, 5 * A_s, min = 1, 84cm²

1. Zbrojenie

   1. Zbrojenie górnej części słupa

przykładowe obliczenia zbrojenia dla kombinacji Nmax na kierunku y-y:

komb Nmax	Nmax	Mydp	Mzodp
głowica	1549,33	14,49	14,78

mimośród konstrukcyjny:

$$e_{e} = \frac{M_{Ed,y}}{N_{\text{Ed}}} = \frac{14,49}{1549,33} = 0,0094m$$

$$e_{a} = max\left\{ \begin{matrix} \frac{l_{c,y}}{400} = \frac{2,66}{400} = 0,0067\ m \\ \frac{b}{30} = \frac{0,35}{30} = 0,0117\ m \\ 0,02\ m \\ \end{matrix} \right.\ = 0,02m$$

mimośród I rzędu:

e₀ = e_e + e_a = 0, 0094 + 0, 02 = 0, 0294 m

współczynnik η (wstępnie przyjęto 1,1)

η = 1, 3 - wartość przyjęta po wykonaniu iteracji

mimośród II rzędu (całkowity):

e_tot = η * e₀ = 1, 3 * 0, 0294 = 0, 0382m

mimośród działania siły N_Ed względem zbrojenia As1:

e_s1 = 0, 5 * b + e_tot − a₁ = 0, 5 * 0, 35 + 0, 0382 − 0, 04 = 0, 173 m

e_s2 = 0, 5 * b − e_tot − a₂ = 0, 5 * 0, 35 − 0, 0382 − 0, 04 = 0, 097m

założenie dużego mimośrodu:

$$A_{s2} = \frac{N_{\text{Ed}}*e_{s1} - \xi_{eff,lim}*b*d^{2}*f_{\text{cd}}*(1 - 0,5*\xi_{eff,lim})}{f_{\text{yd}}*(d - a_{2})}$$

$$A_{s2} = \frac{1549,33*17,3 - 0,493*35*31^{2}*2*\left( 1 - 0,5*0,493 \right)}{43,478*\left( 31 - 4 \right)} = - 4,067cm^{2}$$

A_s2 < A_s2, min = 1, 84cm²

należy przyjąc zbrojenie minimalne – przyjmuję 2 pręty o średnicy 16mm:

A_s2, prov = 2 * A_2⌀16 = 4, 02cm²

w sytuacji gdy A_s2 < A_s2, min:

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{N_{\text{Ed}}*e_{s1} - A_{s2,prov}*f_{\text{yd}}*(d - a_{2})}{b*d^{2}*f_{\text{cd}}} = \frac{1549,33*17,3 - 4,02*43,478*(31 - 4)}{35*31^{2}*2,0} = 0,329$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,329} = 0,415$$

x_eff = ξ_eff * d = 0, 415 * 31 = 12, 853cm > 2 * a₂ = 8cm

w takiej sytuacji As1 wyznaczamy następująco:

$$A_{s1} = \frac{\xi_{\text{eff}}*b*d*f_{\text{cd}} - N_{\text{Ed}}}{f_{\text{yd}}} + A_{s2,prov} = \frac{0,415*35*31*2 - 1549,33}{43,478} + 4,02 = - 10,922cm^{2}$$

A_s1 < 0 - oznacza to przypadek małego mimośrodu, konieczne określenie rzeczywistej strefy ściskanej i wyznaczenie As2 na nowo:

$$\xi_{\text{eff}} = \frac{a_{2}}{d} + \sqrt{\left( \frac{a_{2}}{d} \right)^{2} + \frac{2{*N}_{\text{Ed}}*e_{s2}}{f_{\text{cd}}*b*d^{2}}} = \frac{4}{31} + \sqrt{\left( \frac{4}{31} \right)^{2} + \frac{2*1549,33*9,7}{2*35*31^{2}}} = 0,809$$

ξ_eff, lim = 0, 493 < ξ_eff < 1, 0

$$A_{s2} = \frac{N_{\text{Ed}} - \xi_{\text{eff}}*b*f_{\text{cd}}*d}{f_{\text{yd}}} = \frac{1549,33 - 0,809*35*2*31}{43,478} = - 4,756cm^{2}$$

(As1 oraz As2 wyszły ujemne, co wskazuje na to, że słup jest zbyt duży i zbrojenie obliczniowo nie jest potrzebne, można więc przekrój zmniejszyć.)

przyjęto zbrojenie minimalne:

A_s2, prov = A_s1, prov = 2 * A_2⌀16 = 4, 02cm²

pozostałe obliczenia na kierunku y-y oraz z-z dla obu kombinacji przeprowadzono tak samo

w przypadku As1>0 pozostawiono wstępnie przyjęte As2prov i przyjęto odpowiednie As1prov

zestawienie wyników w tabeli

ZBROJENIE GÓRNEJ CZĘŚCI SŁUPA
obc.
komb. Nmax
komb. Mmax
obc.
komb. Nmax
komb. Mmax

1. Zbrojenie dolnej części słupa

przykładowe obliczenia zbrojenia dla kombinacji Nmax na kierunku y-y:

komb Nmax	Nmax	Mydp	Mzodp
podstawa	1549,33	6,32	10,73

mimośród konstrukcyjny:

$$e_{e} = \frac{M_{Ed,y}}{N_{\text{Ed}}} = \frac{6,32}{1549,33} = 0,004m$$

$$e_{a} = max\left\{ \begin{matrix} \frac{l_{c,y}}{400} = \frac{2,66}{400} = 0,0067\ m \\ \frac{b}{30} = \frac{0,35}{30} = 0,0117\ m \\ 0,02\ m \\ \end{matrix} \right.\ = 0,02m$$

mimośród I rzędu:

e₀ = e_e + e_a = 0, 004 + 0, 02 = 0, 024 m

współczynnik η (wstępnie przyjęto 1,1)

η = 1, 3 - wartość przyjęta po wykonaniu iteracji

mimośród II rzędu (całkowity):

e_tot = η * e₀ = 1, 3 * 0, 024 = 0, 031m

mimośród działania siły N_Ed względem zbrojenia As1:

e_s1 = 0, 5 * b + e_tot − a₁ = 0, 5 * 0, 35 + 0, 031 − 0, 04 = 0, 166 m

e_s2 = 0, 5 * b − e_tot − a₂ = 0, 5 * 0, 35 − 0, 031 − 0, 04 = 0, 104m

założenie dużego mimośrodu:

$$A_{s2} = \frac{N_{\text{Ed}}*e_{s1} - \xi_{eff,lim}*b*d^{2}*f_{\text{cd}}*(1 - 0,5*\xi_{eff,lim})}{f_{\text{yd}}*(d - a_{2})}$$

$$A_{s2} = \frac{1549,33*16,6 - 0,493*35*31^{2}*2*\left( 1 - 0,5*0,493 \right)}{43,478*\left( 31 - 4 \right)} = - 4,749cm^{2}$$

A_s2 < A_s2, min = 1, 84cm²

należy przyjąc zbrojenie minimalne – przyjmuję 2 pręty o średnicy 16mm:

A_s2, prov = 2 * A_2⌀16 = 4, 02cm²

w sytuacji gdy A_s2 < A_s2, min:

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{N_{\text{Ed}}*e_{s1} - A_{s2,prov}*f_{\text{yd}}*(d - a_{2})}{b*d^{2}*f_{\text{cd}}} = \frac{1549,33*16,6 - 4,02*43,478*(31 - 4)}{35*31^{2}*2,0} = 0,313$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,313} = 0,388$$

x_eff = ξ_eff * d = 0, 415 * 31 = 12, 035cm > 2 * a₂ = 8cm

w takiej sytuacji As1 wyznaczamy następująco:

$$A_{s1} = \frac{\xi_{\text{eff}}*b*d*f_{\text{cd}} - N_{\text{Ed}}}{f_{\text{yd}}} + A_{s2,prov} = \frac{0,388*35*31*2 - 1549,33}{43,478} + 4,02 = - 12,238cm^{2}$$

A_s1 < 0 - oznacza to przypadek małego mimośrodu, konieczne określenie rzeczywistej strefy ściskanej i wyznaczenie As2 na nowo:

$$\xi_{\text{eff}} = \frac{a_{2}}{d} + \sqrt{\left( \frac{a_{2}}{d} \right)^{2} + \frac{2{*N}_{\text{Ed}}*e_{s2}}{f_{\text{cd}}*b*d^{2}}} = \frac{4}{31} + \sqrt{\left( \frac{4}{31} \right)^{2} + \frac{2*1549,33*10,4}{2*35*31^{2}}} = 0,832$$

ξ_eff, lim = 0, 493 < ξ_eff < 1, 0

$$A_{s2} = \frac{N_{\text{Ed}} - \xi_{\text{eff}}*b*f_{\text{cd}}*d}{f_{\text{yd}}} = \frac{1549,33 - 0,832*35*2*31}{43,478} = - 5,896cm^{2}$$

(As1 oraz As2 wyszły ujemne, co wskazuje na to, że słup jest zbyt duży i zbrojenie obliczniowo nie jest potrzebne, można więc przekrój zmniejszyć.)

przyjęto zbrojenie minimalne:

A_s2, prov = A_s1, prov = 2 * A_2⌀16 = 4, 02cm²

pozostałe obliczenia na kierunku y-y oraz z-z dla obu kombinacji przeprowadzono tak samo

zestawienie wyników w tabeli

ZBROJENIE DOLNEJ CZĘŚCI SŁUPA
obc.
komb. Nmax
komb. Mmax
obc.
komb. Nmax
komb. Mmax

1. Zestawienie ostatecznie przyjętego zbrojenia

przekrój	kier	As2prov [cm^2]	As1prov [cm^2]
górny	y-y	2∅16	4,02
	z-z	2∅16	4,02
dolny	y-y	2∅16	4,02
	z-z	2∅16	4,02

1. Sprawdzenie poprawności współczynnika η

$$k_{1} = \sqrt{\frac{f_{\text{ck}}}{20}} = \sqrt{\frac{30}{20}} = 1,225$$

$$n = \frac{N_{\text{Ed}}}{A_{c}*f_{\text{ck}}} = \frac{1549,33}{30*30*3} = 0,4216$$

$$k_{2} = min\left\{ \begin{matrix} n*\frac{\lambda}{170} = 0,4216*\frac{26,33}{170} = 0,0653 \\ 0,2 \\ \end{matrix} = \right.\ 0,653$$

ϕ_ef = 1, 40

$$K_{c} = \frac{k_{1}*k_{2}}{1 + \Phi_{\text{ef}}} = \frac{1,225*0,653}{1 + 1,40} = 0,0333$$

$$E_{\text{cd}} = \frac{E_{\text{cm}}}{\gamma_{\text{CE}}} = \frac{32000}{1,2} = 26,67*10^{6}\text{kPa}$$

$$I_{c} = \frac{h*b^{3}}{12} = \frac{0,35*{0,35}^{3}}{12} = 0,0012505\ \lbrack m^{4}\rbrack$$

E_s = 200 * 10⁶ kPa

przekrój górny na kier. y-y oraz przekrój dolny na kier. y-y oraz z-z:

I_s = A_s1 * (0, 5 * b − a)² + A_s2 * (0, 5 * b − a)² = =4, 02 * (0, 5 * 35 − 4)² + 4, 02 * (0, 5 * 35 − 4)² = 1465, 29cm⁴

EI = K_C * E_cd * I_c + E_s * I_s = 0, 0333 * 26, 67 * 10⁶ * 0, 0012505 + 200 * 10⁶ * 1465, 29 * 0, 01⁴ = 4041, 01  kNm²

$$N_{B} = \frac{\pi^{2}*EI}{l_{o}^{2}} = \frac{\pi^{2}*4041,01}{{2,66}^{2}} = 5636,71\lbrack kN\rbrack$$

$$\eta_{\text{rz}} = \frac{1}{1 - \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{B}}} = \frac{1}{1 - \frac{1549,33}{5636,71}} = 1,379$$

$$\frac{\eta_{\text{rz}} - \eta}{\eta}*100\% = \frac{1,379 - 1,300}{1,300}*100\% = 5,732\% < 10\% - \mathrm{warunek\ spelniony}$$

współczynnik przyjęto poprawnie

przekrój górny na kier. z-z:

I_s = A_s1 * (0, 5 * b − a)² + A_s2 * (0, 5 * b − a)² = =6, 03 * (0, 5 * 35 − 4)² + 4, 02 * (0, 5 * 35 − 4)² = 1831, 61cm⁴

EI = K_C * E_cd * I_c + E_s * I_s = 0, 0333 * 26, 67 * 10⁶ * 0, 0012505 + 200 * 10⁶ * 1831, 61 * 0, 01⁴ = 4773, 65  kNm²

$$N_{B} = \frac{\pi^{2}*EI}{l_{o}^{2}} = \frac{\pi^{2}*4773,65}{{2,66}^{2}} = 6658,67\lbrack kN\rbrack$$

$$\eta_{\text{rz}} = \frac{1}{1 - \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{B}}} = \frac{1}{1 - \frac{1549,33}{6658,67}} = 1,303$$

$$\frac{\eta_{\text{rz}} - \eta}{\eta}*100\% = \frac{1,303 - 1,300}{1,300}*100\% = 0,248\% < 10\% - \mathrm{warunek\ spelniony}$$

współczynnik przyjęto poprawnie

1. Nośność na zginanie M_Rd

N_Ed = 1513, 60kN

ξ_eff, lim = 0, 493

a₁ = a₂ = 0, 04m

d = 0, 31m

b = h = 0, 35m

f_yd = 434, 78MPa

f_cd = 20MPa

ilość zbrojenia modyfikowano, dodając po jednym pręcie tak, aby warunek zginania dwukierunkowego został spełniony (obliczenia przeprowadzanie w programi Excel)

kierunek y-y:

A_s2prov = 10, 05 − 5⌀16

A_s1prov = 10, 05 − 5⌀16

kierunek z-z:

A_s2prov = 12, 06 − 6⌀16

A_s1prov = 12, 06 − 6⌀16

$$\xi_{\text{eff}} = \frac{N_{\text{Ed}} + \left( \frac{2}{1 - \xi_{eff,lim}} - 1 \right)*A_{s1}*f_{\text{yd}} - A_{s2}*f_{\text{yd}}}{b*d*f_{\text{cd}} + \left( \frac{2}{1 - \xi_{eff,lim}} \right)*A_{s1}*f_{\text{yd}}} = \frac{1513,60 + \left( \frac{2}{1 - 0,493} - 1 \right)*10,05*43,478 - 10,05*43,478}{35*31*2 + \left( \frac{2}{1 - 0,493} \right)*10,05*43,478} = 0,607$$

ξ_eff, lim = 0, 493 < ξ_eff < 1, 0

M_Rd, y = b * d² * ξ_eff * (1−0,5*ξ_eff) * f_cd + A_s2 * f_yd * (d−a) − (0,5*h−a) * N_Ed = 0, 35 * 0, 31² * 0, 607 * (1−0,5*0,607) * 20 * 10³ + 10, 05 * 10⁻⁴ * 43, 478 * 10³  * (0,31−0,04) − (0,5*0,35−0,04) * 1513, 60 = 198, 04kNm

$$\xi_{\text{eff}} = \frac{N_{\text{Ed}} + \left( \frac{2}{1 - \xi_{eff,lim}} - 1 \right)*A_{s1}*f_{\text{yd}} - A_{s2}*f_{\text{yd}}}{b*d*f_{\text{cd}} + \left( \frac{2}{1 - \xi_{eff,lim}} \right)*A_{s1}*f_{\text{yd}}} = \frac{1513,60 + \left( \frac{2}{1 - 0,493} - 1 \right)*12,06*43,478 - 12,06*43,478}{35*31*2 + \left( \frac{2}{1 - 0,493} \right)*12,06*43,478} = 0,598$$

ξ_eff, lim = 0, 493 < ξ_eff < 1, 0

M_Rd, y = b * d² * ξ_eff * (1−0,5*ξ_eff) * f_cd + A_s2 * f_yd * (d−a) − (0,5*h−a) * N_Ed = 0, 35 * 0, 31² * 0, 598 * (1−0,5*0,598) * 20 * 10³ + 12, 06 * 10⁻⁴ * 43, 478 * 10³  * (0,31−0,04) − (0,5*0,35−0,04) * 1513, 60 = 219, 153kNm

1. Zginanie dwukierunkowe

$0,5 \leq \frac{\lambda_{y}}{\lambda_{z}} = \frac{26,33}{26,33} = 1 \leq 2\mathrm{- \ warunek\ spelniony}$

przekrój górny:

e_y = e_toty = 0, 0505m

e_z = e_totz = 0, 1003m

$$h_{\text{eq}} = b_{\text{eq}} = \frac{h}{\sqrt{12}}*\sqrt{12} = \frac{b}{\sqrt{12}}*\sqrt{12} = h = b = 0,35m$$

$$\frac{e_{z}}{h_{\text{eq}}}:\frac{e_{y}}{b_{\text{eq}}} \leq 0,2\ \ \ lub\ \ \ \frac{e_{y}}{b_{\text{eq}}}:\frac{e_{z}}{h_{\text{eq}}} \leq 0,2$$

jeśli jeden z tych warunków jest spełniony, to nie trzeba sprawdzać nośności na zginanie dwukierunkowe

$$\frac{e_{z}}{h_{\text{eq}}}:\frac{e_{y}}{b_{\text{eq}}} = \frac{0,1003}{0,35}:\frac{0,0505}{0,35} = 1,99 \leq 0,2$$

$$\frac{e_{y}}{b_{\text{eq}}}:\frac{e_{z}}{h_{\text{eq}}} = \frac{0,0505}{0,35}:\frac{0,1003}{0,35} = 0,50 \leq 0,2$$

należy sprawdzić nośność

M_E, d, y =  N_Ed * e_toty = 1513, 60 * 0, 0505 = 76, 40kNm

M_E, d, z =  N_Ed * e_totz = 1513, 60 * 0, 1003 = 151, 84kNm

dobór współczynnika a:

N_Rd = A_c * f_cd + ΣA_s, prov * f_yd = 35 * 35 * 2 + (2*10,05+2*12,06) * 43, 478 = 4372, 609

$$\frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{Rd}}} = \frac{1513,60}{4372,609} = 0,354$$

a = 1, 2119 (interpolacja)

$$\left( \frac{M_{Ed,z}}{M_{Rd,z}} \right)^{a} + \left( \frac{M_{Ed,y}}{M_{Rd,y}} \right)^{a} = \left( \frac{151,84}{219,15} \right)^{1,2119} + \left( \frac{76,40}{198,04} \right)^{1,2119} = 0,96 \leq 1,0$$

warunek spełniony

przekrój dolny:

e_y = e_toty = 0, 0384m

e_z = e_totz = 0, 0648m

$$h_{\text{eq}} = b_{\text{eq}} = \frac{h}{\sqrt{12}}*\sqrt{12} = \frac{b}{\sqrt{12}}*\sqrt{12} = h = b = 0,35m$$

$$\frac{e_{z}}{h_{\text{eq}}}:\frac{e_{y}}{b_{\text{eq}}} \leq 0,2\ \ \ lub\ \ \ \frac{e_{y}}{b_{\text{eq}}}:\frac{e_{z}}{h_{\text{eq}}} \leq 0,2$$

jeśli jeden z tych warunków jest spełniony, to nie trzeba sprawdzać nośności na zginanie dwukierunkowe

$$\frac{e_{z}}{h_{\text{eq}}}:\frac{e_{y}}{b_{\text{eq}}} = \frac{0,0648}{0,35}:\frac{0,0384}{0,35} = 1,69 \leq 0,2$$

$$\frac{e_{y}}{b_{\text{eq}}}:\frac{e_{z}}{h_{\text{eq}}} = \frac{0,0384}{0,35}:\frac{0,0648}{0,35} = 0,59 \leq 0,2$$

należy sprawdzić nośność

M_E, d, y =  N_Ed * e_toty = 1513, 60 * 0, 0384 = 58, 07kNm

M_E, d, z =  N_Ed * e_totz = 1513, 60 * 0, 0648 = 98, 01kNm

dobór współczynnika a:

N_Rd = A_c * f_cd + ΣA_s, prov * f_yd = 35 * 35 * 2 + (2*10,05+2*12,06) * 43, 478 = 4372, 609

$$\frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{Rd}}} = \frac{1513,60}{4372,609} = 0,354$$

a = 1, 2119 (interpolacja)

$$\left( \frac{M_{Ed,z}}{M_{Rd,z}} \right)^{a} + \left( \frac{M_{Ed,y}}{M_{Rd,y}} \right)^{a} = \left( \frac{98,01}{219,15} \right)^{1,2119} + \left( \frac{58,07}{198,04} \right)^{1,2119} = 0,61 \leq 1,0$$

warunek spełniony

1. STOPA FUNDAMENTOWA

   1. Dane wejściowe

      1. Wymiary przekroju

L = B = 3,00 m H = 0,4 m

d_y = 0,35 m d_z = 0,334 m

b = c₁ = 0,35 m h = c₂ = 0,35 m

1. Dane materiałowe

Beton C30/37

f_ck = 30 Mpa = 3$\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}}$ – wytrzymałość char. na ściskanie

f_cd = f_ck/γ_c =30/1,5 = 20 Mpa =2 $\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}}$ – wytrzymałość obl. na ściskanie

E_cm = 32 GPa – moduł sprężystości betonu

φ_∞,t0 = 3,0

Stal A-III-N

f_yk = 500 MPa – char. granica plastyczności stali

f_yd = f_yk/ γ_c = 500/1,15 = 434,78 MPa = 43,478$\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}}$– obl. granica plastyczności stali

E_s = 200 GPa – moduł sprężystości stali

ξ_eff,lim = 0,493 – względna graniczna wysokość strefy ściskanej

1. Zestawienie obciążeń

V_Ed = 1549,33 kN

M_Ed,y = 76,40 kNm

M_Ed,z = 151,84 kNm

1. Naprężenia pod fundamentem

$${W_{y} = W}_{z} = \frac{B*L^{2}}{6} = \frac{3,0*{3,0}^{2}}{6} = 4,500\ m^{3}$$

$$\sigma_{A} = \frac{V_{\text{Ed}}}{L*B} - \frac{M_{Ed,z}}{W_{z}} - \frac{M_{Ed,y}}{W_{y}} = \frac{1549}{3,0*3,0} - \frac{151,84}{4,5} - \frac{76,40}{4,5} = 121,428\ kPa$$

$$\sigma_{B} = \frac{V_{\text{Ed}}}{L*B} + \frac{M_{Ed,z}}{W_{z}} - \frac{M_{Ed,y}}{W_{y}} = \frac{1549}{3,0*3,0} + \frac{151,84}{4,5} - \frac{76,40}{4,5} = 188,912\ kPa$$

$$\sigma_{C} = \frac{V_{\text{Ed}}}{L*B} + \frac{M_{Ed,z}}{W_{z}} + \frac{M_{Ed,y}}{W_{y}} = \frac{1549}{3,0*3,0} + \frac{151,84}{4,5} + \frac{76,40}{4,5} = 222,868\ kPa$$

$$\sigma_{D} = \frac{V_{\text{Ed}}}{L*B} - \frac{M_{Ed,z}}{W_{z}} + \frac{M_{Ed,y}}{W_{y}} = \frac{1549}{3,0*3,0} - \frac{151,84}{4,5} + \frac{76,40}{4,5} = 155,383\ kPa$$

1. Naprężenia pod słupem

$$W_{z,b} = W_{y,b} = \frac{B*L^{3}}{6*b} = \frac{3,0*{3,0}^{3}}{6*0,35} = 38,57\ m^{3}$$

$$\sigma_{E} = \frac{V_{\text{Ed}}}{L \times B} - \frac{M_{Ed,z}}{W_{z,b}} - \frac{M_{Ed,y}}{W_{y,h}} = \frac{1549}{3,0*3,0} - \frac{151,84}{38,57} - \frac{76,40}{38,57} = 166,230\ kPa$$

$$\sigma_{F} = \frac{V_{\text{Ed}}}{L \times B} + \frac{M_{Ed,z}}{W_{z,b}} - \frac{M_{Ed,y}}{W_{y,h}} = \frac{1549}{3,0*3,0} + \frac{151,84}{38,57} - \frac{76,40}{38,57} = 174,104\ kPa$$

$$\sigma_{G} = \frac{V_{\text{Ed}}}{L \times B} + \frac{M_{Ed,z}}{W_{z,b}} + \frac{M_{Ed,y}}{W_{z,h}} = \frac{1549}{3,0*3,0} + \frac{151,84}{38,57} + \frac{76,40}{38,57} = 178,065\ kPa$$

$$\sigma_{H} = \frac{V_{\text{Ed}}}{L \times B} - \frac{M_{Ed,z}}{W_{z,b}} + \frac{M_{Ed,y}}{W_{y,h}} = \frac{1549}{3,0*3,0} - \frac{151,84}{38,57} + \frac{76,40}{38,57} = 170,192\ kPa$$

1. Naprężenia średnie

$$\sigma_{z,sr} = \frac{\sigma_{F} + \sigma_{G}}{2} + 0,625 \times \left( \frac{\sigma_{B} + \sigma_{C}}{2} - \frac{\sigma_{F} + \sigma_{G}}{2} \right) = 194,713\ kPa$$

$$\sigma_{y,sr} = \frac{\sigma_{G} + \sigma_{H}}{2} + 0,625 \times \left( \frac{\sigma_{C} + \sigma_{D}}{2} - \frac{\sigma_{G} + \sigma_{H}}{2} \right) = 183,502\ kPa$$

1. Moment do obliczenia zbrojenia

$$M_{z} = \sigma_{z,sr}*B*0,5*\left( \frac{L - c_{1}}{2} \right)^{2} = 194,713*3*0,5*\left( \frac{3 - 0,35}{2} \right)^{2} = 512,76\ kNm$$

$$M_{y} = \sigma_{y,sr}*L*0,5*\left( \frac{B - c_{2}}{2} \right)^{2} = 183,502*3*0,5*\left( \frac{3 - 0,35}{2} \right)^{2} = 483,24\ kNm$$

1. Obliczenie zbrojenia

$$A_{s,y} = \frac{M_{y}}{0,9 \times d_{y} \times f_{\text{yd}}} = \frac{48324}{0,9 \times 35 \times 43,478} = 37,44\ \text{cm}^{2}$$

Przyjęto 20 prętów Φ16 → $A_{s,\text{prov}} = 16 \times \frac{\pi \times d^{2}}{4} = 16 \times \frac{\pi \times {1,6}^{2}}{4} = 40,21\ \text{cm}^{2}$

$$A_{s,z} = \frac{M_{z}}{0,9 \times d_{z} \times f_{\text{yd}}} = \frac{51276}{0,9 \times 33,4 \times 43,478} = 36,974\ \text{cm}^{2}$$

Przyjęto 20 prętów Φ16 → $A_{s,\text{prov}} = 16 \times \frac{\pi \times d^{2}}{4} = 16 \times \frac{\pi \times {1,6}^{2}}{4} = 40,21\ \text{cm}^{2}$

1. Parametry przyjętego zbrojenia

Wysokość użyteczna

d = 0, 5 × (d_z+d_y) = 0, 5 × (0,35+0,334) = 0, 342 m

Stopień zbrojenia

$$\rho_{\text{lz}} = \frac{A_{s,z}}{B \times d_{z}} = \frac{40,21}{300 \times 33,4} = 0,00383$$

$$\rho_{\text{ly}} = \frac{A_{s,z}}{B \times d_{z}} = \frac{40,21}{300 \times 35} = 0,00401$$

Stopień zbrojenia zastępczy

$$\rho_{l} = \sqrt{\rho_{\text{lz}} \times \rho_{\text{ly}}} = 0,00392$$

1. Sprawdzenie stopy z uwagi na przebicie

   1. Obwód kontrolny w odległości 0,5d

u₁ = 2*c₁ + 2 * c₂ + π * d = 2 * 0, 35 + 2 * 0, 35 + π * 0, 342 = 2, 474m

$$A_{1} = c_{1}*c_{2} + c_{1}*d + c_{2}*d + \pi*\frac{d^{2}}{4} = 0,35*0,35 + 0,35*0,342 + 0,35*0,342 + \pi*\frac{{0,342}^{2}}{4} = 0,454\text{\ m}^{2}$$

$$\sigma = \frac{V_{\text{Ed}}}{B*L}$$

$$V_{Ed1,red} = V_{\text{Ed}} - \frac{V_{\text{Ed}}}{B*L} \times A_{1} = 1549,33 - \frac{1549,33}{3,0*3,0}*0,454 = 1471,22\ kN$$

$$e_{y} = \frac{M_{Ed,y}}{V_{Ed1,red}} = \frac{76,40}{1471,22} = 0,052\ m$$

$$e_{z} = \frac{M_{Ed,z}}{V_{Ed1,red}} = \frac{151,84}{1471,22} = 0,103m$$

b_z = c₂ + d = 0, 35 + 0, 342 = 0, 692 m

b_y = c₁ + d = 0, 35 + 0, 342 = 0, 692 m

$$\beta = 1 + 1,8 \times \sqrt{{(\frac{e_{y}}{b_{z}})}^{2} + {(\frac{e_{z}}{b_{y}})}^{2}} = 1 + 1,8 \times \sqrt{{(\frac{0,052}{0,692})}^{2} + {(\frac{0,103}{0,692})}^{2}} = 1,301$$

$$v_{Ed1} = \beta*\frac{V_{Ed1,r\text{ed}}}{u_{1}*d} = 1,301*\frac{1471,22}{2,474*0,342} = \ 2260,97\ kPa = 2,261MPa$$

Naprężenia przenoszone przez beton niezbrojony z uwagi na przebicie:

$$C_{\text{Rd},c} = \frac{0,18}{\gamma_{c}} = \frac{0,18}{1,5} = 0,12\ \lbrack - \rbrack$$

$$k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} = 1 + \sqrt{\frac{200}{342}} = 1,765 < 2,0$$

$$v_{\text{Rd}1,c} = C_{\text{Rd},c}*k*{(100*\rho_{L}*f_{\text{ck}})}^{\frac{1}{3}}*\frac{2d}{0,5d} = 0,12*1,765*{(100*0,00392*30)}^{\frac{1}{3}}*4 = 8,941\ \text{MPa} > \ v_{\text{Ed}1} = 2,261\text{MPa}$$

-warunek spełniony

$$\upsilon_{\min} = 0,035*k^{\frac{3}{2}}*f_{\text{ck}}^{\frac{1}{2}} = 0,035*{1,673}^{\frac{3}{2}}*30^{\frac{1}{2}} = 0,28\text{MPa}$$

$$v_{\text{Rdc},\min =}\upsilon_{\min}*\frac{2d}{0,5d} = 0,28*4 = 1,12\text{MPa} < \ v_{\text{Rd}1,c} = 8,941\ \text{MPa}$$

- warunek spełniony

1. Obwód kontrolny w odległości 2d

u₁ = 2*c₁ + 2 * c₂ + π * 4 * d = 2 * 0, 35 + 2 * 0, 35 + π * 4 * 0, 342 = 5, 698m

$$A_{1} = c_{1}*c_{2} + c_{1}*4d + c_{2}*4d + \pi*\frac{{(4*d)}^{2}}{4} = 0,35*0,35 + 0,35*0,342 + 0,35*0,342 + \pi*\frac{{0,342}^{2}}{4} = 2,550\text{\ m}^{2}$$

$$\sigma = \frac{V_{\text{Ed}}}{B*L}$$

$$V_{Ed1,red} = V_{\text{Ed}} - \frac{V_{\text{Ed}}}{B*L}*A_{1} = 1549,33 - \frac{1549,33}{3,0*3,0}*2,55 = 1110,368kN$$

$$e_{y} = \frac{M_{Ed,y}}{V_{Ed1,red}} = \frac{76,40}{1110,368} = 0,069\ m$$

$$e_{z} = \frac{M_{Ed,z}}{V_{Ed1,red}} = \frac{151,84}{1110,368} = 0,137m$$

b_z = c₂ + d = 0, 35 + 0, 342 = 0, 692 m

b_y = c₁ + d = 0, 35 + 0, 342 = 0, 692 m

$$\beta = 1 + 1,8 \times \sqrt{{(\frac{e_{y}}{b_{z}})}^{2} + {(\frac{e_{z}}{b_{y}})}^{2}} = 1 + 1,8 \times \sqrt{{(\frac{0,069}{0,692})}^{2} + {(\frac{0,137}{0,692})}^{2}} = 1,398$$

$$v_{Ed1} = \beta*\frac{V_{Ed1,red}}{u_{1}*d} = 1,398*\frac{1110,368}{5,698*0,342} = \ 796,724\ kPa = 0,797MPa$$

Naprężenia przenoszone przez beton niezbrojony z uwagi na przebicie:

C_Rd, c = 0, 12 [−]

k = 1, 765

v_Rd1, c = 8, 941 MPa >  v_Ed1 = 0, 797MPa

-warunek spełniony

υ_min = 0, 28MPa

$$v_{\text{Rdc},\min} = \upsilon_{\min}*\frac{2d}{2d} = 0,28\text{MPa} < \ v_{\text{Rd}1,c} = 8,941\ \text{MPa}$$

- warunek spełniony