Zadanie

Wyznaczyć współrzędne wierzchołków rombu ABCD o polu równym 8 wiedząc, że wierzchołki A i C są punktami przecięcia okręgu

X² + y²- 4x - 4y + 6 = 0 i prostej x - y=0.

Rozwiązanie:

Narysujemy okrąg i prostą oraz wyznaczymy ich punkty przecięcia A i C.

X² + y² – 4x – 4y +6 = 0

$\left\{ \begin{matrix} {(x - 2)}^{2} + \ {(y - 2)}^{2} = 2 \\ x - y = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ $ x² + x² – 4x – 4x + 6 = 0

2x² – 8x + 6 = 0

X² – 4x +3 = 0

A:$\left\{ \begin{matrix} x_{1} = 1 \\ y_{1} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ $ C:$\left\{ \begin{matrix} x_{2} = 3 \\ y_{2} = 3 \\ \end{matrix} \right.\ $

Pole rombu:

P=$\frac{d_{1}d_{2}}{2}$ d₁ = d_AC =$\sqrt{(3 - {1)}^{2} + \ {(3 - 1)}^{2}}$

d₁ = 2$\sqrt{2}$

P = 8 więc

8 = $\frac{2\sqrt{2} \bullet d_{2}}{2}$

d₂ = $\frac{8}{\sqrt{2}}$ = 4$\sqrt{2}$

Wierzchołki B i D leżą na prostej prostopadłej do AC i przechodzącej przez środek okręgu O (2,2). Ich odległość od tego punktu wynosi$\text{\ \ }\frac{d_{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

$$\overrightarrow{\text{AC}} = \lbrack 2,2\rbrack$$

l_BD: 2(x – 2) + 2(y – 2) = 0

x + y – 4 = 0

Współrzędne punktu B otrzymujemy z zależności:

B∈ l_BD i d_BO = 2$\sqrt{2}$ $\left\{ \begin{matrix} x_{B} + y_{B} - \ 4 = 0 \\ \sqrt{(x_{B} - \ 2)^{2} + \ (y_{B} - 2)^{2} = 2\sqrt{2}} \\ \end{matrix} \right.\ $

$$\left\{ \begin{matrix} y_{B} = 4 - x_{B}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ (x_{B} - 2)^{2} + (4 - x_{B} - \ 2)^{2} = 8 \\ \end{matrix} \right.\ $$

(x_B – 2)² + (2 – x_B)² = 8

2(x_B – 2)² = 8

(x_B – 2)² = 4

X_B – 2 = 2 lub x_B – 2 = -2

B:$\left\{ \begin{matrix} x_{B} = 4 \\ y_{B} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $ D: $\left\{ \begin{matrix} x_{B} = 0 \\ y_{B} = 4 \\ \end{matrix} \right.\ $

B₁ (4,0) = B B₂(0,4) = D

(bo równanie na współrzędne punktu D jest identyczne).

Odpowiedź: Współrzędne wierzchołków rombu są następujące:

A(1,1), B(4,0), C(3,3), D(0,4)

Zadanie

Podstawa trójkąta równoramiennego zawiera się w prostej o równaniu

x + y -1 = 0.

Jedno z ramion jest zawarte w prostej o równaniu x – 2y + 2 = 0.

Wyznaczyć równanie prostej zawierającej drugie ramię wiedząc, że przechodzi ona przez punkt P(-2,0).Obliczyć pole tego trójkąta i pole koła wpisanego w ten trójkąt.

Rozwiązanie:

Narysujemy szukany trójkąt równoramienny:

l₁: x + y -1 = 0

x	0	1
y	1	0

l₂: x – 2y +2 = 0

x	0	-2
y	1	0

Z rysunku dokładnie widać, że narysowany przypadek jest jedyny możliwy. Prosta l₃ przechodząca przez punkty B(x_B,y_B) i P(-2,0) ma postać:

y – 0 =$\ \frac{y_{B} - \ 0}{x_{B} + \ 2}$ (x + 2)

y = $\frac{y_{B}}{x_{B} + \ 2}(x + 2)$

Współrzędne punktu B znajdziemy z układu zależności

d_BP = d_AP i B∈l₁

d_BP = $\sqrt{(x_{\text{B\ }} + \ 2)^{2} + y_{B}^{2}}$ = d_AP = $\sqrt{{( - 2 - 0)}^{2} + \ (0 - 1)^{2}}$

(x_B + 2)² + y_B² = 4 + 1

(x_B + 2)² + y_B² = 5

B∈l₁ → x_B + y_B – 1 = 0

$\left\{ \begin{matrix} {(x}_{B} + 2)^{2} + y_{B}^{2} = 5 \\ x_{B} + y_{B} = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ $ → y_B = 1 - x_B

(x_B – 2)² + (1 + x_B)² = 5

X_B² + 4x_B + 4 +1 + 2x_B +x_B² – 5 = 0

2x_B² + 2x_B = 0

2x_B (x_B + 1) = 0

X_B = 0 lub x_B = -1

dla x_B = 0 y_B = 1 otrzymujemy punkt A czyli przypadek banalny A = B

dla x_B = -1 y_B = 2 B(-1,2)

a więc szukane równanie prostej l₃ ma postać

l₃: y = $\frac{2}{- 1 + 2}\left( x + 2 \right) = 2x + 4$

y = 2x – 4

Pozostałe wielkości obliczamy po znalezieniu długości boków trójkąta.

Wiemy , że BP = AP = $\sqrt{5}$

AB = $\sqrt{( - 1 - 0)^{2} + \ (2 - 1)^{2}} = \sqrt{2}$

P = połowa obwodu = $\frac{2\sqrt{5} + \sqrt{2}}{2}$

Pole Δ rozpięte pomiędzy dwoma wektorami

$\overrightarrow{w}$ = a_x a_y i $\overrightarrow{v}$ = b_x b_y 

jest równe S_Δ= $\frac{\left| a_{x}b_{y} - \ a_{y}b_{x} \right|}{2}$

$\overrightarrow{w}\ $= $\overrightarrow{\text{PB}}$ = |1,2| $\overrightarrow{v}$ = $\overrightarrow{\text{PA}}$ =|2,1|

czyli S_Δ = $\frac{\left| 1 \bullet 1\ - \ 2 \bullet 2 \right|}{2}$ = $\frac{\left| 1 - 4 \right|}{2}$ = $\frac{3}{2}$ j²

r = $\frac{S}{p}$ =$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{2\sqrt{5}\ - \ \sqrt{2}}{2}}$ = $\frac{3}{2} \bullet \frac{2}{2\sqrt{5}\ - \ \sqrt{2}}$ = $\frac{3}{2\sqrt{5} + \ \sqrt{2}}$ = $\frac{2\sqrt{5}\ - \ \sqrt{2}}{6}$

Pole koła wpisanego w ten trójkąt

S = πr² = π⋅$\frac{(2\sqrt{5} - \ \sqrt{2})^{2}}{36}$ = π$\frac{4 \bullet 5 - 4\sqrt{10} + \ 2}{36}$ = π$\frac{22 - 4\sqrt{10}}{36}$ j²

Odpowiedź:

Równanie szukanej prostej ma postać: y = 2x – 4, pole trójkąta $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}$j²,a pole koła wpisanego w ten trójkąt wynosi π$\frac{\mathbf{22 - 4}\sqrt{\mathbf{10}}}{\mathbf{36}}$ j²

Zadanie

Wyznaczyć równanie prostej, z której elipsa o równaniu x² +  2y² = 8 wycina cięciwę o środku w punkcie S = (1,1).

Rozwiązanie:

E: x² +  2y² = 8

$$\frac{x^{2}}{8} + \ \frac{y^{2}}{4} = 1$$

Punkty przecięcia prostej i elipsy oznaczamy A i B. Otrzymujemy układ równań:

A ∈ E 1. x_A² +  2y_A² = 8

B ∈ E 2. x_B² +  2y_B² = 8

3. $x_{s} = \ \frac{x_{A + \ }x_{B}\ }{2} = 1$ → x_A +  X_B = 2 → x_B = 2 −  x_A

4. $y_{s} = \ \frac{y_{A} + \ y_{B}}{2} = 1$ → y_A +  x_B = 2  → y_B = 2 −  y_A

$$\left\{ \begin{matrix} x_{A}^{2}\ + \ 2y_{A}^{2\ } = \ 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ {(2 - x_{A})}^{2}\ + \ 2{(2 - y_{A})}^{2}\ = \ 8 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} x_{A}^{2}\ + \ 2y_{A}^{2}\ = \ 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (4\ - \ 4x_{A}\ + \ x_{A}^{2}\ + \ 2(4\ - \ 4y_{A}\ + \ y_{A}^{2}\ = \ 8 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} x_{A}^{2}\ + \ 2y_{A}^{2}\ = \ 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 4\ - \ 4x_{A}\ + \ 8\ - \ 8y_{A}\ + 8\ = \ 8 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} x_{A}^{2}\ + \ 2y_{A}^{2}\ = \ 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ - 4x_{A}\ - \ 8y_{A}\ = \ - 12\ /:\ - 4\ \ \rightarrow \ x_{A}\ + \ 2y_{A}\ = \ 3\ \ \rightarrow \text{\ \ }x_{A}\ = \ 3 - 2y_{A} \\ \end{matrix} \right.\ $$

(3 − 2y_A)²  +  2y_A²  =  8

9 - 12y_A  +  4y_A²  +  2y_A²  =  8

6y_A²  −  12y_A  +  1  =  0

△  =  144  − 24  =  120

$$\sqrt{\bigtriangleup}\ = \ \sqrt{120}\ = \ 2\sqrt{30}$$

$y_{A}\ = \ \frac{12\ - \ 2\sqrt{30}}{12}\ = \ \frac{6\ - \ \sqrt{30}}{6}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ }$ $y_{A}\ = \ \frac{12\ + \ 2\sqrt{30}}{12}\ = \ \frac{6\ + \ \sqrt{30}}{6}$

$$x_{A}\ = \ 3\ - \ 2\frac{6\ - \ \sqrt{30}}{6}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{lub}\text{\ \ }\text{\ \ \ \ \ \ \ x}_{A}\ = \ 3\ - \ 2\frac{6\ + \ \sqrt{30}}{6}$$

$$x_{A}\ = \ \frac{18\ - \ 12\ + \ 2\sqrt{30}}{6}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ \ \ }x_{A}\ = \ \frac{18\ - \ 12\ - \ 2\sqrt{30}}{6}$$

$$x_{A}\ = \ \frac{6\ + \ 2\sqrt{30}}{6}\ = \ \frac{3\ + \ \sqrt{30}}{3}\text{\ \ \ \ \ l}\text{ub\ \ \ \ \ \ }x_{\text{A\ }} = \ \frac{3\ - \ \sqrt{30}}{3}$$

$$x_{B} = 2 - \ x_{A} = 2 - \ \frac{3 + \ \sqrt{30}}{3}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ }x_{B} = 2 - \ \frac{3 - \ \sqrt{30}}{3}$$

$$x_{B} = \ \frac{6 - 3 - \sqrt{30}}{3} = \ \frac{3 - \ \sqrt{30}}{3}\text{\ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ }x_{B} = \ \frac{3 + \ \sqrt{30}}{3}$$

$$y_{B} = 2 - \ y_{A}\ = 2 - \ \frac{6 - \ \sqrt{30}}{6}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ }y_{B} = 2 - \ \frac{6 + \ \sqrt{30}}{6}\ $$

$$y_{B} = \ \frac{12 - 6 + \ \sqrt{30}}{6} = \ \frac{6 + \ \sqrt{30}}{6}\text{\ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ }y_{B} = \ \frac{6 - \ \sqrt{30}}{6}\text{\ \ \ \ }$$

A więc mamy dwa punkty:

A $\left( \frac{3 + \ \sqrt{30}}{3},\ \frac{6 - \sqrt{30}\ }{6} \right)$ B $\left( \frac{3 - \ \sqrt{30}}{3},\frac{6 + \ \sqrt{30}}{6} \right)$

Równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B ma postać:

y - $y_{A} = \ \frac{y_{A} - \ y_{B}}{x_{A} - \ x_{B}\ }\ (x - \ x_{A})$

y - $\frac{6 - \ \sqrt{30}}{6} = \frac{\frac{6 - \ \sqrt{30}}{6}\ - \ \frac{6 + \ \sqrt{30}}{6}}{\frac{3 + \ \sqrt{30}}{3} - \ \frac{3 - \ \sqrt{30}}{3}}\ \left( x - \ \frac{3 + \ \sqrt{30}}{3} \right)$

y- $\frac{6 - \ \sqrt{30}}{6} = \ \frac{6 - \ \sqrt{30\ } - \ 6 - \ \sqrt{30}}{6}\ *\ \frac{3}{3 + \ \sqrt{30} - \ 3 - \ \sqrt{30}}\ *\ \left( x - \ \frac{3 + \ \sqrt{30}}{3} \right)$

$$y - \ \frac{6 - \ \sqrt{30}}{6} = \ \frac{- 2\sqrt{30}}{6}\ *\ \frac{3}{2\sqrt{30}}\ *\ \left( x - \ \frac{3 + \ \sqrt{30}}{3} \right)$$

$$y = \ - \frac{1}{2}x + \ \frac{3 + \ \sqrt{30}}{6} + \ \frac{6 - \ \sqrt{30}}{6}\ $$

$$y = \ - \frac{1}{2}x = + \ \frac{9}{6}$$

$$y = \ - \frac{1}{2}x + \ \frac{3}{2}$$

Odpowiedź: Szukana prosta ma być prostą $\mathbf{\ y = \ -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{x + \ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}$.