28.03.2014	Mateusz Świerc AiR W1 C3 L6	Ocena
Ćwiczenie Nr. 2	Wyznaczanie stałej Plancka oraz pracy wyjścia elektronu.

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest obserwacja efektu fotoelektrycznego: wybijania elektronów z metalu przez światło o różnej częstości (barwie). Pomiar energii kinetycznej wybitych elektronów umożliwia obliczenie wartości stałej Plancka oraz pracy wyjścia elektronów.

1. Informacje oraz wzory potrzebne do ćwiczenia.

Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne polega na emisji elektronów z powierzchni metali wywołanej pochłanianiem prze elektrony będące w warstwie przypowierzchniowej energii h_u fotonów padających na tę powierzchnię.

Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne opisuje prawo Einsteina:

gdzie:

h - stała Planck’a, ,

- częstotliwość fotonu,

W - praca wyjścia elektronu,

V - prędkość elektronu,

Z praw tego widać, że energia pochłoniętego kwantu zostaje zużyta na wykonanie pracy wyjścia elektronu z powierzchni i nadania mu energii kinetycznej.

W celu przeprowadzenia pomiarów dla wyznaczenia stałej Planck’a należy w układzie z fotokomórką podłączyć źródło zasilania polaryzując odwrotnie fotokomórkę, tzn. anoda na potencjale ujemnym, a fotokatoda na potencjale dodatnim. Za pomocą takiego układu, regulując napięcie hamujące można zmniejszyć natężenie prądu fotoelektrycznego do zera. Umożliwia to wyznaczenie maksymalnej energii kinetycznej fotoelektronów z wyrażenia:

gdzie:

e - ładunek elektronu, ,

U - napięcia hamowania.

Potencjał hamujący nie zależy od natężenia światła, lecz rośnie z częstotliwością padającego światła.

Wykres zależności U=f (x) jest linią prosta, której współczynnik nachylenia względem osi y wynosi:

Można stąd wyliczyć stałą Planck’a oraz pracę wyjścia elektronu W:

1. Obliczenia.

Średnia wartość napięcia:

$$u_{sr} = \frac{U_{1} + U_{2} + U_{3}}{3}$$

$$u_{{sr}_{1}} = \frac{0,202 + 0,208 + 0,212}{3} = 0,207\ \text{mV}$$

$$u_{{sr}_{2}} = \frac{0,288 + 0,295 + 0,299}{3} = 0,294\ \text{mV}$$

$$u_{{sr}_{3}} = \frac{0,327 + 0,333 + 0,337}{3} = 0,332\ \text{mV}$$

$$u_{{sr}_{4}} = \frac{0,498 + 0,506 + 0,512}{3} = 0,505\ \text{mV}$$

$$u_{{sr}_{5}} = \frac{0,486 + 0,493 + 0,500}{3} = 0,493\ \text{mV}$$

$$u_{{sr}_{6}} = \frac{0,675 + 0,682 + 0,685}{3} = 0,681\ \text{mV}$$

$$u_{{sr}_{7}} = \frac{0,850 + 0,867 + 0,870}{3} = 0,862\ \text{mV}$$

$$u_{{sr}_{8}} = \frac{0,899 + 0,908 + 0,928}{3} = 0,912\ \text{mV}$$

$$u_{{sr}_{9}} = \frac{1,030 + 1,031 + 1,046}{3} = 1,036\ \text{mV}$$

Obliczanie wartości częstotliwości:

$$\nu = \frac{c}{\lambda}$$

$$c \approx 3*10^{8}\ \frac{m}{s}$$

$$\nu_{1} = \frac{3*10^{8}}{445*10^{- 9}} \approx 6,74*10^{14}\frac{1}{s}$$

$$\nu_{1} = \frac{3*10^{8}}{433*10^{- 9}} \approx 6,93*10^{14}\frac{1}{s}$$

$$\nu_{1} = \frac{3*10^{8}}{428*10^{- 9}} \approx 7,01*10^{14}\frac{1}{s}$$

$$\nu_{1} = \frac{3*10^{8}}{415*10^{- 9}} \approx 7,23*10^{14}\frac{1}{s}$$

$$\nu_{1} = \frac{3*10^{8}}{405*10^{- 9}} \approx 7,41*10^{14}\frac{1}{s}$$

$$\nu_{1} = \frac{3*10^{8}}{390*10^{- 9}} \approx 7,69*10^{14}\frac{1}{s}$$

$$\nu_{1} = \frac{3*10^{8}}{375*10^{- 9}} \approx 8*10^{14}\frac{1}{s}$$

$$\nu_{1} = \frac{3*10^{8}}{368*10^{- 9}} \approx 8,15*10^{14}\frac{1}{s}$$

$$\nu_{1} = \frac{3*10^{8}}{352*10^{- 9}} \approx 8,52*10^{14}\frac{1}{s}$$

Obliczanie odwrotności długości fal:

$\frac{1}{\lambda_{1}} = \frac{1}{445} \approx 2,25*10^{- 3}\ \frac{1}{\text{nm}}$=$2,25*10^{6}\ \frac{1}{m}$

$$\frac{1}{\lambda_{2}} = \frac{1}{433} \approx 2,31*10^{- 3}\ \frac{1}{\text{nm}} = 2,31*10^{6}\ \frac{1}{m}$$

$$\frac{1}{\lambda_{3}} = \frac{1}{428} \approx 2,34*10^{- 3}\ \frac{1}{\text{nm}} = 2,34*10^{6}\ \frac{1}{m}$$

$$\frac{1}{\lambda_{4}} = \frac{1}{415} \approx 2,41*10^{- 3}\ \frac{1}{\text{nm}} = 2,41*10^{6}\ \frac{1}{m}$$

$$\frac{1}{\lambda_{5}} = \frac{1}{405} \approx 2,47*10^{- 3}\ \frac{1}{\text{nm}} = 2,47*10^{6}\ \frac{1}{m}$$

$$\frac{1}{\lambda_{6}} = \frac{1}{390} \approx 2,56*10^{- 3}\ \frac{1}{\text{nm}} = 2,56*10^{6}\ \frac{1}{m}$$

$$\frac{1}{\lambda_{7}} = \frac{1}{375} \approx 2,67*10^{- 3}\ \frac{1}{\text{nm}} = 2,67*10^{6}\ \frac{1}{m}$$

$$\frac{1}{\lambda_{8}} = \frac{1}{368} \approx 2,72*10^{- 3}\ \frac{1}{\text{nm}} = 2,72*10^{6}\ \frac{1}{m}$$

$$\frac{1}{\lambda_{9}} = \frac{1}{352} \approx 2,84*10^{- 3}\ \frac{1}{\text{nm}} = 2,84*10^{6}\ \frac{1}{m}$$

Obliczanie niepewności standardowej wielkości $u\left( \lambda \right) = \frac{\tau}{2}$:

$$u\left( \lambda_{1} \right) = \frac{20}{2} = 10\ nm$$

$$u\left( \lambda_{2} \right) = \frac{30}{2} = 15\ nm$$

$$u\left( \lambda_{3} \right) = \frac{25}{2} = 12,5\ nm$$

$$u\left( \lambda_{4} \right) = \frac{25}{2} = 12,5\ nm$$

$$u\left( \lambda_{5} \right) = \frac{20}{2} = 10\ nm$$

$$u\left( \lambda_{6} \right) = \frac{10}{2} = 5\ nm$$

$$u\left( \lambda_{7} \right) = \frac{12}{2} = 6\ nm$$

$$u\left( \lambda_{8} \right) = \frac{12}{2} = 6\ nm$$

$$u\left( \lambda_{9} \right) = \frac{10}{2} = 5\ nm$$

Obliczanie niepewności $U\left( \frac{1}{\lambda} \right)$:

$$U\left( \frac{1}{\lambda} \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial\frac{1}{\lambda}}{\partial\lambda} \right)^{2}*{u(\lambda)}^{2}} = \sqrt{\left( - \frac{1}{\lambda^{2}} \right)^{2}*{u(\lambda)}^{2}}$$

$$U\left( \frac{1}{\lambda}_{1} \right) = \sqrt{\left( - \frac{1}{445^{2}} \right)^{2}*10^{2}} \approx 5,05*10^{- 5}\ \frac{1}{\text{nm}}$$

$$U\left( \frac{1}{\lambda}_{2} \right) = \sqrt{\left( - \frac{1}{433^{2}} \right)^{2}*15^{2}} \approx 8*10^{- 5}\ \frac{1}{\text{nm}}$$

$$U\left( \frac{1}{\lambda}_{3} \right) = \sqrt{\left( - \frac{1}{428^{2}} \right)^{2}*{12,5}^{2}} \approx 6,82*10^{- 5}\ \frac{1}{\text{nm}}$$

$$U\left( \frac{1}{\lambda}_{4} \right) = \sqrt{\left( - \frac{1}{415^{2}} \right)^{2}*10^{2}} \approx 5,81*10^{- 5}\ \frac{1}{\text{nm}}$$

$$U\left( \frac{1}{\lambda}_{5} \right) = \sqrt{\left( - \frac{1}{405^{2}} \right)^{2}*{12,5}^{2}} \approx 7,62*10^{- 5}\ \frac{1}{\text{nm}}$$

$$U\left( \frac{1}{\lambda}_{6} \right) = \sqrt{\left( - \frac{1}{390^{2}} \right)^{2}*5^{2}} \approx 3,28*10^{- 5}\ \frac{1}{\text{nm}}$$

$$U\left( \frac{1}{\lambda}_{7} \right) = \sqrt{\left( - \frac{1}{375^{2}} \right)^{2}*6^{2}} \approx 4,27*10^{- 5}\ \frac{1}{\text{nm}}$$

$$U\left( \frac{1}{\lambda}_{8} \right) = \sqrt{\left( - \frac{1}{368^{2}} \right)^{2}*6^{2}} \approx 4,43*10^{- 5}\ \frac{1}{\text{nm}}$$

$$U\left( \frac{1}{\lambda}_{9} \right) = \sqrt{\left( - \frac{1}{352^{2}} \right)^{2}*5^{2}} \approx 4,03*10^{- 5}\ \frac{1}{\text{nm}}$$

Obliczanie niepewności napięcia u(U):

u(U_sr) = u_sr * 0, 044

u(U₁) = 0, 207 * 0, 044 = 9, 1 * 10⁻³ mV

u(U₂) = 0, 294  * 0, 044 = 12, 9 * 10⁻³ mV

u(U₃) = 0, 332 * 0, 044 = 14, 6 * 10⁻³ mV

u(U₄) = 0, 505 * 0, 044 = 22, 2 * 10⁻³ mV

u(U₅) = 0, 493 * 0, 044 = 21, 6 * 10⁻³ mV

u(U₆) = 0, 681  * 0, 044 = 29, 9 * 10⁻³ mV

u(U₇) = 0, 862 * 0, 044 = 37, 9 * 10⁻³ mV

u(U₈) = 0, 912 * 0, 044 = 40, 1 * 10⁻³ mV

u(U₉) = 1, 036 * 0, 044 = 45, 6 * 10⁻³ mV

Korzystając z niepewności rozszerzonej obliczmy u(U), wartość współczynnika rozszerzalności przyjmujemy k=2:

$$u\left( u_{sr} \right) = \sum_{i = 1}^{9}\frac{u\left( U_{i} \right)}{9} = \frac{233,9*10^{- 3}}{9} = 26*10^{- 3}\ \text{mV}$$

u(U) = 2 * 26 * 10⁻³ = 52 * 10⁻³mV

Obliczanie współczynnika kierunkowej prostej:

$$a = \tan{\propto = \frac{hc}{e}} = \frac{U}{\frac{1}{\lambda}}$$

U = U₉ − U₁

$$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_{9}} - \frac{1}{\lambda_{1}}$$

U = 1, 036 − 0, 207 = 0, 829 V

$$\frac{1}{\lambda} = 2,84*10^{6} - 2,25*10^{6} = 0,59*10^{6}\frac{1}{\text{nm}}$$

$$a = \frac{0,829\ }{0,59*10^{6}} \approx 1,405*10^{- 6}$$

Obliczamy stała Plancka ze wzoru $a = \frac{hc}{e}$:

$$a = \frac{\text{hc}}{e}$$

Po przekształceniu

$$h = \frac{a*e}{c}$$

gdzie:

c – prędkość światła w próżni; $c = 3*10^{8}\frac{m}{s}$

e – ładunek elementarny elektronu; e = 1, 6 * 10⁻¹⁹

$$h = \frac{1,405*10^{- 6}*1,6*10^{- 19}}{3*10^{8}} = 7,493*10^{- 34}\ J*s$$

obliczanie pracy wyjścia elektronu:

$$b = \frac{W}{e}$$

Po przekształceniu:

W = b * e

Współczynnik „b” obliczmy z równania prostej liniowej:

y = ax + b

a = 1, 405 * 10⁻⁶

Jednym z punktów, który spełnia równanie tej prostej jest punkt:

(2, 25 * 10⁶; 0, 207)

0, 207 = 1, 405 * 10⁻⁶ * 2, 25 * 10⁶ + b

b = −2, 95425

Praca wyjścia elektronu wynosi:

W = 2, 95425 * 1, 6 * 10⁻¹⁹ = 4, 7268 * 10⁻¹⁹ ≈ 2, 8 eV

1. Wykres:

2. Wnioski:

Otrzymany wynik pomiarowy stałej Planck’a h wynosi h=7,493*10^-34 J*s, gdzie wartość tablicowa wynosi h=6,06256*10^-34 J*s. Wartość pomiarową a wartość z obliczeń odbiega od siebie, jest to wynikiem tego, że na owy błąd składają się błędy z obliczenia stałej Planck’a, napięcia hamującego i wartości częstotliwości światła. . Ponadto wszelkie błędy mogły wynikać z : niedokładnego wyzerowania galwanometru G, niedokładnego odczytania wartości napięcia na woltomierzu V, zaokrąglenia niektórych wartości liczbowych, niekorzystnych warunków przy pomiarach (wstrząsy zewnętrzne).