Integralność konstrukcji kolokwium nr 3.

1. Krzywa Wöhlera materiału

   1. Sposób wyznaczania

Wikipedia:

Wykres Wöhlera – wykres zależności pomiędzy wartością naprężeń niszczących próbkę danego materiału i ilością cykli zmian obciążenia tej próbki.

Podstawowymi badaniami zmęczeniowymi są badania mające na celu określenie wytrzymałości zmęczeniowej, tzn. tej wartości zmiennego naprężenia, które materiał może znieść nieskończenie długo.

Najprostsze z tego rodzaju badań są badania na trwałość, pozwalające na zbudowanie tzw. wykresu Wöhlera. Przeprowadzane są one na maszynach zmęczeniowych umożliwiających regulowanie wartości naprężenia, przy równoczesnym określeniu liczby cykli potrzebnych do zniszczenia próbki przy z góry zadanych wartościach σ_a,  σ_m.

Otrzymane wyniki układają się wówczas w wykres przedstawiony na rysunku.
Z przytoczonego wykresu wynika, że naprężenie niszczące R maleje dość szybko do pewnej wartości, nazywanej wytrzymałością zmęczeniową.

Przyjęto do obliczeń uważać, ze jeżeli materiał wykazuje wytrzymałość zmęczeniową (tzn. wykres zbliża się asymptotycznie do pewnej prostej), wówczas nieograniczona liczba zmian naprężeń poniżej tej wartości nie powoduje już zniszczenia badanego elementu.

1. Definicja trwałej i ograniczonej wytrzymałości zmęczeniowej materiału

• Wytrzymałość zmęczeniowa trwała materiału – największa amplituda naprężenia σ_a, przy której nie dochodzi do zniszczenia próbki.

• Wytrzymałość zmęczeniowa ograniczona – największa amplituda naprężenia σ_a, przy której nie nastąpi zniszczenie próbki przed upływem danej liczby cykli N_f
  (np. N_f = 10⁵)

1. Wyznaczanie trwałości zmęczeniowej materiału przy niezerowym naprężeniu średnim na podstawie krzywej Wöhlera dla R = 1.

1. Rysunki pokazują schematycznie trendy związane z wpływem naprężeń średnich. Wybrać prawidłowe opcje.

1. Narysować wykres σ_a/σ_ar versus σ_m, wynikający z badań eksperymentalnych
   i omówić przybliżone zależności stosowane do jego opisu.

Znormalizowany wykres amplitudy w funkcji naprężenia średniego otrzymany z krzywych
S-N materiału przy naprężeniu średnim σ_m = const.

Jeżeli każdą z krzywych N_f = const przedstawi się w formie znormalizowanego wykresu σ_a/σ_ar versus σ_m, gdzie σ_ar – wytrzymałość zmęczeniowa przy σ_m = 0 (R = −1) dla danego N_f, to wszystkie takie wykresy mają następujące dwa punkty:

σ_a/σ_ar = 1;  σ_m = 0

oraz

σ_a/σ_ar = 0;  σ_m = R_m

Wykres wskazuje, że występuje tendencja do konsolidacji punktów (σ_a/σ_ar;σ_m) dla różnych N_f w pojedynczą krzywą.

• Równanie Goodmana (prosta) – najlepsze wyniki dla materiałów o niskiej ciągliwości

$$\frac{\sigma_{a}}{\sigma_{\text{ar}}} + \frac{\sigma_{m}}{R_{m}} = 1$$

• Równanie Gerbera (parabola) – najlepsze wyniki dla materiałów o wysokiej ciągliwości (wydłużenie procentowe przy próbie rozciągania > 5%). Równanie przewiduje, niezgodnie z doświadczeniami, niekorzystny wpływ σ_m < 0 na wytrzymałość zmęczeniową. Założenie zachowawcze przy σ_m ≤ 0 – linia punktowa pozioma.

$$\frac{\sigma_{a}}{\sigma_{\text{ar}}} + \left( \frac{\sigma_{m}}{R_{m}} \right)^{2} = 1,\ przy\ \sigma_{m} \geq 0$$

• Równanie Morrowa (prosta) – lepsza zgodność z eksperymentem w porównaniu z r. Goodmana. Dobra aproksymacja wyników dla wszystkich materiałów ciągliwych.

$$\frac{\sigma_{a}}{\sigma_{\text{ar}}} + \frac{\sigma_{m}}{{\sigma'}_{f}} = 1$$

σ′_f – amplituda niszcząca po 1 nawrocie obciążenia (2N_f=1).

Metale kruche (żeliwo): równanie Goodmana prowadzi do wyników niezachowawczych (punkty doświadczalne leżą pod prostą). Stosuje się do nich specjalne równania.

1. Wyznaczanie trwałości zmęczeniowej materiału przy zmiennoamplitudowych historiach obciążenia.

   1. Reguła Palmgrena–Minera,

Jeżeli amplituda σ_a, i powtarza się przez cykl N_i cykli, a liczba cykli do zniszczenia określona z krzywej S-N przy tej amplitudzie wynosi N_f, i, to część trwałości zużytej przy σ_a, i wynosi N_i/N_f, i. Zniszczenie nastąpi, gdy:

$$\sum_{}^{}\frac{N_{i}}{N_{f,i}} = 1$$

Tzn. trwałość przewidywana wynosi:

$$N_{f,\ P - M} = \sum_{}^{}N_{i}$$

Schemat wyjaśniający zastosowanie reguły P-M do przewidywania trwałości materiału przy zmiennych amplitudach naprężeń dla przypadku σ_m = 0 (R = −1).

Jeżeli jedna i ta sama sekwencja obciążenia, którą wtedy można nazwać okresem, jest powtarzana wiele razy, np. lot samolotu, to:

$$B_{f}\left( \sum_{}^{}\frac{N_{i}}{N_{f,i}} \right)_{1\ okres} = 1$$

B_f – liczba powtórzeń okresu

$\left( \sum_{}^{}\frac{N_{i}}{N_{f,i}} \right)_{1\ okres}$ – uszkodzenie zmęczeniowe w 1 okresie

Jeżeli w jakichś cyklach historii obciążenie – czas występują niezerowe naprężenia średnie to N_f, i trzeba wyznaczyć np. z równań Morrowa.

1. Efekty interakcji obciążeń.

Zjawisko to polega na tym, żer w zmiennoamplitudowej historii obciążenia uszkodzenie zmęczeniowe D_i spowodowane danym cyklem i (σ_a, i,  σ_m, i)może być inne, niż przy obciążeniu stałoamplitudowym:

$$D_{i} \neq \frac{1}{N_{f,i}}$$

N_f, i – trwałość przy obciążeniu stałoamplitudowym o parametrach σ_a, i,  σ_m, i

W zależności od historii obciążenia (spektrum obciążenia), materiału, poziomu średniego naprężeń spektrum i geometrii może być:

Niekorzystny efekt interakcji:

$$D_{i} > \frac{1}{N_{f,i}}$$

Korzystny efekt interakcji:

$$D_{i} < \frac{1}{N_{f,i}}$$

Ponieważ reguła Palmgrena-Minera nie uwzględnia efektu interakcji obciążeń, w bardzo wielu przypadkach może dawać wyniki wysoce niezgodne z doświadczeniem, zarówno nadmiernie zachowawcze, jak i niezachowawcze. Może być:

$$\frac{1}{100} \leq \frac{N_{f,\ P - M}}{N_{\text{f\ rzeczywiste}}} \leq 100$$

Sposoby uwzględniania efektu interakcji obciążeń:

• nieliniowe reguły kumulacji uszkodzeń,

• względna reguła P-M,

• uwzględnianie amplitud poniżej trwałej wytrzymałości zmęczeniowej.

  1. Względna reguła Palmgrena–Minera,

Założenie: jeżeli dwie historie obciążenia są dostatecznie podobne, to odchylenia od reguły P-M mają te same kierunki i względne wartości.

Jeżeli dla jednego spektrum znamy N′_{f eksp}/N′_{f obl} (trwałości rzeczywiste i obliczone z reguły P-M), to dla drugiego spektrum, które jest podobne, będzie:

N′_{f eksp}/N′_{f obl} = N″_{f eksp}/N″_{f obl}

stąd:

N″_{f eksp} ≈ N″_{f obl}(N′_{f eksp}/N′_{f obl})

Wada: brak ogólnego kryterium „podobieństwa” spektrum.

Praktyczne zastosowanie:

• historia eksploatacyjna inna niż projektowa (zmiana zadań urządzenia, inne niż przewidziano warunki eksploatacji),

• spektrum eksploatacyjne nie zostało ocenione prawidłowo,

• nie jest możliwe przeprowadzenie w laboratorium badań symulujących pełną historię obciążenia o długim „ogonie” małych amplitud ze względów czasowych trzeba pominąć znaczną liczbę małych cykli.

Ilustracja konieczności pominięcia „małych” cykli w badaniach laboratoryjnych

N – liczba przekroczeń danego poziomu amplitudy σ_a

Liczba cykli uwzględniona w badaniach laboratoryjnych: 10⁷

Liczba cykli przewidziana do eksploatacji: 10⁹

Liczba cykli pominięta w badaniach laboratoryjnych: N_pom = 10⁹ − 10⁷ = 9, 9 ⋅ 10⁸ cykli

Zyski na czasie badań przy założeniu częstości obciążenia 20Hz:

10⁹ cykli=578 dni; 10⁸ cykli=58 dni; 10⁷ cykli=6 dni

Widma lotnicze: pominięcie cykli o amplitudach poniżej 0,5Z – wzrost trwałości o 10-30%. Małe cykle w realistycznych, nieregularnych historiach obciążenia mogą się okazać szkodliwe, gdy w materiale istnieją już mikrouszkodzenia zmęczeniowe (także pasma poślizgów) spowodowane przez poprzedzające cykle.