Temat: Wyznaczanie momentów bezwładności brył metodą stolika balansowego

1. Cel ćwiczenia

Wyznaczenie momentu kierującego sprężyny spiralnej i wyznaczenie momentów bezwładności brył.

1. Wprowadzenie.

Momentem bezwładności I nazywamy skalarną wielkość fizyczną, która jest miarą bezwładności

Bryły w ruchu obrotowym wokół wyróżnionej osi obrotu. Dla ciała sztywnego składającego się z n połączonych razem punktów materialnych moment bezwładności. Gdzie mi oznacza masę i-tego punktu, ri odległość i-tego punktu od osi obrotu, względem, której

Obliczamy moment bezwładności I. Dla ciągłego rozkładu masy bryły sztywnej o gęstości ρ sumowanie zastępujemy całkowaniem po całej objętości bryły:

Gdzie m oznacza masę bryły, V-objętość, r- odległość elementu objętości dV od osi obrotu.

Najczęściej obliczamy momenty bezwładności względem 3 wzajemnie prostopadłych osi obrotu przechodzących przez środek masy bryły. Osie te nazywamy głównymi osiami bezwładności (obrotu), a obliczone względem nich momenty bezwładności-głównymi momentami bezwładności. Momenty bezwładności wyznaczone względem 2 osi głównych przyjmują wartości ekstremalne: maksymalną i minimalną. Jeżeli znamy moment bezwładności względem jednej z osi przechodzącej przez środek

masy bryły I0 to moment bezwładności względem nowej osi I równoległej do pierwotnej można zapisać

I = I₀ + mb²

gdzie m- oznacza masę bryły, b- odległość pomiędzy osiami obrotu. Powyższe równanie nosi nazwę twierdzenia Steinera o osiach równoległych. Doświadczalnie można wyznaczyć momenty bezwładności wykorzystując właściwości ruchu harmonicznego, dotyczy to szczególnie drgań skrętnych ( torsyjnych). Skręcenie sprężyny spiralnej o kąt φ spowoduje powstanie w jej wnętrzu sił sprężystości, których

moment M, jest skierowany przeciwnie do momentu sił skręcających i zgodnie z prawem Hooke`a

M = −D * φ

jest proporcjonalny do kąta skręcenia sprężyny gdzie:

D-oznacza moment kierujący sprężyny, j - oznacza kąt skręcenia wyrażony w mierze łukowej kąta. Moment siły M powoduje drgania harmoniczne sprężyny starając się przywrócić ją do stanu równowagi. Z drugiej strony zgodnie z II zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego ciała sztywnego:

$$M = \frac{\text{dL}}{\text{dt}}$$

gdzie L oznacza moment pędu wyrażony wzorem:

L = I * ω

ω- prędkość kątowa w ruchu obrotowym dookoła ustalonej osi obrotu. W ćwiczeniu kierunek wektora

ω pokrywa się z kierunkiem głównej osi bezwładności. Moment siły M można zapisać w postaci

Okres T drgań torsyjnych wyrażamy wzorem:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{D}}$$

Z wyznaczonego uprzednio doświadczalnie momentu kierującego D sprężyny skrętnej obliczamy

moment bezwładności bryły umieszczonej na osi sprężyny ze wzoru:

$$I = \frac{T^{2}}{4\pi^{2}}D$$

1. Opis stanowiska laboratoryjnego

Zawiera ono: stolik balansowy, bryły do pomiarów

Momentów bezwładności, bramki świetlnej z licznikiem i zasilaczem, dynamometr, przymiar liniowy, suwmiarka, waga laboratoryjna lub kuchenna z uchybem m= 1g lub lepszym.

1. Program ćwiczenia:

• Umieścić stalowy pręt wraz z dwoma jednakowymi ciężarkami w otworze osi obrotu stolika balansowego. Przymocować ciężarki w jednakowych odległościach od osi obrotu. Zanotować odległość r końca ciężarka od osi obrotu. Ustalić niepewność pomiarową Δr. Postawić stolik balansowy na środku planszy, na której zaznaczono podziałkę kątową (linie wzajemnie prostopadłe i przecinające się pod kątem π/4). Pręt ustawić wzdłuż linii wyznaczającej 0 skali kątowej.

• Sprawdzić zerowe położenie dynamometru. Zwrócić uwagę na to, że dynamometr będzie mierzył siły w pozycji poziomej. W razie konieczności wyregulować zerową pozycję

dynamometru. Założyć końcówkę dynamometru na jedno z ramion pręta tak, aby dotykał końca ciężarka.

• Trzymając dynamometr prostopadle do pręta skręcić sprężynę o kąt π/4 tak, aby położenie pręta pokrywało się z linią oznaczoną na skali kątowej. Zanotować wskazania dynamometru Fi.

• Skręcić sprężynę o kolejny kąt π/4 i zanotować wskazania dynamometru. Powyższą czynność powtórzyć dla przynajmniej 8 kolejnych kątów. Wyniki zapisać w tabeli 1.

• Wyliczyć dla każdego wychylenia sprężyny moment siły M = F.· r.

• Wyznaczyć i zapisać niepewności pomiarowe r , F ,Dα. Obliczyć niepewność pomiarową momentu siły M

• Wyznaczyć i zapisać masy mi brył, dla których będą wyznaczane momenty bezwładności.

Zanotować niepewność pomiarową wagi.

• Zmierzyć przy pomocy suwmiarki rozmiary geometryczne brył potrzebne do wyznaczenia

momentów bezwładności.

• Umieścić i umocować badaną bryłę na osi stolika balansowego. Do bryły przykleić kawałek

taśmy samoprzylepnej (jej szerokość nie powinna przekraczać 3 mm) . Przybliżyć do bryły statyw z bramką świetlną i sprawdzić czy reaguje na przyklejoną taśmę.

• Funkcję bramki ustawić według poleceń prowadzącego zajęcia tzn. tak, aby zliczała czas

pojedynczych okresów drgań torsyjnych lub ilość przejść przez bramkę.

• Skręcić sprężynę od położenia równowagi i puścić.

• Jeż eli wybrano wariant ze zliczaniem ilości przejść przez bramkę to za pomocą stopera zmierzyć czas dla n=20 okresów drgań t. Do wyznaczenia okresu T potrzeba 2 przejść przez bramkę. Wyznaczyć czas pojedynczego okresu i jego niepewność pomiarową _T= _t/n .

• Jeżeli wybrano wariant ze zliczaniem pojedynczego okresu drgań powtórzyć pomiary

wielokrotnie n≥10.Obliczyć średnią arytmetyczną badanego okresu i jej odchylenie

standardowe s.

tabela1.

L.p.	α [ ° ]	F [ N ]	D	α [ rad ]	ΔT [ 1/s ]	I obliczone	I pomiar
1	45	0,05	0,02	0,785398	0,811	0,012482	0,014494
2	90	0,15	0,02	1,570796	0,811	0,012482	0,014494
3	135	0,3	0,02	2,356194	0,811	0,012482	0,014494
4	180	0,4	0,02	3,141593	0,811	0,012482	0,014494
5	225	0,5	0,02	3,926991	0,811	0,012482	0,014494
6	270	0,6	0,02	4,712389	0,811	0,012482	0,014494
7	315	0,7	0,02	5,497787	0,811	0,012482	0,014494
8	360	0,8	0,02	6,283185	0,811	0,012482	0,014494

1. Wyniki pomiarów i obliczenia:

m = 0,258 [ kg ]

r=0,11 [ m ]

$$I = \frac{T^{2}}{4\pi^{2}}D$$

M = F * r

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{D}}$$

T = 0, 811 [ 1/s ]

$I = \frac{{0,811}^{2}*0,015}{4\pi^{2}} = 0,012482$ [kg*m^2]

$I = \frac{mr^{2}}{2} = \frac{0,258*{0,11}^{2}}{2} = 0,014494$ [kg*m^2]