TEORIA BŁĘDU

a – liczba przybliżona

A – liczba dokładna

a > A lub a < A

∆a – błąd liczby przybliżonej a

∆a = A - a

∆ - błąd bezwzględny liczby a

∆ = |∆a| = |A - a|

_a – kres górny ∆

_a ≥ |A-a|

a-_a - przybliżenie z niedomiarem

a + _a - przybliżenie z nadmiarem

a-_a ≤ A ≤ a + _a

∂ (delta mała) – błąd względny liczby a

∂ = $\frac{\mathbf{}}{\mathbf{|A|}}$

∂_a – kres górny ∂

∂_a≥ ∂

Błąd sumy:

Np. y = m+m to:  ∂_y = |∂_m|+|∂_m|

_y = |_m|+|_m|

Błąd różnicy:

Np. y = m-n to: ∂_y = |∂_m|+|∂_n|

 _y = |_m|+|_n|

Błąd iloczynu:

Np. y = m*n to:  ∂_y = |∂_m|+|∂_n|

_y = |_m * n|+|m*_n|

Błąd ilorazu:

Np. y = $\frac{m}{n}$ to:  ∂_y = |∂_m|+|∂_n|

$_{y}\ \leq \ \frac{_{m}}{n} + \ \left| y \right| - \ \frac{_{n}}{n}$

Błąd potęgowania:

Np. y =  mⁿ to:  ∂_y = |n| * |∂_m|

$_{y}\ \leq \left| n \right|*\frac{|y|}{|m|}*_{m}$

Błąd pierwiastkowania:

Np. $y = \ \sqrt[n]{m}$ to: ${{\ \partial}_{y} = \frac{1}{|n|}*|\partial}_{m}|$

$_{y}\ \leq \frac{1}{|n|}*\frac{|y|}{|m|}*_{m}$

INTERPOLACJA LAGRANGE’A

$$\mathbf{W}_{\mathbf{n}}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{= \ }\sum_{\mathbf{j = 0}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{y}_{\mathbf{j}}\mathbf{*}\mathbf{P}_{\mathbf{j}}\mathbf{(x)}}$$

Gdzie $\mathbf{P}_{\mathbf{j}}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{= \ }\frac{\left( \mathbf{x -}\mathbf{x}_{\mathbf{0}} \right)\left( \mathbf{x -}\mathbf{x}_{\mathbf{1}} \right)\left( \mathbf{x -}\mathbf{x}_{\mathbf{2}} \right)\mathbf{\ldots(x -}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}\mathbf{)}}{\left( \mathbf{x}_{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{0}} \right)\left( \mathbf{x}_{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{1}} \right)\left( \mathbf{x}_{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{2}} \right)\mathbf{\ldots}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{j - 1}} \right)\left( \mathbf{x}_{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{j + 1}} \right)\mathbf{\ldots}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{n}} \right)}$

INTERPOLACJA NEWTONA (ilorazów różnicowych)

i	xi	F(xi)	iloraz różnicowy
			I
0	-1	-6
	$IR1.0 = \ \frac{4 - ( - 6)}{1 - ( - 1)}$ = 5
1	1	4
	$IR1.1 = \ \frac{- 1 - 4}{(2 - 1)}$ = -5		$IR3.0 = \ \frac{IR2.1 - IR2.0}{(3 - ( - 1))}$ =2,58
2	2	-1
	$IR1.2 = \ \frac{8 - ( - 1)}{(3 - 2)}$ = 9
3	3	8

W₃(x) =  F(x₀) +  IR1.0 * W₀(x) +  IR2.0 * W₁(x)+ IR3.0 * W₂(x)

Gdzie  W_n(x) = (x−x₀)(x−x₁)…(x − x_n)

RÓŻNICE PROGRESYWNE

∆f – różnica progresywna

∆f = f(x+h) – f(x)

Gdzie h – odległość między węzłami (jest stała)

ⁿf - różnica progresywna n-tego rzędu

ⁿf =  (^n − 1f)

$$W_{n}\left( x \right) = \ y_{0} + \frac{y_{0}}{1!h^{1}}\left( x - x_{0} \right) + \ \frac{^{2}y_{0}}{2!h^{2}}\left( x - x_{0} \right)\left( x - x_{1} \right) + \ldots + \ \frac{^{n}y_{0}}{n!h^{n}}\left( x - x_{0} \right)\left( x - x_{1} \right)\ldots(x - x_{n - 1})$$

WZÓR CZEBYSZEWA

x_m - węzeł najbardziej optymalny

$$x_{m} = \ \frac{1}{2}\left\lbrack \left( b - a \right)*cos\frac{2m + 1}{2n + 2}\pi + (b + a) \right\rbrack$$

Gdzie: m – ilość węzłów

n – ilość węzłów – 1

a - węzeł skrajny - z lewej

b - węzeł skrajny – z prawej

R_N - błąd dla węzłów optymalnych

$$R_{N}\ \leq \ \frac{M_{n + 1}}{\left( n + 1 \right)!}*\ \frac{{(b - a)}^{n + 1}}{2^{2n + 1}}$$

Gdzie: $\mathbf{M}_{\mathbf{n + 1}}\mathbf{= \ }\overset{\mathbf{\sup}}{\overbrace{\mathbf{<}\mathbf{x}_{\mathbf{0}}\mathbf{;\ }\mathbf{x}_{\mathbf{n}}\mathbf{>}}}\mathbf{\ |}\mathbf{f}^{\left( \mathbf{n + 1} \right)}\mathbf{(x)|}$

Jest to maximum w przedziale <x₀;  x_n>

m – ilość węzłów

n – ilość węzłów – 1

INTERPOLACJA ZA POMOCĄ FUNKCJI SKLEJANYCH

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} M_{0} \\ M_{1} \\ M_{2} \\ M_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_{0} \\ d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \\ \end{bmatrix}$$

Gdzie:

$$d_{0} = \ \frac{6}{h_{1}}\ \left( \frac{y_{1 -}y_{0}}{h_{1}} - \ \alpha \right)$$

$$d_{n} = \ \frac{6}{h_{n}}\ \left( \beta - \ \frac{y_{n -}y_{n - 1}}{h_{1}} \right)$$

$$d_{j} = \ \frac{6}{h_{j} + h_{j + 1}}\ \left( \frac{y_{j + 1 -}y_{j}}{h_{j + 1}} - \frac{y_{j} - y_{j - 1}}{h_{j}} \right)$$

Gdzie: (w tym przypadku) j=1…2

h – odległość między węzłami

α = f′(x₀) , β = f′(x_n)