Długość łuku południka bez ograniczeń

Wielkości pomocnicze A*.. zależą tylko od e² można policzyć jeden raz dla danej elipsoidy

Elementarny czworobok krzywoliniowy (po skalach długości)

Gdy F=0 to obrazy południków przecinają się z obrazami równoleżników pod kątem prostym

Odwzorowanie jest równokątne gdy w każdym pkt odwzorowywanego obszary dowolny azymut odwzorowuje się bez zniekształceń

Skala długości w dowolnym kierunku

Warunki równokątności odwzorowania po zastosowaniu współrzędnych izometrycznych

Funkcja analityczna-to funkcja zmiennej zespolonej którą można rozwinąć w szereg w otoczeniu wybranego punktu. Funkcja może być funkcją analityczną dla całego obszaru jeżeli w każdym pkt tego obszaru jest rozwijalna w szereg.

Są warunki Cauchy’ego i Riemanna która musi spełniać funkcja zmiennej zespolonej aby być funkcją analityczną. Jeśli zmienną zespoloną przedstawiamy w ten sposób f(q+il) to warunki Cauchy’ego i Riemanna wyglądają tak (jak wyżej)

Każda funkcja analityczna (rozwijalna w szereg) zmiennej zespolonej q+il definiuje jakieś odwzorowanie równokątne. Uwaga funkcja analityczna zastępuje dwie funkcję odwzorowawcze

Odwzorowanie azymulanle

Odwzorowanie walcowe

Odwzorowanie elipsoidy na sfere

Promień R1 wynika z następującego warunku: objętość sfery ma być równa objętości elipsoidy

Promień R2 wynika wynika z warunku pole powierzchni sfery ma być równe polu powierzchni elipsoidy

Długość południka na sferze ma być równy długości południka na elipsoidzie

Odwzorowanie ukośne i poprzeczne azymutalne, zamiast λ zastosuj α, zamiast ϭ odległość ζ

Normalne ukośne oba równokątne

Gauss-Kruger f. odwzorowawcze

Jako rzut potrójny – odwzorowanie Lagrange’a

Odwzorowanie quasi stereograficzne

Odwzorowanie quasi stereograficzne uzyskane za pomocą odwzorowania Gaussa-Kruger

I krok – stosujemy odw. GK przyjmując że południk środkowy to południk przechodzący przez ptk Po, przy dużych obszarach zastosować rzut potrójny Xgk Ygk

II krok – liczymy współrzędne pomocnicze

III krok –wyrażamy współrzędne x,y w odw quasi stereograficznym jako funkcje analityczną współrzędnych u, w x+iy = f(u+ iw)

Szukamy takiej funkcji analitycznej która dla południka środkowego daje współrzędną funkcja ta ma postać x+iy=2R₀tg(u+iw) z=u+iw

Dla południka środowego mamy X_GK=S₀+s Y_GK=0

Zatem współrzędne pomocnicze ,

Mamy

Transformacja Helmerta – to transformacja równokątna I stopnia współrzędnych płaskich. Ma 4 parametry: 2 przesunięcia i 2 które uwzględniają obrót układu i poprawke do starego układu. Min. To 2 pkt łączne a w praktyce co najmniej 5. Ta transformacja usuwa błędy lokalne starej sieci.

Stosujemy dla niewielkich obszarów

Funkcje odwzorowawcze X=a0+a1U-a2W Y=b0+a1W-b1U

Ta transformacja potrafi przesunąć początek układu starego do początku układu nowego, obrócić osie starego układu tak aby pokryły się z osiami nowego układu, poprawić skalę starej sieci aby zgadzała się ze skałą w nowym układzie. Parametry transformacji wyznaczmy metodą najmniejszych kwadratów w oparciu o pkt łączne.

Transformacja równokątna wyższych stopni

transformacja 1 stopnia 2 stopnia 3 stopnia

Transformacje równokątną wyższego stopnia stosujemy wtedy gdy oba układy stary i nowy powstały przez zastosowanie odwzorowań równokątnych. Te transformacje można traktować jako odwzorowanie równokątne starego układu na nowy

Stopień trans, liczba parametrów transformacyjnych liczba pkt łącznych dająca rozwiązanie bez kontroli

1 4 2

2 6 3

3 8 4

4 10 5

Stopień transformacji określimy doswiadczalnie szukając najmniejszej wartości Mo przy najmniejszym stopniu transformacji. Ponieważ pracujemy w układzie lokalnym x y to wyprowadzając poprawki V oraz wielkośc Mo należy ją pomnożyć przez Dmax Vx=Vx*Dmax Vy=Vy*Dmax

X=Xo+x*Dmax Y=Yo+y*Dmax

Transformacja afiniczna – 6 parametrów a0, a1, a2, b0, b1, b2

X=a0+a1U+a2W Y=b0+b1U+b2W

Równania poprawek

VX=a0+a1U+a2W-X VY=b0+b1U+b2W-Y

W tych równaniach U i W są liczbami natomiast parametry transformacyjne są niewiadomymi. Jeden pkt łączny daje 2 równania poprawek, mamy 6 niewiadomych a zatem musimy mieć więcej niż 6 równań. 3 pkt łączne dałyby rozwiązanie bez kontroli, musimy mieć więcej pkt łącznych. Najlepiej jeżeli liczba pkt łącznych jest co najmniej dwa razy większa od rozwiązania bez kontroli. Pkt łączne powinny leżeć na obrzeżach obszaru a także wewnątrz. Po rozwiązaniu metodą najmniejszych kwadratów otrzymamy wartości parametrów a także ocenę dokładności w postaci poprawek VX VY dla pkt łącznych oraz błędu średniego Mo wpasowania jednej współrzędnej.

Transformację afiniczną stosujemy: kiedy jeden z układów jest nierównokątny, a także do przetwarzania starych dokumentów papierowych.

Transformacja afiniczna uwzględnia nieprostopadłość osi starego układu, przesunięcie początku układu starego do początku układu nowego, obrót osi układu starego do równoległości osi układu nowego, poprawkę skali w kierunku osi U i oddzielnie w kierunku osi W