Natalia Parchańska

Podział trójkątów – podstawówka

Omówione podręczniki to: „Matematyka krok po kroku”, „Matematyka Wokół Nas”, „Matematyka z plusem”.

1. W którym miejscu jest wprowadzone, co jest potrzebne aby je wprowadzić?
   Aby wprowadzić ten temat, uczniowie powinni znać pojęcia trójkąt, bok trójkąta (odcinek), kąty. Uczeń wie, że suma kątów w trójkącie jest równa 180

„Matematyka krok po kroku”- w 5 klasie w dziale „Różne rodzaje trójkątów”

”Matematyka Wokół Nas” – w 5 klasie w dwóch działach: „Podział trójkątów ze względu na boki” i „Podział trójkątów ze względu na kąty”. W 6 klasie w dziale „Trójkąty”.
”Matematyka z plusem” – w 5 klasie w dziale „Rodzaje trójkątów”. W 6 klasie w dziale „Trójkąty”.

1. Sposoby wprowadzenia.

1. „Matematyka krok po kroku”

W książce do 5 klasy występuje rozdział „Różne rodzaje trójkątów” – zajmuje on jedynie dwie strony.

Umieszczone są rysunki trójkątów różnych rodzajów. Rysunki te są podpisane:

„Te trójkąty mają wszystkie boki równe. Są to trójkąty równoboczne.”

„Te trójkąty mają dwa boki równe. Nazywamy je ramionami. Są to trójkąty równoramienne.”
„Te trójkąty mają wszystkie boki różnej długości. Są to trójkąty różnoboczne.”

Następnie przedstawione są rodzaje kątów – kąty przy podstawie i kąt między ramionami.

Przejście do zadań.

Zadanie pierwsze prowadzi do uwagi: „W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe. Miara każdego z nich wynosi 60”

Zadanie drugie prowadzi do uwagi: „W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równą miarę.”

Kolejno umieszczony zostaje drugi podział trójkątów:

„Trójkąt, w którym wszystkie kąty są ostre, nazywamy trójkątem ostrokątnym.”

„Trójkąt, w którym jeden z kątów jest prosty, nazywamy trójkątem prostokątnym.”

„Trójkąt, w którym jeden kąt jest rozwarty, nazywamy trójkątem rozwartokątnym.”

W 6 klasie, w dziale „Powtórka z geometrii” – umieszczonym na samym końcu, umieszczone są krótkie definicje związane z rodzajami trójkątów (takie jak w klasie 5).

1. „Matematyka Wokół Nas”

Podział trójkątów ze względu na boki:

Trójkąt różnoboczny.

Z trzech patyczków różnej długości ułożymy trójkąt.

1. Patyczki mają długości 4cm, 5cm i 6cm. Utworzył się trójkąt o bokach różnej długości. Jest to trójkąt różnoboczny.

2. Patyczki mają długość 2cm, 3cm i 5cm. Suma długości dwóch krótszych patyczków jest równa długości trzeciego.

3. Patyczki mają długość 4cm, 3cm i 8cm. Suma długości dwóch krótszych patyczków jest krótsza od długości trzeciego.

Z patyczków w przykładach b) i c) nie można zbudować trójkątów. Suma długości dwóch boków każdego trójkąta jest większa od długości trzeciego boku.

Przejście do zadań.

Trójkąt równoramienny.

Mieszkańcy Asuny i Białego chcieli zbudować most na pobliskiej rzece, aby z każdej miejscowości do mostu była taka sama odległość. Pomóżmy im. Wykonajmy rysunek. Na planie kolorem narysowano odcinki równej długości:

W każdym trójkącie: ABC, ABD, ABM po 2 boki (ramiona) są równej długości.

|AC| = |CB| |AD| = |DB| |AM| = |MB|

Są to trójkąty równoramienne.

W trójkącie równoramiennym ramiona mają równe długości.

Zadanie polegające na narysowaniu trójkąta równoramiennego o bokach 5cm, 3cm i 3cm. W książce pokazana jest konstrukcja takiego trójkąta.

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary.

Przejście do zadań.

Trójkąt równoboczny.

Z trzech patyczków jednakowej długości ułóżmy trójkąt. Jest to trójkąt równoboczny.

Trójkąt równoboczny ma równe boki . Kąty wewnętrzne są równe i każdy ma miarę 60.

Przejście do zadań.

Podział trójkątów ze względu na kąty:

Trójkąt ostrokątny.

Trójkąt, w którym każdy kąt wewnętrzny jest kątem ostrym, nazywamy trójkątem ostrokątnym.

Trójkąt prostokątny.

Rysunek na którym zaznaczony jest kąt prosty oraz opisane są przyprostokątne i przeciwprostokątna.

Trójkąt, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest kątem prostym, nazywamy trójkątem prostokątnym.

Trójkąt rozwartokątny.

Trójkąt, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest kątem rozwartym, nazywamy trójkątem rozwartokątnym.

Na końcu tych dwóch działów zamieszczona jest tabelka, podsumowująca wszystkie informacje o trójkątach.

Przejście do zadań.

W 6 klasie podstawówki, na początku działu trójkąty umieszczona jest tabelka przypominająca rodzaje trójkątów. W tej tabelce występują 3 kolumny: „Figura”(rysunek danego trójkąta), „Nazwa” oraz „O czym trzeba pamiętać”. Opisane są: trójkąt różnoboczny, trójkąt równoboczny, trójkąt równoramienny oraz trójkąt równoramienny prostokątny i równoramienny rozwartokątny. Następnie autorzy przechodzą do zadań. Wracają do rodzajów trójkątów w dziale „Własności trójkątów”, gdzie szczegółowo są opisane własności trójkątów równoramiennego i równobocznego.

1. „Matematyka z plusem”

Ćwiczenie: Narysowanych jest 6 trójkątów, zadaniem uczniów jest znaleźć na rysunku trójkąty, które mają:

1. Wszystkie kąty ostre,

2. Kąt prosty,

3. Kąt rozwarty

Ze względu na to, jakie kąty ma trójkąt możemy go nazwać albo ostrokątnym, albo prostokątnym, albo rozwartokątnym.
Następnie narysowane są trzy trójkąty:

Trójkąt ostrokątny – ma wszystkie kąty ostre.

Trójkąt prostokątny – ma jeden kąt prosty.

Trójkąt rozwartokątny – ma jeden kąt rozwarty.

Ćwiczenie: Weź 17 jednakowych patyczków. Ułóż trójkąt z trzech patyczków i ułóż trójkąt z pięciu patyczków. Ułóż trójkąt z dziewięciu patyczków, tak aby jego boki miały różne długości.

Trójkąt, który ma co najmniej dwa boki o tej samej długości, nazywamy równoramiennym, a trójkąt o trzech bokach równej długości – równobocznym.

Trójkąt równoboczny jest także trójkątem równoramiennym.

Trójkąt, który nie jest równoramienny można nazwać trójkątem różnobocznym.

Boki trójkąta równoramiennego mają swoje nazwy. Boki równej długości to ramiona, a trzeci bok to podstawa.

Przejście do zadań.

W 6 klasie na początku działu „Trójkąty” zostaje krótko przypomniany podział trójkątów.

3. Jakie problemy, trudności mogliby mieć uczniowie podczas realizacji tego zagadnienia?
   Uczniowie mogą mieć problemy z klasyfikacją trójkątów. Mogą mylić zwłaszcza trójkąty równoboczne i równoramienne. Często uczniowie nie potrafią wyznaczać kątów za pomocą kątomierza. Mylą pojęcia bok i ramię trójkąta.

4. Podczas realizacji, jakich tematów są one później wykorzystywane?

W geometrii i w stereometrii. Przy wielokątach, a w gimnazjum przy twierdzeniu Pitagorasa.

3. Czy występują i w jakiej postaci na egzaminach zewnętrznych, podać przykłady zadań uwzględniając poszczególne standardy.
   Nie występują na egzaminach.

3.5 3. Rozumowanie /5 opisuje sytuację przedstawioną w zadaniu za pomocą g) rysunku/:

Narysuj cztery różne trójkąty. Każdy z nich oddziel na dwa trójkąty prostokątne. Trójkąty prostokątne zamaluj różnymi kolorami.

3.6 Rozumowanie /6 rozpoznaje charakterystyczne cechy i właściwości: b) figur/:

Narysuj trójkąt prostokątny, którego obie przyprostokątne mają długości równe 5cm. Zmierz jego kąty wewnętrzne. Porównaj swoje wyniki z wynikami kolegów. Czy miary kątów będę inne, jeżeli przyprostokątne będę miały długości 3,2cm?

1.4.Czytanie /4 odczytuje dane a) z tekstu źródłowego/:

W trójkącie równoramiennym jeden z boków ma długość 3cm, a drugi 7cm. Czy można stwierdzić, który z boków jest podstawą, a który ramieniem?

5.3. Wykorzystywanie wiedzy w praktyce /3 wykonuje obliczenia dotyczące: a) długości/:

Oblicz obwód trójkąta równoramiennego, w którym podstawa ma długość 23m, a ramie jest 4 razy dłuższe.

3. Czy można w jakiś sposób wykorzystać je podczas realizacji ścieżek międzyprzedmiotowych lub podczas realizacji programu z innego przedmiotu?

Plastyka /sztuka/ - z wycinanych różnych trójkątów (figur geometrycznych) utworzyć obrazek

Historia – np. przy Piramidach, muzeum w Luwrze, itd.

Informatyka – np. w MSWord wykorzystanie autokształtów (trójkątów)

Zadania wykorzystujące różne rodzaje trójkątów w realizacji ścieżek edukacyjnych:

- ścieżka czytelnicza i medialna: Ogłoszenie o sprzedaży jabłek zostało wykonane na kartonie w kształcie trójkąta równobocznego. Oblicz długość boku tego trójkąta wiedząc, że jego obwód wynosi 240cm

- ścieżka regionalna: Jeżeli połączymy liniami prostymi miasta: Warszawa, Olsztyn i Białystok powstanie trójkąt równoramienny. Wiedząc, że odcinek Warszawa – Białystok jest podstawą tego trójkąta i wynosi 188km oblicz odległość z Olsztyna do Warszawy wiedząc, że obwód powstałego trójkąta wynosi 532km.

- integracja europejska: Jaki trójkąt (ostrokątny, rozwartokątny, prostokątny) powstanie po połączeniu liniami prostymi wybranych stolic Europy?

a) Berlin, Praga, Warszawa

b) Oslo, Sztokholm, Helsinki

c) Warszawa, Mińsk, Kijów

3. Sformułować cele operacyjne do poszczególnych zagadnień.

• znajomość kątów wewnętrznych, przystających

• znajomość pojęcia trójkąta

• znajomość nazw boków w trójkącie równoramiennym i prostokątnym

• znajomość sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie

• znajomość podziału trójkątów ze względu na kąty i boki

• rozumienie pochodzenia nazw poszczególnych trójkątów

• umiejętność konstrukcji trójkątów w różnych przypadkach

• umiejętność rozwiązywania zadań z treścią dotyczących trójkątów

  3. Przedstawić podstawowe zadania, które należałoby wykonać z uczniami, aby mogli opanować to zagadnienie. Zadania ciekawe, oryginalne, zadania dla uczniów bardzo zdolnych.
     Zadania typowe:

Wskaż na rysunku trójkąty ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne, równoboczne i równoramienne.

Narysuj trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości 4cm i 5cm.

Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego wynosi 46. Oblicz pozostałe kąty tego trójkąta.

Za pomocą kątomierza i linijki narysuj trójkąt równoboczny o boku długości 4cm.

Zadani ciekawe oraz do uczniów zdolnych:

Uczniowie narysowali różne trójkąty:

Pierwszy uczeń – trójkąt, w którym dwa kąty mają po 60

Drugi uczeń – trójkąt, w którym dwa kąty są równe, a trzeci jest inny;

Trzeci uczeń – trójkąt o kątach 60, 58 i 62;

Czwarty uczeń – trójkąt o równych kątach;

Piąty uczeń – trójkąt, w którym dwa kąty wynoszą 30 i 120.

Który z uczniów narysował trójkąt równoboczny?

Który narysował trójkąt równoramienny?

Plac ma kształt trójkąta ostrokątnego. W którym miejscu na placu należy postawić latarnię, jeżeli ma stać w takiej samej odległości od każdego boku placu?

Zosia chce obszyć trójkątną serwetkę tasiemką o długości 12cm. Jakie wymiary ma ta serwetka, jeżeli długości jej boków wyrażają liczby całkowite?

Obwód trójkąta prostokątnego jest o 14cm większy od najdłuższego boku. Oblicz sumę długości przyprostokątnych tego trójkąta.

Rozbitek mieszkał na bezludnej wyspie w kształcie trójkąta równobocznego. Codziennie wędrował na każdy brzeg wyspy, aby sprawdzić, czy nie nadciąga pomoc. W którym miejscu rozbitek powinien wybudować szałas na wyspie, aby suma odległości, które codziennie przebywa, była mniejsza?

Każdy bok trójkąta równobocznego dzielimy na 2 równe części i przez punkty podziału prowadzimy proste równoległe do boków trójkąta. Ile powstało w ten sposób takich samych trójkątów? A gdy podzielimy boki trójkąta na 3, 100, n równych części?

Czy potrafisz z dziewięciu zapałek ułożyć pięć trójkątów równobocznych?

3. Jakie ciekawe metody, środki dydaktyczne można wykorzystać podczas realizacji tego zagadnienia?
   Metoda projektu – zadaniem uczniów jest stworzenie historyjki obrazkowej, w której obrazy będą się składały z trójkątów.

Praca w grupach – uczniowie dostają tabelkę „klasyfikacja trójkątów” i ich zadaniem jest uzupełnienie tej tabelki.