MAXWELL
Podać równania Maxwella w postaci różniczkowej. Wyjąsnić znaczenie poszczególnych wielkości fizycznych i określić ich jednostki w układzie SI
$\text{rot}\mathbb{E =}\frac{- \partial\mathbb{B}}{\partial t}$ $\text{rot}\mathbb{h} = JI + \frac{\partial\mathbb{D}}{\partial t}$
$JI_{c} = JI + \frac{\partial\mathbb{D}}{\partial t}$ $JI_{t} = \frac{\partial\mathbb{D}}{\partial t}$
E=1V/m (wektor natężenia pola elektrycznego)
B=1T (wektor indukcji magnetyzcnej)
H=1A/m (wektor natężenia pola magnetycznego)
J=1A/m2 (wektor gęstości prądu)
D=1C/m2 (wektor indukcji elektrycznej)
S=m2 (powierzchnia)

Podać równanie Maxwella w postaci całkowej. Wyjaśnić znaczenie poszczególnych wielkości fizycznych w równaniach i określić ich jednostki w układzie SI↑
$\int_{l}^{}{\mathbb{E}\text{dll}} = \int_{s}^{}{\text{rot}\mathbb{E}\text{dss}} = \ \frac{- \partial}{\partial t}\int_{s}^{}{\mathbb{B}\text{dss}} =$
$= \int_{s}^{}{\text{JI}\text{dss}} + \frac{\partial}{\partial t}\int_{s}^{}{\mathbb{D}\text{dss}}$
$\int_{l}^{}{\mathbb{h}\text{dll}} = \int_{s}^{}{\text{rot}\mathbb{h}\text{dss}} = \ \int_{s}^{}{\text{JI}\text{dss}} + \int_{s}^{}{\frac{\partial\mathbb{D}}{\partial t}dss =}$
$= \int_{s}^{}{\text{JI}\text{dss}} + \frac{\partial}{\partial t}\int_{s}^{}{\mathbb{D}\text{dss}}$

Podać definicję pola elektrostatycznego. Wychodząc z równań Maxwella zapisać równania pola elektrostatycz.
Polem elektrostatycznym nazywamy pole elektryczne wokół ładunku, który jest neutralny względem ziemi i niezmienny w czasie „t”.
$\text{rot}\mathbb{E =}\frac{- \partial\mathbb{B}}{\partial t}$ => $\int_{l}^{}{\mathbb{E}\text{dll}} = \int_{s}^{}{\frac{- \partial\mathbb{B}}{\partial t}\text{dss}} = \ \frac{\partial}{\partial t}\int_{s}^{}{\mathbb{B}\text{dss}}$
$q = \operatorname{}\frac{q}{V}$ $E = \operatorname{}\frac{F}{q}$
równania pola elektrostatycznego IE i ID niezależne względem t
1) pole bezwirowe: rot𝔼 = 0 ∫_l𝔼dll = 0
1) pole bezźródłowe: div𝔻=q ∫_l𝔻dss = ∫_Vqdv

Podać definicję pola magnetostatycznego. Na podstawie równania Maxwella zapisać równania pola megnetostatycznego.
Polem magnetostatycznym nazywamy pole które jest niezmienne i stałe w czasie. Może być wyrażone przez magnesy trwałe oraz prądy stałe.
$\text{rot}\mathbb{h} = JI + \frac{\partial\mathbb{D}}{\partial t}$ $\text{\ \ \ }\int_{l}^{}{\mathbb{h}\text{dll}} = \ \int_{s}^{}{\text{JI}\text{dss}} + \frac{\partial}{\partial t}\int_{s}^{}{\mathbb{D}\text{dss}}$
div𝔹 = 0 ∫_s𝔹dss = 0
Podać definicję pola przepływowego. Wychodząc z równań Maxwella zapisać równania statycznego pola przepływowego
Polem przepływowym nazywamy pole elektryczne w środowisku przez które przepływa prąd elektryczny, w szczególnym przypadku (przepływu prądu stałego) pole elektryczne nazywamy statycznym polem przepływowym
$\text{rot}\mathbb{E =}\frac{- \partial\mathbb{B}}{\partial t}$ $\int_{l}^{}{\mathbb{E}\text{dll}} = \frac{- \partial}{\partial t}\int_{s}^{}{\mathbb{B}\text{dss}}$ ∮𝔼dll = 0
$divJI = \frac{- \partial q}{\partial t}$ divJI = 0 $\oint_{s}^{}{\text{JI}\text{dss}} = \frac{\text{dq}}{\text{dt}}$
∮_sJIdss = 0 JI = γ𝔼

WYPROWADZENIA
Wyznaczyć potencjał i wektor natężenie pola elektrycznego w otoczeniu dipola elektrycznego
$\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon R_{1}} + \frac{- q}{4\pi\varepsilon R_{2}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon}\left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon}\left( \frac{R_{2} - R_{1}}{R_{1}R_{2}} \right)$=$\frac{q}{4\pi\varepsilon}\left( \frac{\text{dcosθ}}{r^{2}} \right)$
$\mathbb{E} - \nabla\varphi = ( - {||}_{r}\frac{\text{dφ}}{\text{dr}} + {||}_{\theta}\frac{1}{r}\frac{\text{dφ}}{\text{dθ}} + {||}_{\psi}\frac{1}{\text{rsinθ}}\frac{\text{dφ}}{\text{dψ}}) = \ $
$= - \left( - {||}_{r}\frac{2qdcos\theta}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}} + {||}_{\theta}\frac{\text{qdsinθ}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}} \right)$=$\frac{\text{qd}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}(2cos\theta$ - sinθ)

Wyprowadzić wzór na rezystancję uziomu w kształcie półkuli oraz wyznaczyć rozkład potencjału na powierzchni ziemi w otoczeniu uziomu. Wyjaśnić pojęcie napięcia krokowego i przedstawić je na rysunku.
Wyznaczyć wektor natężenia pola magnetycznego wewnątrz i na zewnątrz długiego prostoliniowego przewodu o przebiegu kołowym, umieszczonego w powietrzu, wiodącego prąd I

Wyprowadzić wzór opisujący wektor indukcji i natężenia pola elektrycznego od ładunku punktowego umieszczonego w powietrzu. Sporządzić odpowiedni rysunek z oznaczeniami poszczególnych wielkości.

∮_s𝔻dss = Q ∮_s||_r||_rds = Q ∮_sDds = Q
D∮_sds = Q D * 4πr² = Q $D = \frac{Q}{4\pi r^{2}}$ $\mathbb{D =}\frac{Q}{4\pi r^{2}}{||}_{r}$
𝔻=ε𝔼 $\mathbb{E =}\frac{1}{\varepsilon}$ $\mathbb{E =}\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^{2}}$

Wektorowy potencjał magnetyczny. Wyprowadzić równanie Poissona i Laplace’a. które spełnia potencjał wektorowy A. Podać rozwiązanie równania Poissona
potencjał skalarny: 𝕁 = 0 rot𝕙 = 0 𝕙=−gradφ_u
pole magnetyczne jest bezźródłowe
div𝔹 = 0 divμ𝕙 = 0 μdiv𝕙 = 0 div𝕙 = 0
−div gradφ_u = 0 φ_u = A                 ∇²φ_u = 0
div𝔻 = 𝜚  𝔻 = ε𝔼  $\text{div}\mathbb{E} = \frac{\varrho}{\varepsilon}\ $ 𝔼 = −gradφ 
$\nabla^{2}\varphi = \frac{- \varphi}{\mathbf{2?}}$ g → 0 ∇²φ₂O?
potencjał wektorowy ●rot𝕙=𝕁 div𝔹 = 0 𝔹 = rot𝔸
𝔹 = ∇ × 𝔸 div rot𝔸 = 0 μrot𝕙 = μ𝕁 grad div 𝔸=−μ𝕁
∇²𝔸 = −μ𝕁










Wyprowadzić warunek dla składowych stycznych wektora natężenia pola elektrycznego na granicy środowisk przewodzących o konduktywnościach γ1 i γ2. Przedstawić ilustrację graniczną

Wyprowadzić wzór opisujący potencjał elektryczny od ładunku punktowego umieszczonego w powietrzu. Sporządzić odpowiedni rysunek z oznaczeniami poszczególnych wielkości. Narysować rozkład potencjału.

Wyprowadź warunek dla składowych normalnych wektora gęstości prądu na granicy środowisk przewodzących o konduktywności γ1 i γ2
Wyprowadzić warunek dla składowych normalnych wektora indukcji elektrycznej przyjmując że gęstośc powierzchniowa łądunku na granicy środowis jest równa zeru.
∮_L𝔼dll=0 ∫_l𝔼₁dll + ∫_l𝔼₂dl + ∫_h + h𝔼dll = 0
h → 0    ∫_h + h𝔼dll → 0
E₁cos(90−α₁)l+ E₂cos(90−α₂)l = 0
E₁sinα₁l − E₁sinα₂l = 0 E_1t = E_1t
Na granicy 2 środowisk ładowe styczne nat pola elektr. są sobie równe InX(𝔼₁ − 𝔼₂)=0
W środowisku idealnym

Wyprowadzić wzór wyrażający prawo zachowania ładunku $rotIH = JI + \frac{\partial ID}{\partial t}$ $\text{div\ rot}\mathbb{h =}div(J) + \frac{\partial ID}{\partial t}$
$\text{div}\left( JI + \frac{\partial ID}{\partial t} \right) = 0$ $JI_{c} = JI + \frac{\partial ID}{\partial t}$ divJI_c = 0
$\text{divJI} = - div\frac{\partial ID}{\partial t}$ $\text{divJI} = - \frac{\partial}{\partial t}\text{divID}$ divID = 𝜚
$divJI = - \frac{\partial}{\partial t}\varrho$ $\int_{V}^{}\text{div}JIdV = - \int_{}^{}{- \frac{\partial}{\partial t}}*\int_{}^{}\text{dV}$
na podstawie twierdzenia ostrogradzkiego?
$\oint_{s}^{}{\mathbb{J}\text{dss}} = \frac{- \partial}{\partial t}\int_{}^{}\text{ϱdv}$ ∫ϱdv = q => $\oint_{s}^{}{\mathbb{J}\text{dss}} = \frac{- \partial q}{\partial t}$

Siły elektrodynamiczne. Wyznaczyć siłę działającą na jednostkę długości dwóch równoległych, bardzo długich przewodów z prądami I1 i I2 przy zgodnych i przeciwnych zwrotach prądów.

Wyprowadź prawo Joule’a – Lenza, przedstawić odpowiedni szkic oraz objaśnić znaczenie poszczególnych wielkości

P = U * i = IEll * Js = IEJI * V
$p = \operatorname{}\frac{P}{s} = IE*JI = \gamma IE^{2}$
gęstość przestrzenna
$p = IE*JI = \text{γI}E^{2}\ \lbrack\frac{W}{m^{3}}\rbrack$
p = ∫_VpdV = ∫_VγIE²dV

TEORIA
Podać i objaśnić zasadę Lenza. Sporządzić odpowiedni rysunek.
Prąd indukowany w obwodzie elektrycznym zamkniętym poruszającym się w polu magnetycznym wytwarza siły przeciwdziałające temu ruchowi. Prąd indukowany przy zmianie strumienia magnetycznego przenikającego wnętrze obwodu elektrycznego zamkniętego wywołuje pole magnetyczne które przeciwdziała zmianom tego strumienia.

Podać wzór wyrażający prawo Coulomba w zapisie wektor, objaśnić oznaczenia oraz przedstawić stosowny rysunek
Kierunek działania sił oddziaływania między ładunkami określa prosta przechodząca przez oba ładunki, a zwrot określają znaki ładunków. Jeżeli są to ładunki jednoimienne to odpychają się, jeśli różnoimienne to przyciągają się.

Omówić zjawisko indukcji elektromagnetycznej
Indukcją elektromagnetyczną nazywamy indukowani się prądu lub SEM w obwodzie elektrycznym poruszającym się w polu magnetycznym zgodnie z regułą prawej dłoni. Jeżeli prawą dłoń ustawimy tak że linie pola magnetycznego są skierowane do wewnętrznej strony dłoni, a odchylony kciuk wskazuje kierunek ruchu prądu to wyprostowane palne wskazują kierunek przepływu indukowanego prądu. Jeżeli ładunek q porusza się w polu magnetycznym o indukcji B z prądem U to indukcję magnetyczną możemy wyznaczyć z prawa Lorenza. Indukcje określa się na podstawie siły z jaką pole magnetyczne oddziałuje na znajdujący się w nim ładunek. Indukcję magnetyczną wyraża jednostka: 1 Tesla

Podać definicję skalarnego potencjału elektrostatycznego i napięcia w polu elektrostatycznym
Skalarny potencjał elektrostatyczny – jeżeli dla danego pola wektorowego $\overset{}{A}\ (\overset{}{r})$ istnieje pole skalarne $\overset{}{\varphi}\ (\overset{}{r})$,takie że w każdym punkcie jego gradient jest równy wektorowi danego pola ze zmiennym zwrostem $\overset{}{A}\ \left( \overset{}{r} \right) =$ to pole $\overset{}{A}\ \left( \overset{}{r} \right)$ nazywamy polem potencjalnym, a $\overset{}{\varphi}\ (\overset{}{r})$ jego potencjałem
napięcie w polu elektrostatycznym

Które składowe wektorów E oraz J przy przejściu przez powierzchnię graniczną między środowiskami przewodzącymi nie zmienią się. Wyprowadzić prawa załamania linii pola przepływowego, przedstawić stosowny rysunek.

∮_s𝔻ss = ∫_vϱdV
∫_s1𝔻₁dss + ∫_s2𝔻₂dss + ∫𝔻dss = ∫ϱdV
D₁cosα₁S + D₂cos(180−α₂)s = 𝜚sh
D₁cosα₁ = D_1n  D₂cos(180−α₂) = −D_2n
𝜚h = σ D_1n − D_2n = σ n * (𝔻₁ * 𝔻₂)=σ

Które składowe wektorów B oraz H przy przejściu przez powierzchnię graniczną między środowiskami o różnych przenikalnościach magnetycznych nie zmieniają się. Wyprowadzić prawa załamania linii pola magnetycznego, przedstawić stosowny rysunek.
∮𝕙dll = ∫_s𝕁dss
∫_l1𝕙₁dll + ∫_l2𝕙₂dl + ∫_h + h𝕙dll + ∫_SI_ndS
h → 0    ∫_h + h𝕙dll → 0
∫_l1H₁cos(90 − α₁)dl + ∫_l2H₂cos(90+α₂)dl =  =∫I_nds ∫_l1H₁sinα₁dl − ∫_l2H₂sinα₂dldl =∫I_nds
H₁t * l − H₂t * l = I_ns * l
∫_SI_ndS = I_nS = I_nhl I_nh = I_s(n)
H₁t − H₂t = I_s(n)

ŁADUNKI
Dwie kulki o bardzo małych średnicach w stosunku do odległości między nimi, każda o masie m=5*10^-4kg i ładunku Q umieszczono w powietrzu i zawieszono w punkcie P na jedwabnych nitkach o jednakowej długości l=0,1m. Odległośc między kulkami wynosi a=0,1m. Wyznaczyć wartość ładunku oraz wektor natężenie pola elektrycznego w punkcie P. Przenikalnośc powietrza przyjąć równą ε₀=…..

Q=? IE=? IF_N-F naciągu nici IF_c-F Coulomba IF_g-F grawit

2) wzór na równowagę układu
układ w stanie równowagi więc-IF_N + IF_c + IF_g = 0
F_c= F_N2cosα (α=60 =>∆równoboczny) F_g= F_N2sinα
3) wyprowadzenie wzoru na Q
${F}_{c} = k\frac{Q_{1}Q_{2}}{r^{2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon}*\frac{Q^{2}}{a^{2}}$ F_g = mg = F_N2sinα
$F_{N2}cos\alpha = \frac{\text{mg}}{\text{sinα}}$ ${F}_{c} = F_{N2}\text{cosα} = \frac{\text{mg}}{\text{sinα}}cos\alpha = m\text{gtgα}$
$\frac{Q^{2}}{a^{2}?}\frac{1}{4\pi\varepsilon} = \text{mgtgα} = > Q^{2} = mg4\text{πε}a^{2}\text{tgα}$
$Q = \sqrt{4\text{πεmg}a^{2}\text{tgα}} =$
=$\sqrt{4\pi\frac{10^{- 9}}{36\pi}*5*10^{- 4}*9,81*\left( 0,1 \right)^{2}tg60} = 9,72*10^{- 8}$

Dany jest układ trzech ładunków punktowych, umieszczonych w powietrzu, leżących na łuku o promieniu r. Obliczyć wartość ładunku Q jeżeli q=10⁻⁹C, kąt φ = 60, a natężenie pola elektrycznego w punkcie P wynosi 0 E(P)=0. Wyprowadzić wzór określający potencjał w punkcie P przyjmując V(∞)=0/ Przenikalność powietrza przyjąć równą ε₀=$\frac{\mathbf{10}^{\mathbf{- 9}}\mathbf{\text{\ \ F}}}{\mathbf{36}\mathbf{\text{π\ \ \ m}}}$
dane: φ; ε₀ ; F(P)=0; q;V(∞)=0 Q=?

1) rysowanie natężeń od poszczególnych ładunków

2) Warunek równowagi: IE₁ + IE₂ + IE_Q = 0
$E = 2E_{q}\cos\left( \frac{\phi}{2} \right)$
3) wyprowadzenie wzoru na IE_Q od pojedynczego ładunku
$E_{q} = \frac{q}{4\pi\varepsilon r^{2}}$ $\text{\ \ \ \ \ }E = 2\frac{q}{4\pi\varepsilon r^{2}}\cos\left( \frac{\phi}{2} \right)\text{\ \ \ \ \ }$ $E_{Q} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon r^{2}}$
4) obliczenie Q_q
$E_{Q} = - E = - 2E_{q}\cos\left( \frac{\phi}{2} \right)$ $\text{\ \ \ }\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^{2}} = - 2\frac{q}{4\pi\varepsilon r^{2}}$ $\cos\left( \frac{\phi}{2} \right)$
$Q = 2qcos\left( \frac{\phi}{2} \right) = - 2*10^{- 9}\cos\left( \frac{60}{2} \right) = - 1,73*10^{- 9}$
5) wzór na potencjał od ładunku początkowego
φ = ∫_𝜚^∞IEdll= $\int_{R}^{\infty}{E1I_{r}*1I_{r}dr =}\int_{R}^{\infty}{Edr = \int_{R}^{\infty}{\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^{2}}\ \text{dr}}}$
$= \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\int_{R}^{\infty}{\frac{1}{r^{2}}\ \text{dr}} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left( - \frac{1}{r} \right)|\begin{matrix} \infty \\ R \\ \end{matrix} = \left\lbrack \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left( \frac{- 1}{\infty} + \frac{1}{R} \right) \right\rbrack = \frac{Q}{4\pi\varepsilon R}$
6) potencjał w punkcie (suma potencjałów wszyst. punktów)
φ_p = φ_q+ $\varphi_{q} + \varphi_{Q} = \frac{q}{4\pi\varepsilon r} + \frac{q}{4\pi\varepsilon r} + \frac{Q}{4\pi\varepsilon r} = \frac{2q + Q}{4\pi\varepsilon r}$

Trzy ładunki punktowe q₁=5*10⁻¹²; q₂= − 5*10⁻¹² oraz q₃= − 5*10⁻¹² są umieszczone w jednej płaszczyźnie w odległości a = 10mm od siebie. Ośrodkiem jest powietrze. Przyjmując początek układu współrzędnych w punkcie P należy:
a) wyznaczyć i narysować wektor natężenia pola elektrycznego w tym punkcie
b) wyznaczyć i narysować wektor siły działającej na ładunek q₁
Przenikalność powietrza przyjąć równą ε₀=$\frac{\mathbf{10}^{\mathbf{- 9}}\mathbf{\text{\ \ F}}}{\mathbf{36}\mathbf{\text{π\ \ \ m}}}$

1) umieszczamy ładunek próbny w punkcie P
$F_{\text{WYP}} = F_{10} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}*\frac{q_{1}q_{0}}{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^{2}}\ \lbrack N\rbrack$
$E = \frac{F_{\text{WYP}}}{q_{0}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}*\frac{q_{1}q_{0}}{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^{2}}*\ \frac{1}{q_{0}} = \frac{q_{1}}{\pi\varepsilon_{0}*3a^{2}} = \frac{5*10^{- 12}}{3*\left( 0,1 \right)^{2}*\frac{10^{- 9}}{36}}$[N/C]

b) ∆równonoram więc $F_{\text{WYP}} = \sqrt{2}F_{13}$
$F_{13} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}*\frac{\left| q_{1}q_{2} \right|}{a^{2}} = 2,25*10^{- 11}$
${F}_{\text{WYP}} = \sqrt{2}F_{13} = 3,8*10^{- 11}$

Ładunki punktowe q₁=q₂=5*10⁻⁶ oraz q₃=q₄= − 5*10⁻⁶ C umieszczono w powietrzu, w wierzchołkach kwadratu o boku a = 1m. Przyjmując początek układu współrzędnych w punkcie 0 należy: a) wyznaczyć wektor natężenia pola elektrycznego oraz indukcji w tym punkcie
b) narysować wektor natężenia pola elektrycznego
Przenikalność powietrza przyjąć równą ε₀=$\frac{\mathbf{10}^{\mathbf{- 9}}\mathbf{\text{\ \ F}}}{\mathbf{36}\mathbf{\text{π\ \ \ m}}}$
a) natężenie pola – umieszczamy ładunek próbny q₀(+) w punkcie 0
=>
${F}_{\text{WYP}} = \sqrt{2}(F_{10} + F_{30})$ ●F₁₀ = F₃₀ ${F}_{\text{WYP}} = \sqrt{2}*2F_{10}$
●$F_{10} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}*\frac{|q_{1}q_{0}|}{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}}$ ●$E = \frac{F_{10}}{q_{0}} = \frac{q_{1}q_{0}}{{4\pi\varepsilon_{0}\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}*\frac{1}{q_{0}}\ $=$\ \frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}\frac{2a^{2}}{4}}$
=$\frac{q_{1}}{\pi\varepsilon_{0}*2a^{2}} = \frac{q_{1}}{\pi*\frac{10^{- 9}\ }{36\pi\ \ }*2a^{2}} = \frac{q_{1}}{\frac{10^{- 9}\ }{36\ }*2a^{2}} = \frac{q_{1}}{\frac{10^{- 9}\ }{18\ }a^{2}} = \frac{5*10^{- 6}}{\frac{10^{- 9}\ }{18\ }*1^{2}} = \ldots$
$B = \frac{F}{q_{0}v}$

Na metalowej kuli o promieniu R0=10mm, umieszczonej w powietrzu, znajduje się ładunek Q=5*10^-12C a) wyznaczyć wektor natężenia pola elektrycznego oraz indukcji elektrycznej
b) narysować rozkład natężenia pola elektrycznego

LINIE /PRZEWODY
W dwóch długich, prostoliniowych przewodach ułożonych równolegle w odległości d=20cm od siebie przepływają prądy I1=35A, I2=15 A. Wyznaczyć w jakiej odległości X od osi przewodu leży prosta w płaszczyźnie przechodzącej przez osie przewodów, wzdłuż której natężenie pola magnetycznego będzie równe 0.
I₁ = 35A; I₁ = 15A; d = 20cm; x = ?
1) wyznaczenie natężenia pola od jednego przewodu
$H = \frac{I}{2\pi r}$
2) rysunek poglądowy i zależność na zerowe natężenie
Linię dwuprzewodową tworzą równolegle ułożone, długie prostoliniowe przewodu, umieszczone w powietrzu. Wyznacz składowe natężenia pola magnetycznego i jego moduł w punkcie A oraz narysować ten wektor. Dane I=300A, d=60 cm
rys 2:
1)wyznaczenie wzoru na natężenie na natężenie pola od jednego przewodu – od razu wzór (rys2)
prawo przepływu
●∫_lIHdl = θ=I ●IH = H_θ * 1I_θ  ●dlI = dlI_θ ●∫_lH_θI_θ * dl * I_θ=I ●H_θ∫_ldl=I
●H_θl = I (l-obwód okręgu) ●H_θl = 2πr = I ●$H_{\theta} = \frac{I}{2\pi r}$
bierzemy tylko składową styczną do okręgu – tam linie pola są okręgami
H_θ = H ● $IH = \frac{I}{2\pi r}*1I_{\theta}$ ● $H = \frac{I}{2\pi r}$
2) wyznaczenie modułów natężenia H do poszczególnych przewodów – w punkcie A
a) od przewodu po lewej

b) od przewodu po prawej

Bardzo długi, prostolinijny przewód miedziany umieszczono w powietrzu naładowanym ładunkiem Q=10*10^-10 C. Należy:
a)wyznaczyć wektor natężenia pola elektrycznego oraz indukcji elektrycznej wokół przewodu
b) narysować rozkład natężenia pola elektrycznego
Dane: R0=2mm, L=100m Przenikalność powietrza przyjąć równą ε=$\frac{\mathbf{10}^{\mathbf{- 9}}}{\mathbf{36}\mathbf{\pi}}\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{m}}$

W dwóch długich prostoliniowych przewodach ułożonych równolegle w odległości d=20cm od siebie, przepływają prądy I₁=35A oraz I₂=15A. Wyznaczyć w jakiej odległości X od osi przewodu „I” leży prosta w płaszczyźnie przechodzącej prze osie przewodów, wzdłuż której natężenie pola magnetycznego będzie równe 0
dane: d=20cm; I1=35A; I2=15A

$H = \frac{I}{2\pi r}$
IH_A = IH_1A + IH_2A = 0
IH_1A = IH_2A
$\frac{I_{1}}{2\pi x} = \frac{I_{2}}{2\pi(d - x)}$
$\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{x}{d - x}$
I₁(d − x)=I₂x
$x = \frac{I_{1}}{I_{1} + I_{2}}d = \frac{35}{15 + 35}*20cm = 14cm$

Izolacja kabla koncentrycznego ma rezystywność g=5*10¹⁵Ωm. Napięcie między żyłami wewnętrzną i zewnętrzną wynosi U=400V. Promienie żył są następujące R1=3mm, R2=9,5 mm, R3= 10mm, długość kabla l=1000m. a) wektor gęstości prądu i natężenia pola elektrycznego w warstwie izolacyjnej
b) rezystancję izolacji, prąd upływu oraz straty mocy w izolacji kabla
Przewód o kształcie pokazanym na rysunku porusza się z stałą prędkością V=5m/s w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B= 5*10^(-4)T prostopadle do lini pola magnetycznego =. Należy wyznaczyć wartość indukowanej siły elektromotorycznej eab w przwodzie dla L=1m

$e_{\text{ab}} = \frac{B*l_{\text{ab}}*V}{\mathbf{2}} = \frac{5*10^{4}*5*3,41}{\mathbf{2}}$ [$l_{\text{ab}} = l + \sqrt{2} + l$]

Kondensator kulisty o promieniach okładzin R1=5mm i R2 = 10mm zasilono napięcie Uźr=100V. Nieidealny dielektryk w kondensatorze ma rezystywność g=5*10^15 Ωm. Należy wyznaczyć a) wektor gęstości prądu i natężenia pola elektrycznego w dielektryku
b) rezystancję przejścia, prąd upływu oraz straty mocy w kondensatorze

Lnie napowietrzne tworzą trzy równolegle ułożone prostoliniowe przewody o długości l=20m, umieszczone w powietrzu.

Należy wyznaczyć:
a) składowe wektora indukcji w powietrzu i jej moduł na prostej „a” leżącej w płaszczyźnie Ox, która jest równoległa do osi przewodów oraz narysować ten wektor
b) wektor siły (odniesionej do jednostki długości) działającej na przewód z prądem I2 oraz narysować ten wektor.
Dane I1=500A; I2 = 1000A; I3= 500A; d =25cm; przenikalność 4π*10^-7

W linii składającej się z trzech długich, prostoliniowych, miedzianych, przewodów o długości l=20m, ułożonych równolegle w jednej płaszczyźnie w odległości d=20cm od siebie, przepływają prądy I₁=500A; I₂=1000A oraz I₃=500A o zwrotach pokazanych jak na rysunku. Wyznaczyć wartości sił elektrodynamicznych działających na poszczególne przewody oraz przedstawić je graficznie. Przenikalność ośrodka przyjąć równą μ₀=4π*10^-7 H/m

Linię dwuprzewodową tworzą równolegle ułożone, długie prostoliniowe przewodu, umieszczone w powietrzu. Wyznacz składowe wektora indukcji magnetycznej i jego moduł na prostej „a” leżącej na płaszczyźnie Ox, która jest równoległa do osi przewodów oraz narysować ten wektor. Dane I=200A, d=25cm. Przenikalność ośrodka przyjąć 4π*10^-7 H/m

$B = \frac{u_{0}I}{\mathbf{2}\mathbf{\text{πr}}} = \frac{u_{0}I}{\mathbf{2}\mathbf{\text{πr}}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{d}} = 1,13*10^{- 4}$ B_w = cos45 * 2B
B_w = 1, 6 * 10⁻⁴T

Kondensator płaski jest zasilany napięciem stałym o wartości Uźr = 100V/ Grubość warstwy izolacyjnej d=6mm, powierzchnia okładki s=20mm². Konduktywność nieidealnego dielektryka wynosi γ=5*10^-13 s/m. Należy wyznaczyć a) wektor gęstości prądu i natężenia pola elektrostatycznego w dielektryku b) rozkład potencjału elektrycznego między okładzinami kondensatora
Rezystancję przejścia, prąd upływu oraz straty mocy w kondensatorze

Kondensator płaski, powietrzny o wymiarach S=0,01 m² i d = 1mm naładowano do napięcia U=100V i odłączono od źródła zasilania. Następnie zwiększono odległość między okładzinami kilkukrotnie. Uzasadnić jak zmieni się rozkład natężenia pola elektrycznego, indukcji elektrycznej, jak zmieni się napięcie między okładkami oraz energia dla pola elektrycznego kondensatora. Przenikalność powietrza przyjąć ε=$\frac{\mathbf{10}^{\mathbf{- 9}}}{\mathbf{36}\mathbf{\pi}}\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{m}}$

NOWE
ZAGADNIENIE 34
Ramkę w kształcie okręgu umieszczono w płaszczyźnie prostopadłej do linii pola magnetycznego opisanego zależnością: B = 1_ze^−5t[mT]. Wyznaczyć siłę elektromotoryczną indukowaną w ramce, jeżeli jej promień R=0,1m

ZAGADNIENIE 49
Przewód miedziany obraca się wokół pionowej osi dzielącej go w stosunku 1:2. Pręt wykonuje 6obr/s, jego długość wynosi ;=1,2m. Wyznaczyć różnicę potencjałów między końcami prętu eab, jeżeli obraca się on w jednolitym magnetycznym skierowanym pionowo o indukcji 10^-2T