Liczba ρ- może być równa 0 lub ∞ lub przybierać wartości pośrednie; własności liczby ρ- 1) ρ_AB=ρ_BA 2) ρ_AB+ρ_BC≥ρ_AC 3) ρ_AB+ρ_BC>ρ_AC

Współliniowość- jeżeli weźmiemy dwa niejednoczące się pkty A i B to dowolny punkt C spełniający równanie ρ_AB+ρ_BC=ρ_AC jest współliniowy z pktami A i B

Prosta- zbiór wszystkich pktów współliniowych z dwoma pktami niejednoczącymi się. Przez dwa niejednoczące się pkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta. Kiedy prosta należy do płaszczyzny?- jeżeli przechodzi przez dwa niejednoczące się punkty tej płaszczyzny Prosta niewłaściwa- punkty niewłaściwe zbioru prostych właściwych jednej płaszczyzny Zwrot- wskazanie za pomocą strzałki kierunku opadania prostej Stopniowanie- znajdowanie na rzucie tej prostej pktów o określonych cechach Moduł- liczba która wskazuje ile jednostek mieści się w odcinku rzutu prostej zawartym między pktami o cechach różniących się o 1 Moduł geometrycznie- ctg kąta nachylenia tej prostej do rzutni π: m_a=ctgϕ Nachylenie- odwrotność modułu prostej; tg kąta ostrego zawartego między prostą a rzutnią: n_a=tgϕ Proste charakterystyczne na płaszczyźnie- warstwowe i spadu Prosta warstwowa(warstwica)- prosta przechodząca przez pkty o tych samych cechach. Jest równoległa do rzutni. Na płaszczyźnie warstwice są równoległe a jeżeli mają cechy całkowite- równoodległe Prosta spadu- prosta prostopadła do prostych warstwowych tej płaszczyzny. Ma najmniejszy moduł ze wszystkich prostych tej płaszczyzny Moduł prostej spadu płaszczyzny- równy jest modułowi tej płaszczyzny: m_s=m_α Proste skośne- nie mają pktu wspólnego bo nie leżą na jednej płaszczyźnie Prosta wspólna dwóch płaszczyzn (krawędź)- wyznaczają ją pkty przecięcia dwóch par jednoimiennych warstwic tych płaszczyzn Kiedy prosta jest równoległa do płaszczyzny? jeżeli na tej płaszczyźnie istnieje prosta równoległa do prostej danej Kiedy prosta a jest prostopadła do płaszczyzny α? jeżeli spełnione są jednocześnie warunki: moduł prostej a jest równy odwrotności modułu płaszczyzny α, rzut prostej a jest równoległy do rzutu prostej spadu płaszczyzny α, zwrot prostej a jest przeciwny do zwrotu prostej spadu płaszczyzny α Kiedy prosta a jest prostopadła do prostej b? jeżeli przez prostą b można poprowadzić płaszczyznę α prostopadłą do prostej a

Płaszczyzna- zbiór wszystkich punktów współpłaszczyznowych z dowolną trójką punktów nie współliniowych i niejednoczących się. Współpłaszczyznowość- obieramy trzy pkty niejednoczące się i nie współliniowe A,B,C. Każdy pkt współliniowy z dwoma z nich jest współpłaszczyznowy z wszystkimi trzema. Ρ_AB+ρ_BC>ρ_AC Kiedy płaszczyzna α jest prostopadła do płaszczyzny β? jeżeli na płaszczyźnie βistnieje prosta prostopadła do płaszczyzny α

Punkt- Kiedy punkt należy do płaszczyzny?- jeżeli należy do prostej tej płaszczyzny Punkt niewłaściwy- punkt w którym dwie proste równoległe przecinają się nieskończenie daleko Kiedy pkt należy do prostej? jeżeli jego rzut należy do rzutu tej prostej (niezmiennik II) a jego cecha odpowiada cesze pktu prostej jednoczącego się z nim Kiedy pkt należy do płaszczyzny? jeżeli należy do prostej tej płaszczyzny Kiedy pkt jest wspólny dla dwóch prostych?- gdy proste leżą na jednej płaszczyźnie. Może być to pkt właściwy lub niewłaściwy Obrót pktu A- przemieszczenie pktu A do położenia A₁ w płaszczyźnie ω prostopadłej do osi obrotu I. Pkt przesuwa się po łuku okręgu λ którego środek S leży na osi obrotu Obrót zbioru pktów- polega na obrocie poszczególnych pktów tego zbioru wokół wspólnej osi i o taki sam kąt obrotu

Rzuty- środkowy- część wspólna wiązki prostych rzutujących przechodzących przez te punkty i płaszczyzny obrazu równoległy- szczególny przypadek rzutu środkowego, w którym środek rzutu jest punktem niewłaściwym prostokątny- szczególny przypadek rzutu równoległego, gdy proste rzutujące są prostopadłe do płaszczyzny obrazu (rzutni) jednoznaczny- gdy jednemu punktowi odpowiada jeden i tylko jeden rzut i odwrotnie niejednoznaczny- Śr, R, Pr, gdy jednemu punktowi nie odpowiada jeden i tylko jeden rzut i odwrotnie Rzut płaszczyzny- wyznaczają go rzuty pktów niejednoczących się i nie współliniowych tworzących tę płaszczyznę Kiedy dwie proste są równoległe w rzucie cechowanym?- jeżeli spełnione są jednocześnie warunki: rzuty prostych są równoległe, zwroty prostych są zgodne, moduły prostych są jednakowe Kiedy płaszczyzny są równoległe w rzucie cechowanym? jeżeli- proste spadu tych płaszczyzn są prostymi równoległymi Rzut prostej- wyznaczają go rzuty pktów tworzących prostą Rzut prostej nierzutującej- jest prostą (niezmiennik I) Rzut prostej rzutującej- pkt Konstrukcje podstawowe w rzucie cechowanym- el.przynależnych, el.wspólnych, el.równoległych, el.prostopadłych, konstrukcja obrotu, konstrukcja kładu

Niezmiennik rzutowania- ta własność zbioru, która zostaje zachowana w obrazie po przekształceniu rzutowym. Śr- I, II; R- I,II,III,IV,V; Pr- I,II,III,IV,V,VI; I- o zachowaniu współliniowości- rzutem pktów współliniowych są pkty współliniowe; II- o zachowaniu przynależności elementu do zbioru elementów- jeżeli element należy do pewnego zbioru elementów to jego rzut należy do rzutu tego zbioru; III- o zachowaniu stosunku podziału odcinka- jeżeli punkt dzieli odcinek w określonym stosunku to jego rzut dzieli rzut tego odcinka w takim samym stosunku; IV- o zachowaniu równoległości prostych- rzutem prostych równoległych nierzutujących są proste równoległe; V- o zachowaniu związków miarowych- związki miarowe (odległości i kąty) są zachowane w rzucie zbioru leżącego na płaszczyźnie równoległej do rzutni; VI- o zachowaniu kąta prostego- kąt prosty jest zachowany w rzucie jeżeli jego jedno ramię jest do rzutni równoległe a drugie ramię nie jest do tej rzutni prostopadłe

Powinowactwo osiowe- zależność między układem płaskim a jego rzutem równoległym. Ten rodzaj rzutu jest jednoznaczny Własności- 1) każdemu pktowi płaszczyzny α odpowiada jeden i tylko jeden pkt płaszczyzny π i odwrotnie; 2) każdej prostej płaszczyzny α odpowiada jedna i tylko jedna prosta płaszczyzny π i odwrotnie; 3) pary odpowiadających sobie pktów leżą na prostych wzajemnie równoległych których kierunek nazywamy kierunkiem powinowactwa; 4) pary odpowiadających sobie prostych przecinają się na jednej prostej zwanej osią powinowactwa Kierunek- kierunek prostych wzajemnie równoległych Oś- prosta na której przecinają się pary odpowiadających sobie prostych pow. określone- gdy dane są oś powinowactwa i para odpowiadających sobie pktów LUB para odpowiadających sobie pktów i para odpowiadających sobie prostych

Kład- wyznaczenie rzutu płaszczyzny doprowadzonej za pomocą obrotu do położenia równoległego do rzutni. W konstrukcji kładu osią obrotu jest prosta warstwowa w zależności od ustawienia obracanej płaszczyzny względem rzutni- kład płaszczyzny rzutującej (Ɛ prost π, v=90^o), kład płaszczyzny nierzutującej (v≠90^o) Kład płaszczyzny rzutującej- płaszczyzna ta jest prostopadła do rzutni, kąt obrotu v=90^o Kład płaszczyzny nierzutującej- płaszczyzna ta nie jest ani prostopadła ani równoległa do rzutni, kąt obrotu to kąt nachylenia danej płaszczyzny do rzutni v(v≠90^o v≠0^o)

Konstrukcje podstawowe- konstrukcje które umożliwiają poznanie wzajemnych relacji między zbiorami i elementami geometrycznymi i pozwalają na rozwiązywanie wszelkich zadań na podstawie tych relacji

Elementy przynależne- pkt należący do prostej (Aϵa), prosta należąca do płaszczyzny (aϵα), pkt należący do płaszczyzny (Aϵα)

Elementy wspólne- pkt wspólny dwóch prostych (A=a∩b), prosta wspólna dwóch płaszczyzn (k=α∩β), pkt wspólny prostej i płaszczyzny (Q=a∩α)

Warstwice jednoimienne- te które mają tę samą cechę ale jedna należy do jednej płaszczyzny a druga do drugiej płaszczyzny

Wyznaczanie pktu wspólnego prostej i płaszczyzny- znajdując na tej płaszczyźnie prostą przecinającą prostą daną

Elementy równoległe- dwie proste równoległe (aǁb), prosta równoległa do płaszczyzny (aǁα), dwie płaszczyzny równoległe (αǁβ)

Elementy prostopadłe- prosta prostopadła do płaszczyzny (a prost α), dwie psote prostopadłe (a prost b), dwie płaszczyzny prostopadłe (α prost β)