Damian Kaproń gr. 3
Karol Jarosiński gr. 3

Magda Kalisz gr. 3

Podstawy z Automatyki – Sprawozdanie z Laboratorium Nr2
„Modelowanie układów automatyki.”

1. Cel ćwiczenia:

• zapoznanie się z zasadą działania silnika elektrycznego prądu stałego,

• zapoznanie się ze sposobami tworzenia modeli silnika elektrycznego w postaci: równań różniczkowych, równań stanu i wyjścia, schematu blokowego i transmitancji operatorowej,

• wyznaczenie odpowiedzi skokowej silnika w Matlabie/Simulinku,

• wyznaczenie odpowiedzi silnika na sygnały prostokątne w Matlabie/Simulinku.

2. Przebieg ćwiczenia:

CZĘŚĆ I

Równania różniczkowe układu:

$\left\{ \begin{matrix} U_{z} = R_{w} \bullet i_{w} + L_{w} \cdot \frac{\text{di}_{w}}{\text{dt}} + k_{e} \bullet \omega_{s}\ \\ k_{m}{\cdot i}_{w} = I \cdot \frac{\text{dω}_{s}}{\text{dt}} + {B \cdot \omega}_{s} + M_{\text{obc}} \\ \end{matrix} \right.\ $

x₁ = i_{w ;} x₂ = ω_{s ;} u₁ = U_{z ;} u₂ = M_{obc ;} y = ω_s

Przekształcając równania otrzymujemy układ równań różniczkowych będący modelem silnika:

$$\left\{ \begin{matrix} {\dot{x}}_{1} = - \frac{R_{w}}{L_{w}} \cdot x_{1} - \frac{k_{e}}{L_{w}} \cdot x_{2} + \frac{1}{\text{Lw}} \cdot u_{1} \\ {\dot{x}}_{2} = \frac{k_{m}}{I} \cdot x_{1} - \frac{B}{I} \cdot x_{2} - \frac{1}{I} \cdot u_{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Zapis macierzowy:

$\begin{bmatrix} \dot{x_{1}(t)} \\ \dot{x_{2}}(t) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \frac{R_{w}}{L_{w}} & - \frac{k_{e}}{L_{w}} \\ \frac{k_{m}}{I} & - \frac{B}{I} \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{L_{w}} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{I} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_{1}(t) \\ u_{2}(t) \\ \end{bmatrix}$

$y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \\ \end{bmatrix}$

Stosując przekształcenie Laplace’a do równań otrzymamy:

U_z(s) = R_w ⋅ L_w(s) + L_w ⋅ s ⋅ I_ω(s) + k_e ⋅ Ω(s)

k_m ⋅ I_ω(s) = I ⋅ s ⋅ Ω(s) + B ⋅ Ω(s) + M_obc

Przekształcając uzyskane równania, przy założeniu zerowych warunków początkowych, otrzymamy:

$I_{\omega}\left( s \right) = U_{z}\left( s \right) - \frac{k_{e} \cdot \Omega(s)}{R_{w}} + L_{w} \cdot s$

$\Omega\left( s \right) = k_{m} \cdot I_{\omega}\left( s \right) - \frac{M_{\text{obc}}}{I \cdot s} + B$

Schemat blokowy po uzupełnieniu:

G1(s) G2(s) G3(s)

k_e

$G1\left( s \right) = \frac{1}{L_{w} \cdot s + R_{w}}$ ; G2(s) = k_m ; $G3\left( s \right) = \frac{1}{I \cdot s + B}$

W przypadku braku obciążenia schemat sprowadza się do schematu zastępczego:

$G4\left( s \right) = \frac{k_{m}}{\left( L_{w} \cdot s + R_{w} \right) \cdot \left( I \cdot s + B \right)}$ ; H2(s) = k_e

Część II : Wyznaczenie odpowiedzi skokowej silnika w Simulinku.

Odpowiedź skokową silnika wyznaczono w oparciu jedną metodę. Na podstawie schematu blokowego silnika, zbudowano odpowiadający mu schemat w Simulinku, zakładając że Mobc=0. Sygnałem wejściowym jest sygnał skoku jednostkowego:

Schemat blokowy silnika zbudowany w Simulinku:

Na podstawie schematu blokowego silnika, zbudowano odpowiadający mu schemat w Simulinku. Aby móc przeprowadzić numeryczną symulację działania silnika należy zdefiniować jego parametry (współczynniki i stałe). Załóżmy że:

Rw = 2 Ω, J = 0.1 kgm²/s²

Lw = 0.1 H, B = 0.5 Nms/rad,

ke = 0.1 Vs/rad, km = 0.1 Nm/A,

Przed uruchomieniem symulacji należy powyższe parametry wprowadzić do przestrzeni roboczej Matlaba, wpisując: Rw=2; Lw=0.1; ke=0.1; J=0.1; B=0.5; km=0.1;

W efekcie wykonania programu w Matlabie i uruchomienia symulacji w Simulinku otrzymano:

3. Wyznaczenie odpowiedzi silnika na sygnały prostokątne w Matlabie/Simulinku

Aby móc przeprowadzić numeryczną symulację działania silnika należy zdefiniować jego parametry (współczynniki i stałe). Załóżmy jak poprzednio, że:

Rw = 2 Ω, J = 0.1 kgm²/s²

Lw = 0.1 H, B = 0.5 Nms/rad,

ke = 0.1 Vs/rad, km = 0.1 Nm/A,

oraz, że zarówno sygnał wejściowy jak i moment obciążenia są sygnałami prostokątnymi o

odpowiednich parametrach Uz = 10 V, Mobc = 0.2 Nm

Schemat blokowy silnika zbudowany w Simulinku:

Po uruchomieniu symulacji na wykresach, pokazanych na rysunku 6.8 otrzymujemy przebiegi:

napięcia zasilającego wirnik (Uz), prądu płynącego przez wirnik (iw), momentu obciążenia silnika

(Mobc) oraz prędkości kątowej wirnika (ωs) w funkcji czasu.

4. Symulację działania silnika przeprowadzono także wykorzystując jego model zapisany w postaci

równań stanu i wyjścia.

Schemat blokowy silnika zbudowany w Simulinku:

Przed uruchomieniem symulacji należy, jak poprzednio powyższe parametry wprowadzić do

przestrzeni roboczej Matlaba, wpisując

>> Rw=2; Lw=0.1; ke=0.1; J=0.1; B=0.5; km=0.1; x10=5; x20=0.5;

Po uruchomieniu symulacji na wykresach, otrzymujemy przebiegi:

napięcia zasilającego wirnik (Uz) w funkcji czasu prędkości kątowej wirnika (ωs) w funkcji czasu

5. Wnioski:

Za pomocą programu Matlab/Simulink wyznaczyliśmy odpowiedź skokową silnika. Model silnika mogliśmy zapisać za pomocą równań stanu jak i transmitancją operatorową. Niezależnie od sposobu zapisu, wyniki otrzymywaliśmy równoważne. Zadanie momentu obciążającego powoduje spadek prędkości obrotowej i wzrost natężenia pobieranego prądu.