Drgania harmoniczne. Energia drgań harmonicznych.
Drgania harmoniczne to drgania, w których wychylenie z położenie równowagi opisane jest funkcją sinus lub cosinus. Wyróżnia się kilka wielkości opisujących drgania harmoniczne:
Okres to czas trwania jednego drgnięcia
$$T_{0} = \frac{2\pi}{\omega_{0}}.$$
Częstotliwość to ilość drgań w jednostce czasu
$$f_{0} = \frac{\omega_{0}}{2\pi}.$$
Energia potencjalna ciała, na które działa siła harmoniczna wyrażana jest wzorem
$$U = \frac{kA^{2}}{2}\cos^{2}(\omega_{0}t + \varphi)$$
Energia kinetyczna drgającej masy wyrażana jest wzorem
$$E_{k} = \frac{kA^{2}}{2}\sin^{2}(\omega_{0}t + \varphi)$$
Drgania tłumione. Logarytmiczny dekrement tłumienia. Dobroć.
To drgania, których amplituda drgań zmniejsza się wraz z upływem czasu, których równanie można zapisać jako
x = Aexp(−βt)cos(ωt + φ)
Występująca w równaniu wielkość β nazywana jest współczynnikiem tłumienia.
Logarytmiczny dekrement tłumienia to logarytm naturalny stosunku amplitud odległych w czasie o okres T, wyrażany wzorem
$$\Lambda = ln\lbrack\frac{a\left( t \right)}{a\left( t + T \right)} = \beta T$$
Dobroć to wielkość ściśle związana z logarytmicznym dekrementem tłumienia
$$Q = \frac{\pi}{\Lambda} = \pi N$$
Drgania wymuszone. Rezonans.
Drgania wymuszone pojawiają się wtedy, gdy na układ drgające działa zewnętrzna siła harmoniczna F = F0cos(Ωt). Układ drgający w tym przypadku opisany jest równaniem różniczkowym
$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\beta\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \omega_{0}^{2}x = f_{0}cos(\Omega t)$$
Rezonans to zjawisko osiągania przez amplitudę drgań wymuszonych wartości maksymalnej przy pewnej częstości siły wymuszającej.
Pojęcie fali, klasyfikacja fal.
Fala to zaburzenie rozchodzące się w ośrodku i przenoszące energię. W zależności od kierunku drgań ośrodka w stosunku do kierunku propagacji fali, fale dzielimy na:
- fale poprzeczne, w których kierunek drgań cząstek jest prostopadły do kierunku propagacji fali,
- fale podłużne, w których kierunek drgań cząstek i kierunek propagacji fali się pokrywają.
Równanie fali płaskiej, prędkość fazowa.
Równaniem fali płaskiej możemy zapisać w postaci
ξ(x,t) = A0cos(ωt + φ)
Prędkość fazowa to prędkość przesuwania się płaszczyzn falowych, czyli prędkość propagacji fazy fali, zapisywana wzorem
$$\frac{\text{dx}}{\text{dt}} = \frac{\omega}{t} = v$$
Równanie falowe.
Równanie falowe w postaci ogólnej możemy zapisać w postaci
$$\frac{\partial^{2}\xi}{dx^{2}} + \frac{\partial^{2}\xi}{dy^{2}} + \frac{\partial^{2}\xi}{dz^{2}} = \frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\xi}{dt^{2}}$$
Dowolna funkcja spełniająca to równanie opisuję falę rozchodzącą się w ośrodku z prędkością fazową v.
Energia fali sprężystej. Natężenie fali.
Jeśli w pewnym ośrodku rozchodzi się podłuża, płaska fala opisana równaniem
ξ = Acos(ωt−kx+φ)
i przy założeniu, że V ma odpowiednio małą objętość, by można było założyć, że deformacja $\frac{\partial\xi}{\text{dx}}$ i prędkość cząsteczek $\frac{\partial\xi}{\text{dt}}$ są w całej objętości V jednakowe. Wybrany element o masie pV ma wówczas energię kinetyczną
$$E_{k} = \frac{pV}{2}{(\frac{\partial\xi}{\text{dt}})}^{2}$$
i energię potencjalną
$$U = \frac{E_{Y}V}{2}\left( \frac{\partial\xi}{\text{dx}} \right)^{2}$$
Równanie fali kulistej.
Równanie fali kulistej nietłumionej
$$\xi = \frac{A}{r}cos(\omega t - kr + \varphi)$$
Równanie fali kulistej tłumionej z uwzględnieniem czynnika opisującego tłumienie
$$\xi = \frac{A}{r}exp( - \gamma r)cos(\omega t - kr + \varphi)$$
Fale akustyczne. Poziom głośności.
Fale akustyczne to fale sprężyste propagujące się w powietrzu, mające częstotliwości w zakresie od 16 Hz do 20 kHz, dochodzące do ludzkiego ucha i powodujące odczucie dźwięku.
Poziom głośności został zdefiniowany w celu dopasowania wielkości opisujących głośność do odczuć subiektywnych. Wyraża się go wzorem
$\text{L\ }\left\lbrack B \right\rbrack = log\frac{I}{I_{0}}$, gdzie I – natężenie dźwięku, a I0 – natężenie odniesienia.
Zjawisko Dopplera.
Zjawisko Dopplera polega na zmianie częstotliwości dźwięku rejestrowanego przed odbiornik w przypadku ruchu źródła, ruchu odbiornika lub ruchu źródła i odbiornika.
Polaryzacja dielektryka, wektor polaryzacji.
Polaryzacja dielektryka to zjawisko indukowania w dielektryku momentu dipolowego pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. Uzyskiwany przez dielektryk wypadkowy moment dipolowy jest opisany wektorem polaryzacji P, definiowanym wzorem
$$\overrightarrow{P} = \frac{1}{V}\sum_{V}^{}{\overrightarrow{p}}_{i}$$
Polaryzacja elektronowa i polaryzacja orientacji.
Jeżeli molekuła niepolarna znajduje się w zewnętrznym polu elektrycznym, to na dodatnie i ujemne ładunki wchodzące w jej skład działają przeciwnie skierowane siły. W wyniku tego środki ciężkości ładunków przesuwają się względem siebie i molekuła staje się dipolem elektrycznym.
$\overrightarrow{E} = 0$ $\text{\ \ \ \ }\overrightarrow{E}$
Polaryzacja polegająca na częściowym uporządkowaniu momentów dipolowych cząstek dielektryka nosi nazwę polaryzacji orientacji.
Ferroelektryki.
To grupa materiałów o bardzo dużej podatności elektrycznej, które mogą być spolaryzowane przy braku zewnętrznego pola elektrycznego. Są kryształami o specyficznej budowie, których molekułami są molekuły polarne.
Piezoelektryki.
To grupa materiałów, których deformowanie prowadzi do ich polaryzowania elektrycznego – na ich powierzchni pojawiają się ładunki związanie. Zjawisko to nosi nazwę zjawiska piezoelektrycznego prostego.
Pole magnetyczne, pole magnetyczne w materii, wektor namagnesowania.
Pole magnetyczne to pole sił działających na poruszające się ładunki oraz na ciała posiadające własny moment magnetyczny. Moment magnetyczny jest wielkością wektorową, charakteryzującą właściwości magnetyczne materii. Pole magnetyczne opisywane jest przez wektor indukcji magnetycznej B i związany z nim wektor natężenia pola magnetycznego
$$\overrightarrow{H} = \frac{\overrightarrow{B}}{\mu\mu_{0}}$$
Dia- para- i ferromagnetyki.
Diamagnetyzm to zjawisko indukowania się pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego momentu magnetycznego, związanego z precesją orbit elektronowych.
Diamagnetyki to ciała, których atomy nie mają wypadkowego momentu magnetycznego.
Jeśli wypadkowy moment magnetyczny atomów jest różny od zera, to ośrodek jest paramagnetykiem.
Ferromagnetyki natomiast stanowią oddzielną grupę materiałów, których podatność magnetyczna przyjmuje bardzo duże wartości. Typowym ferromagnetykiem jest żelazo.
Równania Maxwella.
$$\left\{ \begin{matrix}
\oint_{S}^{}{\overrightarrow{D} \circ d\overrightarrow{S}} = \int_{V}^{}\text{ρdV} \\
\oint_{S}^{}{\overrightarrow{B} \circ d\overrightarrow{S}} = 0 \\
\oint_{\Gamma}^{}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} = - \frac{d}{\text{dt}}\int_{S}^{}{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{S}}} \\
\oint_{\Gamma}^{}{\overrightarrow{H} \circ d\overrightarrow{l} = \int_{S}^{}{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S} + \frac{d}{\text{dt}}\int_{S}^{}{\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}}}} \\
\end{matrix} \right.\ $$
Fale elektromagnetyczne.
To rozchodzące się w przestrzeni zaburzenia pola elektromagnetycznego. Składowa elektryczna i magnetyczna fali indukują się wzajemnie – zmieniające się pole elektryczne wytwarza zmieniające się pole magnetyczne, a z kolei zmieniające się pole magnetyczne wytwarza zmienne pole elektryczne.
Fale świetlne. Fala świetlna na granicy dwóch ośrodków.
Fale elektromagnetyczne o częstotliwościach z przedziału (0,39 – 0,75) x 1015 są rejestrowane przez oko ludzkie. Są to fale nazywane falami świetlnymi. Jeśli fala świetlna pada na granicę dwóch ośrodków o różnej przenikalności to jej część się odbiję, a część przez nią przejdzie. Powstanie wtedy fala odbita i załamana.
Optyka geometryczna. Prawa optyki geometrycznej. Zasada Fermata.
Optyka geometryczna to dział optyki zajmujący się opisywaniem rozchodzenia się światła. Jego podstawę stanowią cztery prawa:
- prawo prostoliniowego rozchodzenia się światła (w ośrodku jednorodnym światło rozchodzi się po liniach prostych, zwanych promieniami świetlnymi)
- prawo niezależności promieni świetlnych (promienie świetlne przy przecięciu nie wpływają wzajemnie na siebie)
- prawi odbicia światła (kąt odbicia jest równy kątowi padania)
- prawo załamania światła (kąt padania α i kąt załamania α’’ są powiązane zależnością
$\frac{\text{sinα}}{sin\alpha''} = \frac{v_{1}}{v_{2}}$,
gdzie v1 i v2 – odpowiednio prędkość światła w ośrodku, z którego światło pada i do którego się załamuje.
Interferencja światła.
Interferencja światła to nakładanie się fal prowadzące do zwiększenia lub zmniejszenia amplitudy wypadkowej.
Dyfrakcja światła. Zasada Huygensa-Fresnela.
Dyfrakcja to ogół zjawisk obserwowanych przy propagacji światła w ośrodku, w którym występują ostre niejednorodności (krawędzie, małe otwory, itp.) i związanych z odstępstwem od praw optyki geometrycznej.
Zjawisko Huygensa-Fresnela:
Każdy element powierzchni ds., do którego doszła fala staje się źródłem wtórnej fali kulistej, amplituda której jest proporcjonalna do powierzchni tego elementu. Powstające fale wtórne są koherentne, rozchodzą się tylko do przodu i interferują między sobą. Zaburzenie w dowolnym punkcie jest wynikiem interferencji elementarnych fal wtórnych.
Polaryzacja światła. Prawo Malusa.
Spolaryzowanym nazywamy światło, w którym drgania wektora świetlnego są w jakikolwiek sposób uporządkowane. Ze względu na rodzaj uporządkowania rozróżnia się polaryzacją liniową (drgania wektora świetlnego zachodzą w jednym kierunku), eliptyczną (koniec wektora świetlnego zakreśla elipsę), kołową (koniec wektora świetlnego zakreśla okrąg).
Prawo Malusa:
I = I0cos2φ,
gdzie I0 – natężenie fali spolaryzowanej przed polaryzatorem.
Promieniowanie cieplne. Prawo Kirchhoffa.
O promieniowaniu cieplnym mówimy wówczas, gdy ciała wysyłają fale elektromagnetyczne kosztem swojej energii kinetycznej.
Prawo Kirchoffa można sformułować następująco:
stosunek zdolności emisyjnej do zdolności absorpcyjnej nie zależy od rodzaju ciała i jest dla wszystkich ciał taką samą funkcją częstości i temperatury.
Prawo Stefana-Boltzmanna. Prawo Wiena.
Prawo Stefana-Boltzmanna głosi, że
całkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego jest proporcjonalna do czwartej potęgi jego temperatury termodynamicznej.
Prawo Wiena głosi, że
iloczyn długości fali, na którą przypada maksimum zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego i jego temperatury termodynamicznej jest wielkością stałą.
Wzór Rayleigha-Jeansa. Wzór Plancka.
Wzór Rayleigha-Jeansa określa równowagową gęstość energii
$$u(\omega,T) = kT\frac{\omega^{2}}{\pi^{2}c^{3}}$$
oraz zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego
$$f(\omega,T) = \frac{tsh\omega^{3}}{4\pi^{2}2\left( e^{\frac{tsh\omega}{\text{kT}}} - 1) \right)}$$
Wzór Plancka pozwala również wyznaczyć zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego
$$f\left( \omega,T \right) = \frac{{tsh\omega}^{3}}{4\pi^{2}c^{2}\lbrack\exp\left( \frac{tsh\omega}{\text{kT}} \right) - 1\rbrack}$$
Korpuskularna natura światła.
Istnieje szereg zjawisk związanych ze światłem, których nie można opisać na gruncie teorii falowej (np. zjawisko Comptona, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne i wewnętrzne). Do ich wyjaśnienia niezbędne jest potraktowanie promieniowania elektromagnetycznego jako strumienia cząstek (korpuskuł) rozchodzących się z prędkością światła, których energia jest równa
$$\varepsilon = h\frac{c}{\lambda}$$
Taki opis został zaproponowany przez Einsteina. Pojedynczy kwant promieniowania elektromagnetycznego nosi nazwę fotonu.
Hipoteza de Broglie'a. Zasada nieoznaczoności Heisenberga.
Hipoteza de Broglie’a stwierdzająca, że dualizm korpuskularno-falowy nie powinien być szczególną właściwością promieniowania elektromagnetycznego, lecz jest właściwością uniwersalną.
Zasada nieoznaczoności Heisenberga mówi, że
iloczyn nieokreśloności dwóch wielkości sprzężonych nie może być co do rzędu wielkości mniejszy od stałej Plancka.
Równanie Schrödingera.
To równanie pozwalające na ilościowy opis mikrocząstki
$$\mathbf{-}\frac{tsh^{2}}{2m}\mathbf{\nabla}^{\mathbf{2}}\mathbf{Ps +}UPs = itsh = \frac{\partial Ps}{\partial t}$$
Promieniowanie wymuszone.
To promieniowanie wysyłane w wyniku promienistych przejść (przejść związanych z wypromieniowaniem kwantu energii) wymuszonych z wyższych poziomów energetycznych na niższe.
Zasada działania lasera.
Działanie lasera wykorzystuje zjawisko emisji wymuszonej i opiera się na zjawisku inwersji obsadzeń. Wykorzystywanie praktycznie lasery najczęściej są generatorami światła. Ośrodek, w którym wytworzona jest inwersja obsadzeń umieszczony jest w rezonatorze optycznym, tworzonym przez dwa zwierciadła, z których jedno całkowicie odbija światło o długości fali charakterystycznej dla danego lasera, a drugie jest częściowo przepuszczalne. Zastosowanie rezonatora optycznego powoduje, że w układzie pozostają tylko fotony o określonym kierunku propagacji i dużym natężeniu.