Teoria grup

Def. Grupą nazywamy zbiór G wraz z jednym działaniem *,  * : G × G → G– działanie. (G, *)

jest grupą, o ile:

1. działanie * jest łączne:

$$\begin{matrix} \forall \\ a,b,c \in G \\ \end{matrix}\left( a*b \right)*c = a*(b*c)$$

1. istnieje element neutralny działania: $\begin{matrix} \exists \\ e \in G \\ \end{matrix}\begin{matrix} \forall \\ a \in G \\ \end{matrix}a*e = e*a = a$

2. każdy element a ∈ G posiada element odwrotny, tzn. taki element a′∈G, że: a * a^′ = e = a^′ * a

Jeżeli dodatkowo działanie jest przemienne, to grupę nazywamy grupą abelową.

Def. Niech G będzie grupą, a H jej niepustym podzbiorem zbioru G. Zbiór H jest podgrupą grupy G, o ile:

1. $\begin{matrix} \forall \\ x,y \in H \\ \end{matrix}hy \in H$

2. $\begin{matrix} \forall \\ x \in H \\ \end{matrix}x^{- 1} \in H$

3. $\begin{matrix} \forall \\ x,y \in H \\ \end{matrix}xy^{- 1} \in H$

Def. Niech H będzie podgrupą grupy G i niecha  ∈ G. Warstwą lewostronną grupy G względem podgrupy H wyznaczoną przez element a nazywamy zbiór: aH = {ah; h ∈ H}

Warstwą prawostronną grupy G względem podgrupy H wyznaczoną przez element a nazywamy zbiór:Ha = {ha; h ∈ H}

Stwierdzenie:

Dla dowolnych a, b ∈ G mamy:

aH = bH ↔ a⁻¹b ∈ H ↔ b⁻¹a ∈ H ↔ a ∈ bH ↔ b ∈ aH

Ha = Hb ↔ ab⁻¹ ∈ H ↔ ba⁻¹ ∈ H ↔ a ∈ Hb ↔ b ∈ Ha

Tw. (Lagrange’a)

Niech G będzie grupą, |G| < ∞ i H ≤ G . Wówczas:

[G:H]|H| = |G|

W szczególności: $\frac{\left| H \right|}{\left| G \right|.}$

Def.Podgrupę H grupy G nazywamy dzielnikiem normalnym grupy G, jeśli:

$$\begin{matrix} \forall \\ g \in G \\ \end{matrix}gH = Hg$$

Tw. Podgrupa H grupy G jest dzielnikiem normalnym grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

$$\begin{matrix} \forall \\ g \in G \\ \end{matrix}\begin{matrix} \forall \\ h \in H \\ \end{matrix}\text{gh}g^{- 1} \in H$$

Uwaga! JeśliH ⊳ G, to zbiory:

{aH;a∈G}i {Ha; a ∈ G}

są identyczne. Oznaczamy je przez $\frac{G}{H}$

W zbiorze $\frac{G}{H}$ określamy działanie: (aH)(bH)=(ab)H; a,b∈G

$\frac{G}{H}$ z tak określonym działaniem tworzy grupę nazywaną grupą ilorazową grupy G względem podgrupy H.

Def. Niech (G;•) i G^′; *) będą grupami. Odwzorowanie f:G→ G^′nazywamy homomorfizmem grup, o ile:

$$\begin{matrix} \forall \\ g_{1},g_{2} \in G \\ \end{matrix}f\left( g_{1},g_{2} \right) = f\left( g_{1} \right) + f(g_{2})$$

Tw. (I twierdzenie o izomorfizmie grup) Niech f:G→ G^′ będzie homomorfizmem grup. Wówczas istnieje dokładnie jeden monomorfizm: $a:\frac{G}{\text{Ker\ f}} \rightarrow G^{'}$ taki, że av = f

W szczególności:

$$\frac{G}{\text{Ker\ f}} \simeq im\ f$$

Na przykład: $\frac{Z}{\text{nZ}} \simeq Z_{n}$

Def. Grupę G nazywamy rozwiązalną, o ile istnieje ciąg kolejnych dzielników normalnych

G = G₀ ⊳ G₁ ⊳ … ⊳ G_n = {e}, taki, że $\frac{G_{i}}{G_{i + 1}}$ jest abelowa (i=0,1,…,n-1)

UWAGA! Każda grupa abelowa jest rozwiązalna.

Tw. Podgrupa grupy normalnej jest rozwiązalna.

Tw. Obraz homomorficzny (w szczególności grupa ilorazowa) grupy rozwiązalnej jest rozwiązalna.

Tw. Każda permutacja jest iloczynem permutacji cyklicznych o cyklach rozłącznych. Przedstawienie to jest jednoznaczne.

Tw. Jeśli σ(a₁,…,a_S)(b₁,…,b_k)…(z₁, …, z_n)∈S_n oraz

oraz τ ∈ S_n to:

τστ⁻¹ = (τ(a₁),…,τ(a_S))(τ(b₁),…,τ(b_k))…(τ(z₁), …, τ(z_n))

UWAGA! |S_n| = n!

Wniosek: Dwie permutacje są sprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam schemat cykli, tzn. w rozkładzie na cykle rozłączne mają tyle samo cykli tej samej długości.

Def. Transpozycją nazywamy permutację cykliczną długości 2, tj. np. (i ,j);i < j.

Def. Transpozycja elementów sąsiednich, to transpozycja postaci (i,i+1) , tj. [(1,2),(2,3),…,(n-1,n)]

Lemat: (k₁,…k_s) = (k₁,k₂)(k₂,k₃)…(k_s − 1, k_s)

Lemat: Niech (i ,j);i < j. . Wówczas:

(i, j)=(i,i+1)(i+1,i+2)…(j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)…(i,i+1)

Wniosek: Każda permutacja jest iloczynem transpozycji, a nawet transpozycją elementów sąsiednich.

Wniosek: Każda transpozycja jest iloczynem nieparzystej ilości transpozycji elementów sąsiednich.

Lemat: Jeśli σ, τ ∈ S_n oraz τ jest transpozycją, to sgn(στ) = −sgn(σ).

Tw. Jeśli σ = τ₁…τ_k, gdzie τ_i jest transpozycją, to sgn(σ)=( − 1)^k .

Def. Permutacja parzysta σ : sgn(σ) = 1; I(σ) – parzysta, gdzie I(σ) oznacza ilość inwersji permutacji σ .

Def. Permutacja nieparzysta: sgn(σ) = −1; I(σ) – nieparzysta.

Wniosek: sgn(σσ^′) = sgn(σ)sgn(σ^′), czyli sgn : S_n →{±1} jest homomorfizmem grup.

Tw. Istnieje monomorfizm f : S_n →S_n + 1 zachowujący znak. Można więc uważać, że S_n <S_n + 1 oraz A_n < A_n + 1

Tw. (Galois) Grupa A_n jest prosta wtedy i tylko wtedy, gdy n ≠4.

Fakt: Grupa prosta jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest abelowa.

Tw. Grupa S_n jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy n  ≤ 4.

Tw. Grupa A_n jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy n  ≤ 4.

Rozszerzenia ciał

Def. Jeśli ciało K jest podciałem ciała L, to mówimy, że ciało L jest rozszerzeniem ciała K. Mówimy także, że K ⊂ L jest rozszerzeniem ciał.

UWAGA! Jeśli K ⊂ L jest rozszerzeniem ciał, to L jest przestrzenią liniową nad ciałem K.

Def. Stopniem rozszerzenia K ⊂ L nazywamy wymiar L, jako przestrzeni liniowej nad K. Oznaczamy go w sposób [L: K] oraz[L: K]=dim_KL

Def. Rozszerzenie K ⊂ L nazywamy skończonym, o ile[L: K]<∞. Pozostałe rozszerzenia nazywamy nieskończonymi – piszemy wtedy [L: K]=∞.

Tw. Niech K ⊂ L ⊂ L^′ będą rozszerzeniami ciał. Wówczas K ⊂ L^′ jest skończone wtedy i tylko wtedy, gdy K ⊂ L oraz L ⊂ L^′ są skończone. Ponadto, jeśli tak jest to: [L^′ : K]= [L^′: L] [L: K]

Rozszerzenia skończenie generowane

UWAGA! Niech K[a₁,…,a_n] = {f(a₁,…,a_n); f ∈ K[X₁,…,X_n]}

Tw. K[a₁,…,a_n] jest najmniejszym podpierścieniem ciała L zawierającym K oraz a₁, …, a_n tzn.:

1. K ⊂ K[a₁,…,a_n]∋ a₁, …, a_n

2. R ⊂ L– podpierścień; K ⊂ R∋ a₁, …, a_n →  K[a₁,…,a_n] ⊂ R

Def. Pierścień K[a₁,…,a_n]⊂ nazywamy rozszerzeniem K (jako pierścienia) o elementy a₁, …, a_n

Wniosek: K[a₁,…,a_n] = (…(( K[a₁])[a₂])…)[a_n] oraz K(a₁,…,a_n) = (…((K(a₁))(a₂))…)(a_n)

Def. K(a₁,…,a_n) nazywamy rozszerzeniem ciała K o elementy a₁, …, a_n .

Def. Rozszerzenie K ⊂ L nazywamy skończenie generowanym, o ile L= K(a₁,…,a_n) dla pewnych a₁, …, a_n

UWAGA! Elementy a₁, …, a_n nazywamy generatorami rozszerzenia K ⊂ L.

Def. Rozszerzenie typu K ⊂ K(a) nazywamy pojedynczym.

Elementy algebraiczne

Def. Niech K ⊂ L będzie rozszerzeniem ciał oraz niech a ∈ L. Mówimy, że element a jest algebraiczny nad K, o ile istnieje taki wielomian niezerowy f  ∈ K[X], że f(a)=0 . W przeciwnym przypadku mówimy, że element a jest przestępny nad K. Oznacza to, że: $\begin{matrix} \forall \\ f \in K\left\lbrack X \right\rbrack \\ \end{matrix}f\left( a \right) = 0 \rightarrow f = 0.$

(w- ek przestępności).

UWAGA! Mówimy, że a jest liczbą algebraiczną bez dodatków, o ile jest elementem algebraicznym nad Q. W przeciwnym przypadku a nazywamy liczbą przestępną.

Def. Wielomianem minimalnym elementu a nad K nazywamy wielomian f ∈ K[X] najniższego stopnia wśród wielomianów spełniających warunek f (a)=0

Wielomian minimalny oznaczać będziemy przez f_a

Lemat: Niech K ⊂ L, a ∈ L i niech a będzie algebraiczny nad K. Następujące warunki są równoważne:

1. f jest wielomianem minimalnym elementu a nad K

2. f(a) = 0 i jeśli g ∈ K[X] oraz g(a) = 0, to f|g

3. f jest generatorem ideału I(a)=Ker(φ).

Lemat:

Wielomian f jest wielomianem minimalnym elementu a nad K dokładnie wtedy, gdy:

1. f(a) = 0 i f jest nierozkładalny

Kryterium Eisensteina nierozkładalności wielomianów:

Niech f ∈ Z[X] oraz niech f = a_nXⁿ + … + a₁X + a₀

Jeśli istnieje liczba pierwsza taka, że p ∤ a_n, p| a_n − 1, …, a₁, a₀ i p² ∤ a₀, to wielomian f jest nierozkładalny w ℚ[X].

Tw. Jeśli a ∈ L jest algebraiczny nad K, to K[a]=K(a), czyli K[a] jest ciałem.

Tw. Jeśli a jest elementem algebraicznym nad K, to: [K(a):K]= st (f_a) < ∞

Ponadto bazą niezmienniczą K(a), nad K jest {1,a,a², …, a^n − 1}, gdzie n= st (f_a).

Wniosek:

Jeśli K ⊂ L jest rozszerzeniem ciał i a ∈ L, to następujące warunki są równoważne:

1. a jest algebraiczny nad K

2. K[a]=K(a) (jest ciałem)

3. [K(a):K]< ∞

Tw. Jeśli K ⊂ L jest rozszerzeniem ciał i a₁, …, a_n ∈ L , to następujące warunki są równoważne:

1. a₁, …, a_n są algebraiczne nad K

2. [K(a₁,…,a_n):K] < ∞

Rozszerzenia algebraiczne

Def. Rozszerzenie ciał K ⊂ L nazywamy rozszerzeniem algebraicznym, o ile każdy element ciała L jest algebraiczny nad K. Mówimy wtedy też, że L jest algebraicznym rozszerzeniem ciała K.

Tw. Jeśli K ⊂ L jest rozszerzeniem ciał, to zbiór: K’={a∈L;a – algebraiczny nad K}

jest podciałem ciała L zawierającym K, tzn. K ⊂ K′⊂L. Jest to więc największe rozszerzenie algebraiczne ciała K zawarte w L.

Wniosek: Liczby algebraiczne tworzą ciało ℚ′ , czyli ciało liczb algebraicznych.

Fakt: Ciało liczb algebraicznych jest przeliczalne (mocy ℵ₀). Stąd liczb przestępnych jest continuum.

Tw. Ciało K(a₁,…,a_n) jest rozszerzeniem algebraicznym ciała K wtedy i tylko wtedy, gdy a₁, …, a_n są algebraiczne nad K.

Tw. Rozszerzenie K ⊂ L jest skończone wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie algebraiczne i skończenie generowane.

Tw. Jeśli K ⊂ L ⊂ L′ są rozszerzeniami ciał, to K ⊂ L′ jest algebraiczne wtedy i tylko wtedy, gdy K ⊂ L i L ⊂ L′ są algebraiczne.

Tw. Niech K ⊂ L będzie dowolnym rozszerzeniem ciał oraz niech K ⊂ K′⊂L , gdzie K′ jest ciałem elementów algebraicznych nad K. Wówczas, jeśli:

1. K^′ = L, to rozszerzenie K ⊂ L jest algebraiczne

2. K^′ = K, to rozszerzenie K ⊂ L nazywamy czysto przestępnym.

Tw. Dowolne rozszerzenie ciał jest złożeniem rozszerzenia algebraicznego czysto przestępnego. Dokładniej, jeśli: K^′ = {a ∈ L;a – algebraiczny nad K} to w rozszerzeniu K ⊂ K′⊂L mamy, że:

1. K ⊂ K′ jest rozszerzeniem algebraicznym

2. K′⊂L jest rozszerzeniem czysto przestępnym

UWAGA!

Rozszerzenie, które nie jest algebraiczne nazywamy rozszerzeniem przestępnym.

Ciała rozkładu i algebraiczne domknięcia

Tw. Jeśli f ∈ K[X] i st(f) > 0, to istnieje takie rozszerzenie L ciała K, w którym f ma pierwiastek.

Lemat:

Homomorfizm ciał ψ : K → L jest zawsze monomorfizmem.

Wniosek:

Jeśli f ∈ K[X] i st(f) > 0, to istnieje takie rozszerzenie L ciała K, nad którym f rozkłada się na czynniki liniowe: f= a(X-a₁)…(X − a_n)  ∈ L[X]

gdzie a₁, …, a_n ∈ L i a  ∈ K – najwyższy współczynnik f.

Tw. Jeśli f_i ∈K[X] , i ∈I i st(f_i) > 0, to istnieje takie rozszerzenie L ciała K, w którym wszystkie f_i mają pierwiastki, a nawet takie, nad którym każde f_i rozkłada się na czynniki liniowe.

Lemat: Suma łańcucha (rodziny liniowo uporządkowanej) ciał jest ciałem.

Def. i Tw.

Ciało K nazywamy algebraicznie domkniętym, o ile spełnia następujące równoważne warunki:

1. jeśli f ∈ K[X] i st(f) > 0, to f ma pierwiastek w K

2. jeśli f ∈ K[X] i st(f) > 0, to f rozkłada się w K[X] na czynniki liniowe

3. jedynymi wielomianami nierozkładalnymi w K[X] są wielomiany liniowe

4. K nie posiada właściwych (tzn.≠K) rozszerzeń algebraicznych

5. K nie posiada właściwych (tzn. ≠K) rozszerzeń skończonych

Tw. (zasadnicze twierdzenie algebry) Ciało C jest algebraicznie domknięte.

Tw. Każde ciało można zanurzyć w ciało algebraicznie domknięte Ω .

UWAGA! Jeśli K jest ciałem liczbowym, tzn. K ⊂ C jako podciało, to można przyjąć Ω=C (zasadnicze twierdzenie algebry).

Def. Algebraicznym domknięciem ciała K nazywamy takie rozszerzenie $\overset{\overline{}}{K}$ ciała K, że:

1. $\overset{\overline{}}{K}$ jest algebraicznie domknięte

2. $K \subset \overset{\overline{}}{K}$ jest rozszerzeniem algebraicznym

Tw. Każde ciało posiada algebraiczne domknięcie.

Wniosek: Ciało liczb algebraicznych jest algebraicznym domknięciem ciała ℚ, w szczególności jest ciałem algebraicznie domkniętym.

Tw. Algebraiczne domknięcie ciała jest wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu. Dokładniej: jeśli $\overset{\overline{}}{K}$ i $\overset{\overline{}}{K}$’ są algebraicznymi domknięciami ciała K, to istnieje taki izomorfizm ciał

$\sigma:\overset{\overline{}}{K}$ $\rightarrow \overset{\overline{}}{K}$’, że σ|K = id_K.

Tw. Jeśli K⊂ Ω , gdzie Ω jest algebraicznie domknięte, to istnieje dokładnie jedno algebraiczne domknięcie ciała K zawarte w Ω

Wniosek: Jeśli K jest ciałem liczbowym (K ⊂ C), to dokładnie jedno algebraiczne domknięcie ciała K jest też ciałem liczbowym ($\overset{\overline{}}{K}\ \subset C$).

Def. Ciałem rozkładu wielomianu 0 ≠ f ∈ K[X] nazywamy takie rozszerzenie L ciała K, że:

1. f =  a(X−a₁)…(X − a_n)  ∈ L[X] w (f ma wszystkie pierwiastki w L)

2. L = K(a₁, …, a_n)

Def. Ciałem rozkładu układu wielomianów niezerowych {f_i}_i ∈ I  ⊂ K[X] nazywamy takie rozszerzenie L ciała K, że:

1. każdy f_i rozkłada się nad L na czynniki liniowe (ma w L wszystkie pierwiastki)

2. L = K (wszystkie pierwiastki wszystkich wielomianów f_i,  i ∈ I)

Tw. Ciało rozkładu wielomianu niezerowego (a także rodziny wielomianów niezerowych) zawsze istnieje.

Def. Rozszerzenie K ⊂ L nazywamy normalnym, o ile L jest ciałem rozkładu pewnej rodziny wielomianów z K[X].

Wniosek: Skończone rozszerzenie normalne jest ciałem rozkładu jednego wielomianu.

Wniosek: Każde rozszerzenie normalne jest algebraiczne.

Jednoznaczność ciała rozkładu

Lemat:

Niech σ : K →K′ będzie izomorfizmem ciał oraz niech f ∈ K[X] będzie wielomianem nierozkładalnym, zaś a pierwiastkiem f w pewnym rozszerzeniu (K(a)). Ponadto niech b będzie pierwiastkiem nierozkładalnego wielomianu σ(f)∈K′[X]. Wówczas istnieje taki izomorfizm

σ′:K(a) →K^′(b) , że σ^′|K = σ i σ^′(a) = b

Wniosek:

Jeśli a, b są pierwiastkami wielomianu nierozkładalnego f ∈ K[X], to K(a)≃ K(b) nad K i taki, że a ↔ b

Tw. Jeśli:

1. σ : K →K′ jest izomorfizmem ciał

2. f ∈ K[X] jest wielomianem o st > 0

3. L jest ciałem rozkładu f nad K

4. L’ jest ciałem rozkładu wielomianu σ(f) nad K,

to istnieje taki izomorfizm ciał $\overset{\overline{}}{\sigma:}L$ →L′, że σ^′|K = σ.

Wniosek: (o jednoznaczności ciała rozkładu)

Jeśli L, L’ są dwoma ciałami rozkładu tego samego wielomianu f ∈ K[X], to istnieje taki izomorfizm ciał $\overset{\overline{}}{\sigma:}L$ →L′, że σ^′|K = id_K.

Ciała skończone

Wniosek: Jeśli K jest ciałem skończonym, to |K| = pⁿ; p – liczba pierwsza, n≥1. Ponadto p = char (K) i n=[K:Z_p].

Wniosek: Elementy ciała K są wszystkimi pierwiastkami (w K) wielomianu X^q − X ∈ Z_p[X]. Pierwiastki te są jednokrotne.

Wniosek: Ciało skończone K(|K| = q=pⁿ) jest ciałem rozkładu wielomianu X^q − X ∈ Z_p[X].. Zatem wszystkie ciała K o q elementach są izomorficzne.

Tw. Dla każdego q=pⁿ  (p – liczba pierwsza, n≥1) istnieje dokładnie jedno (z dokładnością do izomorfizmu) ciało q- elementowe F_q . Jest ono ciałem rozkładu wielomianu X^q − X ∈ Z_p[X]..

UWAGA! Jeśli q = p jest liczbą pierwszą (n=1), toF_p =  Z_p .

Lemat: Jeśli p jest liczbą pierwszą, to p|($\begin{matrix} p \\ i \\ \end{matrix})$, 0 < i < p

Lemat: Pierwiastki wielokrotne wielomianu f ∈ K[X] są pierwiastkami jego pochodnej f’.

Tw. Każde ciało skończone F_q posiada dokładnie jedno (z dokładnością do izomorfizmu) rozszerzenie stopnia n (n=1,2,3,…). Jest nim F_qⁿ.

Tw. Każda skończona podgrupa grupy multiplikatywnej K* ciała K jest cykliczna. W szczególności, jeśli K jest ciałem skończonym, to K* jest grupą cykliczną.

Wniosek: Jeśli K ⊂ L i ciała K i L są skończone, to rozszerzenie K ⊂ L jest pojedyncze, czyli L=K(a) dla pewnego a  ∈ L.

Rozszerzenia rozdzielcze

Def. Wielomian f ∈ K[X] nazywamy rozdzielczym, o ile f nie ma pierwiastków wielokrotnych swoim ciele rozkładu (ewentualnie w algebraicznym domknięciu ciała K).

Lemat: Jeśli char (K)=0 i f ∈ K[X] jest nierozkładalny, to f jest rozdzielczy.

Def. Jeśli K ⊂ L jest rozszerzeniem ciał, to a  ∈ L jest rozdzielczy nad K, o ile:

1. a jest algebraiczny nad K

2. wielomian minimalny f_a ∈ K[X] jest rozdzielczy.

Def. Rozszerzenie K ⊂ L nazywamy rozdzielczym, jeśli każdy element a  ∈ L jest rozdzielczy nad K.

Tw. Jeśli char (K) = 0, to każde rozszerzenie algebraiczne ciała K jest rozdzielcze.

? Tw. ? Jeśli K ⊂ L ⊂ L′ oraz K ⊂ L′ jest rozdzielcze, to K ⊂ L i L ⊂ L′ są rozdzielcze.

Wniosek Jeśli K ⊂ L i ciała K i L są skończone, to K ⊂ L jest rozdzielcze.

Tw. (Abela o elemencie pierwotnym) Jeśli K ⊂ L jest skończonym rozszerzeniem rozdzielczym, to jest ono pojedyncze, tzn. L = K(a) dla pewnego a  ∈ L.

Rozszerzenia normalne

Lemat: Jeśli K ⊂ L ⊂ L′ i K ⊂ L′ jest normalne, to L ⊂ L′ jest normalne.

Tw. Jeśli K ⊂ L jest skończonym rozszerzeniem normalnym oraz σ : L → L′ jest homomorfizmem ciał nad K, to σ(L) = L

Lemat: Jeśli L= K(a) oraz a_i jest pierwiastkiem wielomianu minimalnego f_a w ciele $\overset{\overline{}}{L}$, to istnieje dokładnie jeden homomorfizm ciał σ_i : L→ $\overset{\overline{}}{L}$, nad K taki, że σ_i(a) = a_i .

Tw. Załóżmy, że L= K(a) . Niech a będzie elementem algebraicznym nad K. Wówczas następujące warunki są równoważne:

1. K ⊂ L jest normalne

2. jeśli σ :L→ $\overset{\overline{}}{L}$, jest homomorfizmem ciał nad K, to σ(L) = L

3. wszystkie pierwiastki wielomianu minimalnego f_a w $\overset{\overline{}}{L}$ należą do L

4. L jest ciałem rozkładu wielomianu f_a

Teoria Galois

Rozszerzenie Galois:

Def. Skończone rozszerzenie ciał nazywamy rozszerzeniem Galois, o ile jest ono rozdzielcze i normalne.

Wniosek: Niech K ⊂ L będzie rozszerzeniem Galois. Wówczas:

1. K ⊂ L jest pojedyncze, czyli L= K(a)

2. L jest ciałem rozkładu jednego wielomianu (jest nim f_a, jeśli L= K(a))

Wniosek:

Jeśli K ⊂ L ⊂ L’ oraz jeśli K ⊂ L′ jest rozszerzeniem Galois, to L ⊂ L′ jest też rozszerzeniem Galois. (K ⊂ L jest tylko skończone i rozdzielcze)

Grupa Galois:

Def. Jeśli K ⊂ L jest dowolnym rozszerzeniem ciał, to grupą Galois tego rozszerzenia nazywamy:

$$G\left( \frac{L}{K} \right) = \{\sigma:L \rightarrow L;\sigma|K = \text{id}_{K}\}$$

Tw. Jeśli K ⊂ L jest rozszerzeniem Galois, to: |$\text{\ G}\left( \frac{L}{K} \right)| = \left\lbrack L:K \right\rbrack < \infty$

Dokładniej, jeśli L= K(a), to: $G\left( \frac{L}{K} \right) = \{\sigma_{1},\ldots,\sigma_{n}\}$, gdzie σ_i(a) = a_i.

Zasadnicze twierdzenie teorii Galois:

Tw. (zasadnicze twierdzenie teorii Galois) Niech k ⊂ K będzie skończonym rozszerzeniem Galois ciał oraz niech zbiór: A = {L; k ⊂ L ⊂ K; L – podciało ciała K} będzie zbiorem ciał pośrednich rozszerzenia k ⊂ K, zaś zbiór: $B = \{ H;H < G(\frac{K}{k})^{\text{ozn}} = G\}$ będzie zbiorem podgrup grupy Galois rozszerzenia k ⊂ K.

Ponadto niech będzie dane odwzorowanie φ : A → B, określone następująco:

$$\varphi\left( L \right) = \ G\left( \frac{K}{L} \right) = \left\{ \ \sigma \in G;\sigma \middle| L = \text{id}_{L} \right\} = \{\ \sigma \in G;\begin{matrix} \forall \\ x \in L \\ \end{matrix}\sigma\left( x \right) = x\}$$

oraz odwzorowanie ψ : B → A, określone poniżej:

$$\psi\left( X \right) = K^{H} = \{ x \in K;\ \begin{matrix} \forall \\ \sigma \in H \\ \end{matrix}\text{\ σ}\left( x \right) = x\}$$

gdzie K^H jest podciałem elementów stałych względem H. Jest to rzeczywiste podciało (zawierające k) – ciało pośrednie.

1. Odwzorowania φ i ψ określone powyżej są odwrotne względem siebie, więc ustalają odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną pomiędzy zbiorem A i zbiorem B. Odpowiedniość ta odwraca zawierania.

2. Fakt, że ciało pośrednie L odpowiada podgrupie H (L↔H) oznacza, że φ(L) = H, tzn. $G\left( \frac{K}{L} \right) = H$ lub równoważnie, że ψ(H) = L, tzn. K^H = L

3. Jeśli L jest ciałem pośrednim, to L ⊂ K jest rozszerzeniem Galois. Natomiast k ⊂ L jest rozszerzeniem Galois wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadająca podgrupa H jest dzielnikiem normalnym (H  ⊳ G). Jeśli tak jest, to: $\frac{G}{H} \simeq G\left( \frac{L}{K} \right)$ oraz $\frac{G\frac{(K\ }{k)}}{G(\frac{K}{L}} \simeq G\left( \frac{L}{k} \right)$

Lemat: Niech σ ∈ G i G=$\text{\ G}\frac{(K\ }{k)}$. Wówczas: H≺G → K^σHσ−1= σ(K^H)

Zastosowania teorii Galois

Lemat: Załóżmy, że char (K)=0 i K zawiera wszystkie pierwiastki z 1 stopnia n. Wówczas rozszerzenie K $\subset K(\sqrt[n]{a})$, gdzie  a  ∈ K jest rozszerzeniem Galois, a jego grupa Galois jest abelowa (a nawet cykliczna).

Def. (mniej formalna) Mówimy, że element $a\ \in \overset{\overline{}}{K}$ wyraża się przez pierwiastniki nad K, o ile można go otrzymać z elementów ciała K przy pomocy skończonej ilości następujących operacji: dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i wyciągania pierwiastków dowolnego stopnia.

Def. (formalna) Element $a\ \in \overset{\overline{}}{K}$ wyraża się przez pierwiastniki nad K, o ile istnieje skończony ciąg ciał: K = K₀ ⊂ K₁ ⊂ … ⊂ K_n ∋ a

$$K_{i} = K_{i - 1}\left( \sqrt[n]{a_{i}} \right);a_{i} \in K_{i - 1}$$

Def. Rozszerzenie K ⊂ L nazywamy pierwiastnikowym, o ile L ⊂ r(K), gdzie: r(K),={a$\in \overset{\overline{}}{K}$; a wyraża się przez pierwiastniki nad K}

Tw. Niech K ⊂ L będzie skończonym rozszerzeniem Galois. Wówczas K ⊂ L jest rozszerzeniem pierwiastnikowym (czyli L ⊂ r(K)) wtedy i tylko wtedy, gdy $G\left( \frac{L}{K} \right)$ jest rozwiązalna.

Def. Jeśli f ∈ K[X], to mówimy, że równanie:

(*) f(x)=0 jest rozwiązalne przez pierwiastniki nad K, o ile wszystkie pierwiastki (w $\overset{\overline{}}{K}$ ) tego równania należą do r(K), a więc wyrażają się przez pierwiastniki nad K.

Wniosek: Równanie (*) jest rozwiązalne przez pierwiastniki nad K wtedy i tylko wtedy, gdy $G\left( \frac{L}{K} \right)$ jest rozwiązalna, gdzie L jest ciałem rozkładu wielomianu f nad K.

Wniosek: Jeśli st f  ≤ 4, to równanie (*) jest rozwiązalne przez pierwiastniki.

Tw. (Ruffini – Abela) Wzory na rozwiązywanie równań stopnia n istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy n ≤ 4.

Tw. Jeśli p i q są liczbami pierwszymi oraz p ≥5, to równanie: x^p − 2qx − q = 0

nie jest rozwiązalne przez pierwiastniki.

Konstrukcje geometryczne

Def. Domknięciem kwadratowym ciała K nazywamy zbiór r₂(K) takich elementów a  ∈ C, że istnieje ciąg ciał:

K = K₀ ⊂ K₁ ⊂ … ⊂ K_n ∋ a

$K_{i + 1} = K_{i}\left( \sqrt{a_{i}} \right);a_{i} \in K_{i}$, (i=1,…,n-1)

O elementach r₂(K) mówimy, że wyrażają się przez pierwiastniki kwadratowe nad K.

Wniosek: Wszystkie liczby należące do r₂(K) można otrzymać przy pomocy konstrukcji geometrycznych z ciała danych K. Jest i na odwrót – każda liczba konstruowana należy do r₂(K).

Tw. Punkt P=(a, b) (odp. liczbę a) można otrzymać przy pomocy cyrkla i linijki z danych punktów P₀ = (0,0), P₁ = (1,0), P₂ = (a₂,b₂), …, P_n = (a_n,b_n) ↔ a, b ∈ r₂(K) (odp. a ∈r₂(K)), gdzie K jest ciałem danych K=ℚ(a₂, b₂, …,  a_n, b_n)

Wniosek: Jeśli jest tak jak powyżej (a ∈r₂(K)) to [K(a):K]=2^m (m – l. naturalna)

Tw. (Gaussa) ­n -kąt foremny można skonstruować wtedy i tylko wtedy, gdy n =  2^k • p₁ • … • p_s, gdzie p₁, …, p_s są różnymi liczbami pierwszymi Fermata, tzn. liczbami pierwszymi postaci F_k = 2^2k + 1.