Doświadczenie M9 – WAHADŁO REWERSYJNE

1. Wahadło matematyczne jest to punkt materialny o masie m zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici o długości l. Okres drgań tego wahadła jest określony wzorem:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

l – długość wahadła

g – przyspieszenie ziemskie

Wahadło fizyczne jest to ciało sztywne dowolnego kształtu mogące się wahać wokół osi poziomej znajdującej się powyżej środka masy.

Oba wahadła, matematyczni i fizyczne, wykonują drgania pod działaniem siły ciężkości.

W zakresie małych amplitud ruch ten jest ruchem harmonicznym prostym i jego równanie wygląda następująco:

$$\frac{d^{2}\alpha}{dt^{2}} + \ \frac{\text{mgd}}{I}\alpha = 0$$

gdzie:

I – moment bezwładności ciała względem osi obrotu

α – kąt wychylenia z położenia równowagi

d – odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości

Częstość kołowa drgań wahadła:

$$\omega = \ \sqrt{\frac{\text{mgd}}{I}}$$

i

$$\omega = \ \frac{2\pi}{T}$$

stąd wynika, że:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\text{mgd}}}$$

Dla każdego wahadła fizycznego można dobrać taką długość wahadła matematycznego, że ich okresy wahań są równe. Długość zredukowana wahadła fizycznego jest to długość jaką ma wahadło matematyczne o takim samym okresie wahań. Długość tą można obliczyć porównując ze sobą wzory:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l_{z}}{g}}$$

oraz

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\text{mgd}}}$$

Długość zredukowana wahadła wynosi więc:

$$l_{z} = \ \frac{I}{\text{md}}$$

Wahadła rewersyjne pozwala na wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego bez znajomości masy, momentu bezwładności i położenia środka masy wahadła. Posiada ono dwa punkty zawieszenia, którym odpowiada ten sam okres drgań, przy czym odległość między tymi punktami jest równa l_z.

Jeśli oś obrotu umieszczona jest w punkcie O, to okres wahań będzie wynosił:

$$T_{o} = 2\pi\sqrt{\frac{I_{o}}{\text{mgd}}}$$

I_o – moment bezwładności wahadła względem punktu O.

Kiedy obrócimy wahadło tak, że oś obrotu będzie umieszczona w punkcie O’, leżącym w odległości l_z od punktu O, to okres wahań będzie wynosił:

$$T_{o'} = \ \sqrt{\frac{I_{o'}}{mg(l - d)}}$$

Momenty bezwładności względem osi przechodzących przez punktu O i O’ można wyrazić przez moment bezwładności I_C względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy. Na podstawie twierdzenia Steinera:

I_O =  I_c +  md²

oraz

I_O′ =  I_c +  m(l − d)²

zatem

I_O′ =  I_O +  ml(l − 2d)

Na podstawie wzoru na długość wahadła zredukowanego:

$$ml = \ \frac{I_{O}}{d}$$

czyli

$$I_{O'} = \ I_{O} + \ \frac{I_{O}}{d}\left( l - 2d \right) = \ I_{O}\frac{l - d}{d}$$

ostatecznie:

$$T_{O'} = 2\pi\sqrt{\frac{I_{O}(l - d)}{mgd(l - d)}} = 2\pi\sqrt{\frac{I_{O}}{\text{mgd}}}$$

Wynika z tego, że T_O = T_O’.

Wartość przyspieszenia ziemskiego można obliczyć przekształcając wzór na okres wahań:

$$g = \ \frac{{4\pi}^{2}l_{z}}{T^{2}}$$

1. Opis układu doświadczalnego.

Układ doświadczalny składa się z wahadła rewersyjnego. Na nim osadzone są dwie metalowe kule M₁ oraz M₂. Na pręcie wahadła przyczepiona została miarka umożliwiająca dokładne ustalenie długości wahadła. Podczas doświadczenia masa M₁ została zawieszona na wysokości 10 cm, a następnie zmierzono czas 10 okresów drgań wokół osi. Po tym zmierzono czas 10 drgań wokół osi dla punktu O’. Soczewka była przesuwana co 8 cm, za każdym razem mierzony był czas 10 drgań wokół osi dla punktów O i O’. Aby dokładnie ustalić odległość między h_O i h_O’ zmierzono czas 10 drgań przesuwając soczewkę M₁ co 1 cm od 9 cm do 11 cm i od 105 cm do 107 cm (są to punkty przecięcia wykresów krzywych).

1. Wyniki pomiarów

h [cm]	TO [s]	TO’ [s]
10	32,2	22,59
18	21,28	22,11
26	19,78	19,81
34	18,49	21,79
42	18,08	19,46
50	18,56	19,37
58	18,69	21,55
66	19,09	21,54
74	19,56	21,49
82	20,1	21,53
90	20,9	21,73
98	21,47	21,92
106	22,05	22,38
114	22,77	22,81

Dokładność odczytu wysokości h wynosi 0,1 cm, dokładność pomiaru okresów drgań – 0,01 s.

Pomiary co 1 cm zostały przeprowadzone w punktach 9, 10, 11 cm oraz 105, 106, 107 cm .

h [cm]	To [s]	To’ [s]
9	34,25	22,68
10	32,72	22,73
11	30,24	21,9

h [cm]	TO [s]	TO’ [s]
105	24,64	23,86
106	22,83	22,91
107	22,07	22,69

W związku z tym h_o = 10 cm i h_o’ = 106 cm.

Trzykrotne pomiary 50-ciu okresów drgań dla tych wysokości wynoszą:

h_o = 10 cm

Lp	TO [s]	TO’ [s]
1	2,25,95	1,52,79
2	2,22,43	1,55,20
3	2,38,33	1,57,61

H_O’ = 106 cm

Lp	TO [min]	TO’ [min]
1	1,52,57	1,51,27
2	1,57,38	1,55,38
3	1,45,40	1,47,08

Niestety, rozbieżności pomiędzy wartościami dla 10-ciu okresów i dla 50-ciu okresów są zbyt duże. Prawdopodobnie został popełniony błąd gruby, w związku z czym wyniki dla 50-ciu okresów nie będą brane pod uwagę.

Odległość między ostrzami = l_Z = 96 cm

Opracowanie wyników

Średnie wartości dla pojedynczego okresu

h_O = 10 cm

TO [s]	TO’ [s]
3,27	2,27

h_O’ = 106 cm

TO [s]	TO’ [s]
2,28	2,29

Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną:

$$\overset{\overline{}}{x} = \ \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$$

obliczono średni czas trwania okresu dla długości zredukowanej l_Z:

$$\overset{\overline{}}{T} = 2,5275\ s$$

Po podstawieniu $\overset{\overline{}}{T}$ oraz l_Z do wzoru na wartość przyspieszenia ziemskiego otrzymano wartość:

g = 5,92663514398 m/s²

1. Rachunek błędów.

Odchylenie standardowe serii pomiarów T_i zostało obliczone ze wzoru:

$$S_{T} = \ \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( T_{i} - \ \overset{\overline{}}{T} \right)^{2}}$$

a niepewność standardowa ze wzoru:

$$u\left( T \right) = \ \frac{S_{T}}{\sqrt{n}}$$

S_T = 2,917209 s

u(T) = 0,551301 s

Błąd pomiaru długości zredukowanej l_Z:

l_z =  |l_O| +  |l_O′| = 2 mm 

Niepewność pomiaru przyspieszenia ziemskiego g obliczono korzystając z wzoru na złożoną niepewność standardową:

$$u_{c}\left( g \right) = \ \sqrt{\sum_{j = 1}^{r}{\left( \frac{\text{δf}}{{\delta\overset{\overline{}}{x}}_{j}} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( x_{j} \right)}} = \ \sqrt{\left( \frac{{4\pi}^{2}}{T^{2}} \right)^{2} \bullet^{2}l_{z} + \left( \frac{{2 \bullet 4\pi}^{2}l_{z}}{T} \right)^{2} \bullet^{2}}T = g\sqrt{\left( \frac{{l}_{z}}{l_{z}} \right)^{2} + \left( \frac{2 \bullet u(T)}{T} \right)^{2}} = 0,4362421862448$$

Porównanie wyniku z wartością tablicową.

Wartość tablicowa przyspieszenia ziemskiego wynosi g=9,80665 m/s².

Dla poziomu ufności 0,95 współczynnik rozszerzenia k=1,96.

Dla tak wyznaczonego współczynnik rozszerzenia:

$$\overset{\overline{}}{g} = k \bullet u_{c}\left( g \right) = \ 1,96 \bullet 0,4362421862448\frac{m}{s^{2}} = 0,8550346850398\frac{m}{s^{2\ }}$$

Zatem:

g=[5,93±0,86] m/s²

1. Wnioski.

Otrzymany wynik nie jest zgodny z wartością tablicową. Czynnikami wpływającymi na ten wynik była nieprawidłowa wartość h_O, niestety nie można było powtórzyć doświadczenia ze względu na ograniczony czas trwania zajęć. Do pozostałych czynników należą: brak informacji na temat kąta wychylenia wahadła oraz czas reakcji osób przeprowadzających pomiary.

Wykres 10T=f(h) dla wahań na obu ostrzach.