Politechnika Śląska

Wydział: Inżynierii Środowiska i Energetyki

Specjalność: Energetyka Komunalna

NUMER TEMATU: 5

Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności brył

Wykonanie: SEKCJA 3

Anna Stefanik

Hanna Muzyczuk

Maciej Jarząbek

CEL ĆWICZENIA:

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie momentów bezwładności brył.

WSTĘP TEORETYCZNY:

Momentem bezwładności nazywamy wielkość charakteryzująca sposób rozmieszczenia masy bryły wokół osi obrotu, w ruchu obrotowym bryły sztywnej, wielkość ta identyfikuje masę w ruchu po okręgu.

Momentem bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich odległości od danej osi, a więc:

Tak zapisujemy moment bezwładności dla bryły sztywnej będącej zbiorem punktów materialnych.

W przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy, dzielimy ją w myśli na nieskończenie małe części i sumowanie w powyższym wzorze zastępujemy całkowaniem. W wyniku tych przekształceń otrzymujemy:

I = ∫ r²dm

gdzie:

dm - masa elementu objętości bryły odległego o r od osi

Twierdzenie Steinera pozwala obliczyć moment bezwładności względem dowolnej osi, nie przechodzącej przez środek masy bryły, zgodnie z którym: moment bezwładności I bryły względem dowolnej osi jest równy sumie bezwładności I względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy tej bryły i kwadratu odległości a obu osi, czyli:

I = I₀+ma²

PRZEBIEG WYKONANIA ĆWICZENIA:

1)Zważyliśmy pręt, jego masę oznaczyliśmy jako m_p.

2)Zmierzyliśmy długość pręta, oznaczoną jako l.

3)Zmierzyliśmy odległość osi obrotu pręta od jego środka masy. Odległość określiliśmy jako x.

4)Wyznaczyliśmy czas t 10 okresów wahnięć pręta.

5)Określiliśmy błędy pomiarów.

6)Zważyliśmy krążek, masę oznaczyliśmy jakom_k.

7)Zmierzyliśmy promień krążka R.

8) Zmierzyliśmy odległość osi obrotu krążka od środka masy d.

9) Wyznaczyliśmy czas t 10 okresów wahnięć krążka.

10) Określiliśmy błędy pomiarów.

1. Masa pręta m_p=335g=0,335kg

2. Długość pręta l=86cm=0,86m

3. Odległość osi obrotu od środka masy- x=41,4cm=0,414m

4. Czas 10 okresów drgań pręta

t1	13,78 [s]
t2	15 [s]
t3	13,25 [s]

1. Błędy pomiarów

𝛥l$=_{-}^{+}$1mm

𝛥x$=_{-}^{+}$1mm

𝛥m$=_{-}^{+}2g$

𝛥t=₋⁺0,16s

a)OBLICZAMY MOMENT BEZWŁADNOŚCI DLA PRĘTA:

I_sp=$m(\frac{1}{12}$·l² + x²=0,335${(\frac{1}{12} (0,86)}^{2} + {(0,414)}^{2} =$0,335$(\frac{1}{12} 0,7396 + 0,171396)$ =

0,3350, 233029 = 0,07865kg·m²

7.Masa krążka m_k=1270g=1,27kg

8.Promień krążka R=15cm=0,15m

9.Odległość osi obrotu od środka masy –d=13,7cm=0,137m

10.Czas 10 okresów wahnięć krążka

t1	8,38 [s]
t2	9,31 [s]
t3	9,09 [s]

11.Błędy pomiarów

𝛥R$=_{-}^{+}$1mm

𝛥d$=_{-}^{+}$1mm

𝛥m$=_{-}^{+}2g$

𝛥t=₋⁺0,16s

b)OBLICZAMY MOMENT BEZWŁADNOŚCI DLA TARCZY:

I_s=m($\frac{1}{2}$·R² + d²=1,27($\frac{1}{2}$·0, 15²0, 137²=1,27$(\frac{1}{2} 0,0225 + 0,018769)$ =1,270, 000211 = 0,000268kg·m²

c)OBLICZAMY ŚREDNI OKRES DRGAŃ DLA PRĘTA I TARCZY

Pręt:

$T_{1 =}\frac{13,78\ }{10}$=1,378 Hz

$T_{2 =}\frac{15\ }{10}$=1,5 Hz $T_{sr =}\frac{4,203\ }{3}$=1,401 Hz

$T_{3 =}\frac{13,25\ }{10}$=1,325 Hz

Tarcza:

$T_{1 =}\frac{8,38\ \ }{10}$=0,838 Hz

$T_{2 =}\frac{9,31\ }{10}$=0,931 Hz $T_{sr =}\frac{2,678\ }{3}$=0,8927 Hz

$T_{3 =}\frac{9,09\ }{10}$=0,909 Hz

d)OBLICZAMY MOMENTY BEZWŁADNOŚCI PRĘTA I TARCZY UŻYWAJĄC WZORU:

I₀=$\frac{m g a T^{2}}{4{\pi}^{2}}$

Gdzie:

m-masa pręta/tarczy

g- przyspieszenie ziemskie

a-odległość osi obrotu od środka masy

Pręt:

I₀=$\frac{0,335 10 0,414 {(1,401)}^{2}}{4 {(3,14)}^{2}}$=$\frac{2,722209}{39,4384}$=0,069024 kg·m²

Tarcza:

I₀=$\frac{1,27 10 0,137 {(0,8927)}^{2}}{4 {(3,14)}^{2}}$=$\frac{1,386549}{39,4384}$=0,035157 kg·m²

e)OBLICZAMY BŁĄD WZGLĘDNY I BEZWZGLĘDNY

ΔI_preta=0,002($\frac{1}{12}$·0,7396+0,171396)+0,335(0,86·0,001+2·0,414·0,001)=

0,002(0,061633+0,171396)+0,335(0,00086+0,000828)=

0,002(0,233029)+0,335(0,001688)=0,000466+0,000565=0,001032 kg·m²

$|\frac{\text{ΔI}}{I}|$=|$\frac{0,002}{0,335}$|+ |$\frac{0,001}{0,414}$|+2 |$\frac{1,401}{1,401}$| =0,00597+0,002415+2=2,008386

ΔI = 0, 07865kg·2,008386=0,15796 kg·m²

ΔI_tarczy=0,002($\frac{1}{2}$· 0,0225+ 0,018769)+1,27(0,15·0,001+2·0,137·0,001)=

0,002(0,01125+0,018769)+1,27(0,00015+0,000274)=0,002·0,030019+1,27·0,000424=

0,000060038+0,000538=0,000598518 kg·m²

$|\frac{\text{ΔI}}{I}|$=|$\frac{0,002}{1,27}$|+ |$\frac{0,001}{0,137}$|+2 |$\frac{0,8927\ }{0,8927\ }$|=0,001575+0,007299+2=2,008874

𝛥I=0, 0002682,008874=0,000538 kg·m²

	Wzór	Metoda wahadła
Pręt	0,001032	0,15796
Tarcza	0,000598518	0,000538 kg·m^2