POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Elektryczny Instytut Elektrotechniki i Elektroniki Przemysłowej Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej
Przedmiot: Laboratorium Teorii Obwodów Ćwiczenie nr: 3 Temat: Źródło rzeczywiste. Dopasowanie odbiornika do źródła na maksymalną moc.
Rok akademicki: 2012/2013 Kierunek: elektrotechnika Studia: dzienne Rok studiów: I Semestr: II Nr grupy: E2
Uwagi:

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zbadanie właściwości rzeczywistych źródeł prądu i napięcia stałego, określenie przebiegu zmian mocy użytkowej przy zmianach obciążenia, sprawdzenie nierówności energetycznej zastępczego schematu napięciowego i prądowego.

1. Wiadomości teoretyczne

Każde rzeczywiste źródło napięcia ZR charakteryzuje się właściwym sobie napięciem E oraz pewną rezystancją wewnętrzną R_W. Idealne źródło napięcia ma rezystancję wewnętrzną równą zeru, a napięcie na zaciskach tego źródła nie zależy od prądu przez nie wydatkowanego. W rzeczywistości nie istnieje idealne źródło napięcia, ponieważ napięcie na zaciskach i prąd wydatkowany przez źródło są od siebie zależne. Związek ten przedstawia się charakterystyką zewnętrzną źródła rzeczywistego U = f(I).

Każde źródło rzeczywiste napięcia o napięciu źródłowym E i rezystancji wewnętrznej można przedstawić jako idealne źródło prądu $I_{ZR} = \frac{E}{R_{W}}$ połączone równolegle rezystorem o wartości R_W.

Stan, w którym z danego źródła napięcia lub prądu jest pobierana największa moc nazywa się dopasowaniem energetycznym odbiornika do źródła.

Na początku rozważono schemat zastępczy napięciowy obciążony rezystancją zewnętrzną R_Z. Moc wytworzoną przez źródło napięcia opisuje równanie:

$$P_{ZR} = E*I = \ \frac{E^{2}}{R_{W} + R_{Z}}$$

Moc ta zamieniana jest w ciepło na rezystancjach R_W i R_Z:

P_ZR = I²(R_W + R_Z)

Moc użytkowa pobierana przez odbiornik R_Z wynosi:

$$P_{U} = I^{2}R_{Z} = R_{Z}\left( \frac{E}{R_{W} + R_{Z}} \right)^{2} = U*I$$

Wykonując stosowne obliczenia, można wykazać, że moc pobierana przez odbiornik jest największa, jeżeli rezystancja obiążenia R_Z jest równa rezystancji wewnętrznej źródła R_W, wtedy ta moc wynosi:

$$P_{\text{U\ maks}} = \frac{E^{2}}{4R_{W}}$$

Sprawność energetyczna źródła napięcia równa jest stosunkowi mocy pobranej przez odbiornik P_U do mocy wytworzonej przez źródło P_ZR i wynosi:

$$\eta_{U} = \frac{P_{U}}{P_{ZR}} = \frac{U*I}{E*I} = \frac{I^{2}R_{Z}}{I^{2}\left( R_{z} + R_{W} \right)} = \frac{R_{Z}}{R_{w} + R_{Z}}$$

Sprawność przy dopasowaniu odbiornika do źródła napięcia wynosi 50%, czyli połowa mocy wytworzonej przez źródło tracona jest na rezystancji wewnętrznej. Gdy wprowadzimy parametr bezwymiarowy $\propto = \frac{R_{Z}}{R_{W}}$, dla R_W ≠ 0 sprawność:

$$\eta_{U} = \frac{R_{Z}}{R_{W} + R_{Z}} = \frac{\propto}{1 + \propto}$$

natomiast stosunek mocy pobranej przez odbiornik do jego mocy maksymalnej jest równy:

$$\frac{P_{U}}{P_{\text{U\ maks}}} = \frac{I^{2}R_{Z}}{\frac{E^{2}}{4R_{W}}} = \frac{4R_{W}R_{Z}}{\left( R_{W} + R_{Z} \right)^{2}} = \frac{4}{\left( 1 + \propto \right)^{2}}$$

Przebiegi mocy i sprawności w funkcji ∝ dla schematu zastępczego napięciowego źródła rzeczywistego

Dla schematu zastępczego prądowego źródła rzeczywistego obciążonego rezystancją zewnętrzną R_Z prąd płynący przez odbiornik wynosi:

$$I = \frac{R_{W}}{R_{W} + R_{Z}}I_{ZR}$$

Moc dostarczaną do układu przez źródło prądowe opisuje równanie:

$$P_{ZR} = U*I_{ZR} = I_{ZR}^{\ \ \ 2}\frac{R_{W}R_{Z}}{R_{W} + R_{Z}}$$

Moc użytkowa pobierana przez odbiornik R_Z wynosi:

$$P_{U} = I^{2}R_{Z} = I_{ZR}^{\ \ \ \ 2}R_{Z}\left( \frac{R_{W}}{R_{W} + R_{Z}} \right)^{2}$$

Sprawność energetyczna rzeczywistego źródła prądowego opisana jest wzorem:

$$\eta_{I} = \frac{P_{U}}{P_{ZR}} = \frac{I^{2}R_{Z}}{I_{ZR}^{\ \ \ \ 2}\frac{R_{W}R_{Z}}{R_{W} + R_{Z}}} = \frac{R_{W}}{R_{W} + R_{Z}} = \frac{1}{1 + \propto}$$

Również wtedy moc pobierana przez odbiornik jest mocą maksymalną gdy R_W = R_Z i określona jest wzorem:

$$P_{\text{U\ maks}} = \frac{I_{ZR}^{\ \ \ \ 2}R_{W}}{4}$$

Zaś stosunek

$$\frac{P_{U}}{P_{\text{U\ maks}}} = \frac{I_{ZR}^{\ \ \ \ 2}R_{Z}\left( \frac{R_{2}}{R_{W} + R_{Z}} \right)^{2}}{I_{ZR}^{\ \ \ \ 2}\frac{R_{W}}{4}} = \frac{4 \propto}{\left( 1 + \propto \right)^{2}}$$

Przebiegi mocy i sprawności funkcji ∝ dla schematu zastępczego prądowego źródła rzeczywistego

Z przeprowadzonych rozważań wynika, że moc wydzielana na odbiorniku jest taka sama dla schematu zastępczego napięciowego i prądowego źródła rzeczywistego. Sprawności zaś tylko w stanie dopasowania wynoszą 50%.

Zwarcie	RZ = 0	ηU = 0	ηI = 1
Stan jałowy	RZ = ∞	ηU = 1	ηI = 0
Dopasowanie odbiornika	RZ = RW	ηU = 0, 5	ηI = 0, 5

Przebiegi sprawności dla źródła napięcia i źródła prądu w funkcji parametru ∝

1. Przebieg ćwiczenia

   1. Wyznaczanie charakterystyki zewn. U = f(I) źródła rzeczywistego.
      
      Schemat połączeń:

Wyniki pomiarów:
(skrypt tabela 3.2)

L.p.	U	I
	[V]	[mA]
1.	0,3	90
2.	3	46
3.	5	13
4.	5,1	11
5.	5,4	7
6.	5,45	6
7.	5,6	4
8.	5,6	4
9.	5,65	3

Wykres charakterystyki zewnętrznej źródła

U₀ = 5, 8V

I_ZR = 96 mA = 0, 096 A

$$R_{W} = \frac{U_{0}}{I_{Z}} = \frac{5,8}{0,096} \approx 60,42\ \Omega$$

1. Wyznaczanie charakterystyki $\frac{P_{U}}{P_{\text{U\ maks}}}$, U oraz I w funkcji parametru ∝ dla źródła rzeczywistego.

Schemat połączeń jak w pkt. 3.1.

Wyniki pomiarów:
(skrypt tabela 3.3)

L.p.	U	I
	[V]	[mA]
1.	0,3	90
2.	1,3	63
3.	2,5	54
4.	2,9	47
5.	3,5	37
6.	4,2	26
7.	4,6	20
8.	5,2	10
9.	5,65	3

$$\frac{U_{0}}{2} = 2,9\ V\backslash n$$

(skrypt tabela 3.4)

L.p.	Z obliczeń
	RZ
-	[Ω]
1.	3,33
2.	20,63
3.	46,29
4.	61,7
5.	94,59
6.	161,54
7.	230
8.	520
9.	1883,33

Przykładowe obliczenia:

$R_{Z} = \frac{U}{I} = \frac{2,9}{0,047} = 61,7\ \Omega$

$\propto = \frac{R_{Z}}{R_{W}} = \frac{61,7}{60,42} = 1,021$

P_U = U * I = 2, 9 * 0, 047 = 0, 136 W

$P_{\text{U\ maks}} = \ \frac{U_{0}^{\ 2}}{4R_{W}} = \frac{{5,8}^{2}}{4*60,42}$= 0,139 W

$\frac{P_{U}}{P_{\text{U\ maks}}} = \frac{0,136}{0,139} = 0,979\ W$

Charakterystyka $\frac{P_{U}}{P_{\text{U\ maks}}}$ w funkcji ∝

Charakterystyka U w funkcji ∝

Charakterystyka I w funkcji ∝

1. Wyznaczenie charakterystyki Pu/Pu max, U oraz I w funkcji parametru a dla zastępczego prądowego źródła rzeczywistego.

Schemat połączeń:

Wyniki pomiarów:
(skrypt tabela 3.5)

L.p.	U	I
	[V]	[mA]
1.	0,25	92
2.	0,9	82
3.	2,2	60
4.	2,8	48
5.	3,25	40
6.	4	28
7.	4,5	20
8.	5,15	10
9.	5,5	3

L.p.	Z obliczeń
	RZ
-	[Ω]
1.	2,72
2.	10,98
3.	36,67
4.	58,33
5.	81,25
6.	142,86
7.	225
8.	515
9.	1833,33

(skrypt tabela 3.6)

Przykładowe obliczenia:

$\mathbf{R}_{\mathbf{Z}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2,2}}{\mathbf{0,06}}\mathbf{= 36,67\ \Omega}$

$\mathbf{\propto \ = \ }\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{Z}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{W}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{36,67}}{\mathbf{60,42}}\mathbf{= 0,607}$

P_U=U * I = 2, 2 * 0, 06 = 0, 132 W

$\mathbf{P}_{\mathbf{\text{U\ maks}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{ZR}}^{\mathbf{\ \ \ \ 2}}\mathbf{R}_{\mathbf{W}}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,096}^{\mathbf{2}}\mathbf{*60,42}}{\mathbf{4}}\mathbf{= 0,139}\mathbf{\text{\ W}}$

$\frac{\mathbf{P}_{\mathbf{U}}}{\mathbf{P}_{\mathbf{\text{U\ maks}}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,132}}{\mathbf{0,139}}\mathbf{= 0,95}$

Charakterystyka $\frac{\mathbf{P}_{\mathbf{U}}}{\mathbf{P}_{\mathbf{\text{U\ maks}}}}$ w funkcji ∝

Charakterystyka U w funkcji ∝

Charakterystyka I w funkcji ∝

1. Wyznaczenie charakterystyki Pu/Pu max, U oraz I w funkcji parametru a dla zastępczego napięciowego źródła rzeczywistego.

Schemat połączeń:

Wyniki pomiarów:
(skrypt tabela 3.7)

L.p.	U	I
	[V]	[mA]
1.	0,3	90
2.	1,95	62
3.	2,15	52
4.	3,25	40
5.	3,7	32
6.	4,2	24
7.	4,4	20
8.	5,05	10
9.	5,45	5

(skrypt tabela 3.8)

L.p.	Z obliczeń
	RZ
-	[Ω]
1.	3,33
2.	31,45
3.	41,35
4.	81,25
5.	115,63
6.	175
7.	220
8.	505
9.	1090

Przykładowe obliczenia:

$\mathbf{R}_{\mathbf{Z}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3,25}}{\mathbf{0,04}}\mathbf{= 81,25\ \Omega}$ $\mathbf{\propto \ = \ }\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{Z}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{W}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{81,25}}{\mathbf{60,42}}\mathbf{= 1,345}$

P_U=U * I = 3, 25 * 0, 04 = 0, 130 W

$$\mathbf{\backslash n}\frac{\mathbf{P}_{\mathbf{U}}}{\mathbf{P}_{\mathbf{\text{U\ maks}}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,130}}{\mathbf{0,139}}\mathbf{= 0,935}$$

Charakterystyka $\frac{P_{U}}{P_{\text{U\ maks}}}$ w funkcji ∝

Charakterystyka U w funkcji ∝

Charakterystyka I w funkcji ∝

1. Obliczenia

   1. Wyprowadzenie wyrażenia na maksimum mocy użytkowej na podstawie:

1. Schematu zastępczego źródła napięciowego:

$$P_{U} = R_{Z}\left( \frac{E}{R_{W} + R_{Z}} \right)^{2}$$

R_W = R_Z = R

$$P_{\text{U\ maks}} = R\left( \frac{E}{2R} \right)^{2} = R\frac{E^{2}}{4R^{2}} = \frac{E^{2}}{4R} = \frac{{5,8}^{2}}{4*60,42} = 0,139\ \Omega$$

1. schematu zastępczego źródła prądowego:

$$P_{U} = I_{ZR}^{\ \ \ \ 2}R_{W}\left( \frac{R_{W}}{R_{W} + R_{Z}} \right)^{2}$$

R_W = R_Z = R

$$P_{\text{U\ maks}} = I_{ZR}^{\ \ \ \ 2}R\frac{R^{2}}{4R^{2}} = \frac{I_{ZR}^{\ \ \ \ 2}R}{4} = \frac{{0,096}^{2}*60,42}{4} = 0,139\ \Omega$$

1. Wyprowadzenie wyrażenia na sprawność energetyczną dla:

1. schematu zastępczego źródła napięciowego:

$$\eta_{U} = \frac{P_{U}}{P_{ZR}} = \frac{I^{2}R_{Z}}{I^{2}\left( R_{Z} + R_{W} \right)} = \frac{R_{Z}}{R_{Z} + R_{W}} = \frac{\frac{R_{Z}}{R_{W}}}{\frac{R_{Z}}{R_{W}} + \frac{R_{W}}{R_{W}}} = \frac{\propto}{\propto + 1}$$

1. schematu zastępczego źródła prądu:

$$\eta_{I} = \frac{P_{U}}{P_{U}} = \frac{I^{2}R_{Z}}{I_{ZR}^{\ \ \ \ 2}\frac{R_{W}R_{Z}}{R_{W} + R_{Z}}} = \frac{R_{W}}{R_{Z} + R_{W}} = \frac{1}{\frac{R_{Z}}{R_{W}} + \frac{R_{W}}{R_{W}}} = \frac{1}{\propto + 1}$$

L.p.	∝	ηU ∖ n	ηI ∖ n
1.	0	0	1
2.	0,5	0,33	0,67
3.	1	0,5	0,5
4.	2	0,67	0,33
5.	3	0,75	0,25
6.	4	0,80	0,20
7.	5	0,83	0,17
8.	6	0,86	0,14
9.	7	0,88	0,13
10.	8	0,89	0,11
11.	9	0,9	0,10

1. Wykres zależności mocy użytkowej P_U i sprawności rzeczywistego źródła napięcia η_U w funkcji prądu obciążenia do prądu zwarcia:

1. Parametry i dane znamionowe zastosowanych urządzeń i mierników

- Woltomierz
- Miliamperomierz

- Opornica dekadowa
- Opornica suwakowa
- Źródło rzeczywiste

1. Uwagi końcowe i wnioski

Na wykresie charakterystyki $\frac{P_{U}}{P_{\text{U\ maks}}}$ w funkcji ∝, w punkcie 3.4 można zauważyć zniekształcenie wynikające z błędu pomiarowego, który mógł być spowodowany złym odczytem pomiaru.

1. Literatura

- Bolkowski S., Elektrotechnika teoretyczna, WNT, Warszawa 2001.

- Cholewicki T., Elektrotechnika teoretyczna, t. 1, WNT, Warszawa 1973

- Krakowski M., Elektrotechnika teoretyczna, t. 1, PWN, Warszawa 1995

- Kurdziel R., Podstawy elektrotechniki, WNT, Warszawa 1972

- Laboratorium elektrotechniki teoretycznej, wyd. 6, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1998.