Doświadczenie:

WAHADŁO MATEMATYCZNE

Temat:

WYZNACZENIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA

1. TEORIA

Wahadło

Wahadłem matematycznym nazywamy ciało o masie m i o niezmiernie małej objętości, skupionej w jednym punkcie zawieszonej na nieważkiej nici o stałej długości l.

W praktyce nie jest to możliwe do zrealizowania, gdyż nie istnieje nieważka, nierozciągliwa nić i nie ma ciała, którego masa byłaby skupiona w jednym punkcie. Dobrym przybliżeniem do tego ideału może być metalowa kulka zawieszona na cienkiej, stosunkowo mało rozciągliwej nici. Wahadło wykonuje ruch drgający. Drgania są w poziomie. Za ruch drgający wahadła matematycznego odpowiada składowa ciężaru ciała.

Siły działające na wahadło:

• Siły grawitacji

• Opór powietrza

Ruch drgający

Ruch drgający prosty jest ruchem najczęściej spotykanym w przyrodzie. Porusza się tam i z powrotem po tym samym torze. Powtarza się w równych odstępach czasowych. Przyczyną tego ruchu jest siła sprężystości.

Przykładami takiego ruchu są:

• Ruch struny instrumentu

• Ruch ciężarka zawieszonego na sprężynie wahadła

• Ruch tłoka w silniku.

Wyznaczanie wzoru na przyspieszenie ziemskie:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\ \ / \bullet 2$$

$$T^{2} = 4\pi^{2}\frac{l}{g}\ / \bullet g$$

T² • g = 4π² • l  /÷T²

$$\mathbf{g =}\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet l}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}$$

2.DOŚWIADCZENIE

Przyrządy:

• Wahadło matematyczne (ciężarek, nić)

• Statyw

• Stoper

• Miarka

Przebieg doświadczenia:

• Ciężarek zawieszamy na cienkiej nici i całość zaczepiamy na statywie. Mierzymy długość wahadła l (czyli odległość od punktu zawieszenia do środka ciężarka).

• Mierzymy czas t dwudziestu pięciu okresów, czyli 10 pełnych wahnięć - czas upływający od momentu, gdy wahadło jest w lewym skrajnym położeniu do momentu, gdy znajdzie się ponownie w tym położeniu. Mierzymy czas 10 okresów, żeby zmniejszyć niepewność pomiaru okresu.

• Otrzymane wyniki zapisujemy w tabelce (w tabeli umieszczamy zarówno wynik pomiaru czasu t, jak i obliczony okres T = t / 10).

• Do każdego pomiaru obliczamy wartość przyśpieszenia ziemskiego g wstawiając wartości pomiarów do wzoru na przyspieszenie ziemskie, a następnie obliczamy wartość średnią.

Wzór na przyspieszenie ziemskie -

$$g = \frac{4\pi^{2} \bullet l}{T^{2}}$$

Rysunek:

L- długość wahadła

3.TABELA POMIARÓW

Lp.	Długość wahadła l	Czas 10 wahnięć T10	Okres drgań T=T10÷10	Przyspieszenie ziemskie $$\mathbf{g}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{l}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}$$
1.	0,58 m	16,1 s	1,61	8,8
2.	0,58 m	15,2 s	1,52	9,9
3.	0,58 m	15,3 s	1,53	9,78
4.	0,58 m	14,5 s	1,45	10,89
5.	0,58 m	13,5 s	1,35	12,58
	Lśr = 0,58 m	T10śr = 14,9 s	Tśr = 1,49	Gśr = 10,39

Lp.	Długość wahadła l	Czas 10 wahnięć T10	Okres drgań T=T10÷10	Przyspieszenie ziemskie $$\mathbf{g}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{l}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}$$
1.	0,45 m	14,2 s	1,42	8,83
2.	0,45 m	13,5 s	1,35	9,75
3.	0,45 m	14,0 s	1,40	9,06
4.	0,45 m	14,5 s	1,45	8,45
5.	0,45 m	14,1 s	1,41	8,92
	Lśr = 0,45 m	T10śr = 14,6 s	Tśr = 1,41	Gśr = 9,001

Lp.	Długość wahadła l	Czas 10 wahnięć T10	Okres drgań T=T10÷10	Przyspieszenie ziemskie $$\mathbf{g}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{l}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}$$
1.	0,2 m	9,7 s	0,97	8,4
2.	0,2 m	9,4 s	0,94	8,97
3.	0,2 m	10,3 s	1,03	7,44
4.	0,2 m	9,9 s	0,99	8,05
5.	0,2 m	9,8 s	0,98	8,21
	Lśr = 0,2 m	T10śr = 9,82 s	Tśr = 0,982	Gśr = 8,214

4.WNIOSEK

Za pomocą wahadła matematycznego udało nam się dość dokładnie zmierzyć wartość przyspieszenia ziemskiego. Nie dysponowaliśmy bardzo dobrym sprzętem, dlatego otrzymany przez nas wynik nie jest bardzo dokładny. Błędy pomiarowe wynikają z trudności w uchwyceniu momentu, kiedy wahadło kończy swoje drganie.

Podczas pomiarów zauważyliśmy również, że okres drgań nie zależy od tego, jak bardzo wychyla się wahadło. Jest to zgodne z wzorem, który napisaliśmy we wstępie.

Analiza błędów

Do niezgodności wyniku otrzymanego i wartości tablicowej mogły przyczynić się:

• nieprawidłowy lub niedokładny pomiar długości wahadła

• niedokładny pomiar 10 drgnięć( zbyt wczesne lub zbyt późne włączenie lub wyłączenie stopera względem rozpoczęcia drgań wahadła)

• Błąd ludzkiego oka przy wyznaczaniu środka ciężkości masy

• Błąd ludzkiego oka przy wyznaczaniu punktu zawieszenia wahadła

• Zakłócenia układu drgającego

• Zbyt duże wychylenie wahadła (drgania harmoniczne są dla małych kątów)

Wykonały:

• Agnieszka Cios

• Aleksandra Otawska