Wykład pierwszy

Temat III

Językoznawstwo

Logiczna teoria języka

Kategorie syntaktyczne

Budowa języka

J. M. Bocheński Współczesne metody myślenia, ss. 54 - 57

Budowa języka. Z syntaktycznego punktu widzenia język składa się z pewnej mnogości wyrażeń, dla których obowiązują określone reguły. Dla uproszczenia przez język będziemy rozu­mieli język pisany, chociaż, z pewnymi ograniczeniami, rozwa­żania poniższe obowiązywałyby również w dziedzinie języka mówionego. Reguły pewnego określonego języka, powiedzmy języka S, determinują, które wyrażenia należą do S, tzn. które są sensowne w S; wszystkie inne wyrażenia są w tym języku syntaktycznie bezsensowne. Tak np. słowo „homme” jest wpraw­dzie wyrażeniem, ale jest bezsensowne w języku polskim.

Sensowne wyrażenia języka S mogą być podzielone na dwie klasy: (1) atomowe albo proste wyrażenia. Wyrażenia te są tak utworzone, że żadna ich indywidualna część nie może być właściwym (sensownym) wyrażeniem w S. Tak np. wyrażenie „czło­wiek” jest wyrażeniem atomowym języka polskiego. (2) Molekularne albo złożone wyrażenia. Tutaj już indywidualne części są pewnym sensownym wyrażeniem w S. Przykład z języka pol­skiego: „człowiek jest organizmem”. W tym wypadku „czło­wiek”, „organizm”, „jest”, wzięte same dla siebie, są sensow­nymi (atomowymi) wyrażeniami języka polskiego.

Pojęcie kategorii syntaktycznej. Dla syntaktycznej sensow­ności wyrażeń molekularnych (złożonych) pewnego języka obowiązują dwie fundamentalne reguły:

1) wyrażenia molekularne powinny być złożone wyłącznie z sensownych wyrażeń danego języka, a więc ostatecznie tylko z sensownych wyrażeń atomowych tego języ­ka

2) Samo składanie powinno przebiegać według określonych dla danego języka reguł formowania.

Reguły te mają we wszystkich językach wspólny rdzeń, który może być stresz­czony w prawach tzw. kategorii syntaktycznych.

Mianem „kategorii syntaktycznej” określa się tę klasę wyrażeń jakiegoś języka, z której każde wyrażenie może być zamienione z dowolnym innym wyrażeniem tej klasy w ramach sensownej wypowiedzi, a wypowiedź ta nie straci przy tym swojego sensu. Tak np. imiona własne tworzą kategorią syntaktyczną języka polskiego. W każdym sensownym polskim zdaniu - np. „Fryderyk pije” - można zastąpić imię własne przez inne, a zdanie to nie straci swojego sensu. W powyższym przykładzie „Fryderyk” może być zastąpiony przez „Jan”, „Ewa”, „Napoleon”, a nawet przez „Gaurisankar”, zdanie na­dal jednak pozostanie sensowne (prawdziwe albo fałszywe, ale jednak sensowne). W przeciwieństwie do tego pewien czasownik, np. „śpi” należy do innej kategorii syntaktycznej. Jeżeli w naszym zdaniu za „Fryderyk” podstawimy „śpi”, to powsta­nie wyrażenie bezsensowne: „śpi pije”.

Jak widać, pojęcie kategorii syntaktycznej odpowiada dość dokładnie pojęciu części zdania ze zwykłej gramatyki. Różnica polega na tym, że w gramatyce rozważa się żywy, więc bardzo niedokładnie skonstruowany język i dlatego jej prawa są luźne i nieprecyzyjne. Dla celów naukowych powinno się jednak dążyć do perfekcyjnego języka, dla którego można i trzeba ustalić ścisłe prawa.

Funktory i argumenty. Chcemy teraz naszkicować prosty sy­stem kategorii syntaktycznych wychodząc od pojęcia funktora i argumentu. Wyrażenie, które określa inne wyrażenie nazywa się jego „funktorem”, wyrażenie określane jest „argumentem”. „Określanie” należy tu rozumieć w możliwie najszerszym sen­sie. Mówi się np., że w zdaniu „pada deszcz i pada śnieg” „i” określa oba zdania częściowe („pada deszcz” i „pada śnieg”); a więc jest ich funktorem, podczas gdy one są argu­mentami „i”. W każdym rozwiniętym języku istnieją dwoja­kiego rodzaju wyrażenia: jedne mogą być tylko argumentami, np. nazwy indywiduowe i zdania, natomiast inne tylko funktorami, jak np. czasowniki. Kategorie syntaktyczne wyrażeń pierwszego rodzaju chcemy nazwać „kategoriami podstawowy­mi”, drugiego rodzaju „kategoriami funktorowymi”.

Ilość kategorii podstawowych jest dość dowolna; dla uprosz­czenia przyjmujemy tutaj tylko dwie: wspomniane wyżej kate­gorie nazw i zdań. W związku z tym wszystkie funktory możemy podzielić w następujący sposób:

(1) Według kategorii syntaktycznej ich argumentów. Odróżniamy więc: (a) funktory określające nazwy (np. „śpi”, „kocha”, „jest większy niż” itd.); (b) funktory określające zdania (np. „i”, „nie jest tak, że”, „albo” itd.); (c) funktory określające funktory (np. „bardzo” w „dziecko jest bardzo ładne”, ar­gumentem jest tutaj „ładne”).

(2) Według kategorii syntaktycznej wyrażenia molekular­nego składającego się z funktora i jego argumentów odróżnia­my: (a) funktory nazwotwórcze (np. „dobry” w „dobre dziecko”, ponieważ tutaj całe wyrażenie jest nazwą); (b) funktory zdaniotwórcze (np. wyżej wymienione funktory określające zdania, np. „pada deszcz i pada śnieg” jest ponownie zdaniem); (c) funktory funktorotwórcze (np. „głośno” w „pies głośno szczeka”, tutaj „głośno” wraz ze swoim argumentem „szczeka” jest znowu funktorem).

(3) Według ilości argumentów odróżniamy funktory jednoargumentowe albo monadyczne (np. „śpi”, „biegnie”), dwuargumentowe albo diadyczne (np. „kocha”, „jest większy niż”), trzyargumentowe (np. „daje”: A daje B C; tutaj A, B i C na­leży rozumieć jako argumenty od „daje”), i dalej, n-argumentowe funktory.

Widać natychmiast, że wyrażenia języków naturalnych nie stosują się do tego schematu, gdyż bardzo często są syntaktycznie wieloznaczne. Tak np. polskie słowo „je” raz okazuje się jednoargumentowym funktorem („Co robi Fryderyk? On je”), innym razem funktorem dwuargumentowym („Fryderyk je kieł­basę”). Ta wieloznaczność przyczynia się wprawdzie do piękna języka i jest poetycko wartościowa, lecz bardzo, osłabia jego ścisłość i jasność, i w ten sposób stanowi jeszcze jeden powód dla używania języków sztucznych.

Kategorie syntaktyczne

G. Malinowski Logika ogólna, ss. 23 – 25

Identyfikowanie wyrażeń ze względu na rolę, jaką pełnią w budowaniu wyrażeń złożonych, prowadzi do podziału zasobów danego języka na kategorie syntaktyczne. Dwa wyrażenia należą do jednej kategorii syntaktycznej, jeśli są wzajemnie „wy­mienialne” w dowolnym kontekście, bez utraty spójności syntaktycznej - poprawno­ści składniowej tego kontekstu.

Podstawy teorii kategorii syntaktycznych sformułował w latach trzydziestych ubiegłego wieku polski filozof i logik Kazimierz Ajdukiewicz. Jej późniejsze uogól­nienia i rozszerzenia weszły do kanonu narzędzi używanych do formalizacji i ba­dań języka naturalnego. Głównym narzędziem metody Ajdukiewicza są wskaźniki opisujące kategorie oraz reguły redukcji (upraszczania) złożonych wskaźników do wskaźników prostszych.

Podstawowe kategorie syntaktyczne: nazwy (wskaźnik n)

zdania (wskaźnik z)

Złożone kategorie syntaktyczne: funktory (wskaźniki „ułamkowe”)

operatory („specjalne” wskaźniki ułamkowe”)

Wskaźniki złożonych kategorii syntaktycznych budowane są ze wskaźników wyrażeń podstawowych, tj. nazw i zdań.

Nazwy. Wyrażenie językowe jest nazwą, o ile nadaje się na podmiot lub orzecznik zdania podmiotowo-orzecznikowego (po) o budowie

„A jest (to) B”.

Zauważmy, że A jest podmiotem, B zaś orzecznikiem zdania (po). Zauważmy, że przyjęte w logice pojęcie nazwy odbiega od swego gramatycznego odpowiednika.

Zdania. Zdaniem w logice nazywa się wyrażenie posiadające wartość logicz­ną. Funkcjonuje nawet specjalny termin „zdanie w sensie logicznym”. Terminem tym określa się te spośród poprawnych gramatycznie zdań, którym można przypisać jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę lub fałsz.

Funktory. Funktory to wyrażenia językowe niesamodzielne, nienazwowe i niezdaniowe, służące do konstruowania bardziej złożonych wyrażeń. Wyrażenia, z któ­rymi funktor tworzy nowe wyrażenie, nazywamy jego argumentami. W zależności od tego, jaka jest kategoria składniowa tworzonej całości, dany funktor określa się jako

• nazwotwórczy,

• zdaniotwórczy,

• funktorotwórczy.

Ilość i jakość argumentów funktora jest jego drugą charakterystyką.

Operatory. W językach symbolicznych spotykamy wyrażenia wymykające się tradycyjnemu podziałowi na funktor i argumenty. Takimi wyrażeniami są np. kwantyfikatory w logice klasycznej: ∀ x, ∃x - dla każdego x, dla pewnego x. Są one składnio­wo zbliżone do funktorów, lecz w odróżnieniu od tych ostatnich są „syntaktycznie aktywne” i wchodzą w interakcję z wyrażeniem, które poprzedzają. Kwantyfikatory przypominają funktory zdaniotwórcze o jednym argumencie zdaniowym, tj. funktory typu z/z. Równocześnie jednak posiadają własność wiązania zmiennych nazwowych. … Wiązanie operatorami jest ważną metodą eliminacji zmiennych w funkcjach zdaniowych jednej i wielu zmiennych.

Pojęcie zdania w sensie logicznym

G. Malinowski Logika ogólna, ss. 47 – 48

Ze wszystkich poprawnych składniowo zdań języka (potocznego lub naukowe­go) interesować nas będą te, które podlegają ocenie z punktu widzenia prawdy i fał­szu. Zdania takie nazywać będziemy zdaniami w sensie logicznym, prawdę i fałsz zaś wartościami logicznymi. Prawda i fałsz są przypisywane odpowiednio zdaniom prawdziwym oraz zdaniom fałszywym.

Zdanie jest prawdziwe, jeśli w rzeczywistości, którą opisuje, jest tak, jak ono głosi. Zdanie jest fałszywe, jeśli nie jest tak, jak ono głosi. Podane określenia nawią­zują do tzw. klasycznej definicji prawdy, którą podał Arystoteles:

Powiedzieć o czymś, co jest, że jest, i o czymś, co nie jest, że nie jest-to powie­dzieć prawdę, powiedzieć zaś o czymś, co jest, że nie jest, oraz o czymś, co nie jest, że jest - to powiedzieć fałsz.

Określenia tego rodzaju wystarczają do ustalenia prawdziwości i fałszywości rozmaitych zdań, w szczególności zaś zdań języka potocznego, opisujących otaczającą nas rzeczywistość.

Operatory

Zwrot (wyrażenie), które w wyrażeniu złożonym, zawierającym zmienne odnosi się do danej zmiennej, nazywamy operatorem. O operatorze odnoszącym się np. do zmiennej x, powiemy, że wiąże tę zmienną, natomiast o zmiennej, że jest związana przez ten operator. Taka zmienna, która w danym wyrażeniu nie jest związana przez operator, nazywa się zmienną wolną.

Np. w funkcji zdaniowej: „Istnieje takie x, że x ≤ y”, zwrot: „Istnieje takie …, że” jest operatorem, który wiąże zmienną x; x jest zmienną związana przez ten operator, a y jest zmienną wolną.

W wyrażeniu, które zawiera operator możemy wyróżnić: 1) sam operator, 2) zmienną do której operator się odnosi, i 3) zasięg operatora, tj. występujące po operatorze wyrażenie zawierające zmienną związaną.

Operatory dzielimy na kategorie syntaktyczne ze względu na:

1) kategorię syntaktyczną wyrażenia złożonego, całości, którą dany operator tworzy razem ze zmienną związaną i swoim zasięgiem,

2) ilość wyrażeń występujących w zasięgu operatora (argumentów)

3) kategorie syntaktyczne kolejnych argumentów

4) kategorie syntaktyczną zmiennej związanej przez operator

Rodzaje operatorów

W logice występują następujące operatory:

A) operatory kwantyfikacji:

1) ∀, Λ - kwantyfikator ogólny, duży – wyrażenie: dla każdego

2) ∃, V - kwantyfikator szczegółowy, egzystencjalny, mały– wyrażenie: dla pewnego, istnieje takie … że

3) ∃₁, V₁ - kwantyfikator jednostkowy – wyrażenie: istnieje dokładnie jeden taki …, że

B) pozostałe operatory :

4) l_x W(x) - operator deskrypcyjny – wyrażenie, które czytamy: jedyne x takie, że W(x), tzn. jedyny taki przedmiot x, który ma własność W; W(x) oznacza, że przedmiot x ma własność W, a zwrot l_x W(x) opisuje jedyny przedmiotu x o danej własności.

Np. jeśli W(x) = y jest matką x-a, to l_x W(x) czytamy: jedyne y takie, że y jest matką x-a.

5) {x; W(x)}- operator abstrakcji – wyrażenie, które czytamy: zbiór tych x, że W(x)

Symbol {x; W(x)} oznacza zbiór tych x, które mają własność W/spełniają warunek W. Funkcja W(x), opisująca tę własność/podająca ten warunek, jest funkcją zdaniową o zmiennej wolnej x. W tym symbolu wyrażenie „zbiór tych x, że” jest operatorem wiążącym zmienną x.

Prawo eliminacji operatora abstrakcji:

y∈{x; W(x)} ≡ W(y)

Wyrażająca to prawo formuła oznacza, że przedmiot y należy do zbioru tych x, które mają własność W wtedy i tylko wtedy, gdy przedmiot y ma własność W. Inaczej, prawo to mówi, że zdanie, które stwierdza, że dany przedmiot posiada pewną własność (W), jest równoważne zdaniu stwierdzającemu, że dany przedmiot należy do zbioru (klasy) przedmiotów posiadających tę własność.

Funkcje

- Funkcja zdaniowa to takie wyrażenie, które zawiera zmienne.

w uproszczeniu: funkcja zdaniowa to tyle, co zdanie ze zmiennymi. Po wprowadzeniu odpowiednich podstawień na miejsce zmiennych funkcja zdaniowa staje się zdaniem w sensie logicznym. Przykłady: S jest P. Jeżeli p, to q. x + 2 = 5.

- Funkcja nazwowa to takie wyrażenie, z którego po wprowadzeniu odpowiednich podstawień na miejsce zmiennych otrzymujemy nazwy. Przykłady: S; a + b; 3x.

- Definicja spełniania funkcji zdaniowej

F(x) - funkcja zdaniowa o zmiennej x.

Definicja 3: Przedmiot a spełnia funkcję zdaniową F(x) wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie E(a), powstałe przez podstawienie za zmienną wolną x nazwy przedmiotu a, jest prawdziwe.

Np. Przedmiot Kraków spełnia funkcję zdaniową F(x) = x jest miastem wojewódzkim, gdyż zdanie „Kraków jest miastem wojewódzkim” jest prawdziwe.

Przedmiot 3 spełnia funkcję zdaniową F(x) = „x + 2 = 5”, gdyż zdanie „3 + 2 = 5” jest prawdziwe.

E_xF(x) – zbiór tych wartości zmiennej x, krócej: zbiór tych x-ów, dla których funkcja zdaniowa F(x) staje się zdaniem prawdziwym. Inaczej mówiąc, jest to zbiór x-ów, które spełniają funkcję zdaniową F(x).

E- od fr. ensemble –zbiór

Przykład: Dla F(x)= x>0, E_xF(x) jest zbiorem wszystkich liczb dodatnich.

Zachodzi równość:

{x; W(x)} = E_xF(x), przy W(x) = F(x)

są to bowiem tylko różne ujęcia tej samej sytuacji teoretycznej (tu: opisu zbioru).

Funkcja matematyczna

Definicja. Funkcją matematyczną f nazywamy takie przekształcenie (przyporządkowanie) zbioru A w zbiór B, które każdemu elementowi zbioru A przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru B.

Oznaczenia:

A, B – zbiory

A – dziedzina funkcji

B – przeciwdziedzina funkcji

x ∈A, x – argument funkcji

y∈B, y – wartość funkcji

f:A → B; f(x) = y

∀ x∈A∃₁y∈B; y = f (x)

Funkcja matematyczna to każdy taki podzbiór f iloczynu kartezjańskiego A x B, że dla każdego x ∈A istnieje jeden i tylko jeden y ∈ B taki, że <x, y> ∈ f.

W definicji funkcji nie zakładamy, że jej wartościami są wszystkie elementy zbioru B.

Jeśli tak jest, to mówimy, że funkcja jest przekształceniem zbioru A na B.

Zapis funkcji przy pomocy iloczynu kartezjańskiego:

pary uporządkowane: <x, y >, <x, f (x) >

f = {<x, f (x)>}; <x, f (x)>∈ f ≡ y = f (x)

f ⊂ A x B = {<x, f (x) >: x ∈ A ∧ f (x) ∈B}

Weźmy dwie funkcje f i g, oraz trzy zbiory A, B, C, takie, że

dla x∈A, y∈B, z∈C,

f:A → B, f(x) = y oraz g:B → C, g(y) = z

Wówczas możemy określić nowa funkcję h, taką że:

h:A → C, h(x) = g[f(y)], dla x∈A, z∈C

Funkcję h nazywamy funkcja złożoną lub superpozycją funkcji f i g; piszemy wówczas:

h = gf.

Funkcja różnowartościowa, funkcja odwrotna

Funkcję matematyczną f nazywamy różnowartościową, jeżeli różnym argumentom tej funkcji odpowiadają różne jej wartości:

(x₁ ≠ x₂) → f(x₁ ) ≠ f(x₂).

Jeśli funkcja f, przekształcająca zbiór A na zbiór B

f:A → B; f(x) = y

jest różnowartościowa, to wtedy istnieje dla niej funkcja odwrotna f^-1, którą określamy następująco:

f^-1: B → B; f^-1(y) = x

Zachodzi:

[f(x) = y] ≡[ f^-1(y) = x],

a także f = (f^-1) ^-1

Funkcja odwrotna do funkcji różnowartościowej, także jest różnowartościowa.

Dla każdego x zachodzi: x = f^-1[f(x)], a ponadto dla każdego y: y = f([ f^-1(y)], co oznacza, że

obie superpozycje funkcji f; f^-1f oraz f f^-1 także są różnowartościowe.

Ponieważ dla takich funkcji przyporządkowanie między x a y jest wzajemnie jednoznaczne, możemy je zapisać w postaci:

x y