1. Pole wektorowe. Rachunek wektorowy w zastosowaniu do analizy pola wektorowego.

Pole wektorowe- funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową np. pole elektryczne reprezentowane przez natężenie pola elektrycznego.

Iloczyn skalarny: AB=ABcosα=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z. Iloczyn wektorowy: AxB=ABsinα, AxB=-BxA

Pochodna wektora:$\frac{d\mathbf{A}}{\text{dt}} = \frac{dA_{x}}{\text{dt}}\mathbf{1}_{x} + \frac{dA_{y}}{\text{dt}}\mathbf{1}_{y} + \frac{dA_{z}}{\text{dt}}\mathbf{1}_{z}$ Całka wektora: ∫_t0^tAdt=1_x∫_t0^tA_xdt + 1_y∫_t0^tA_ydt + 1_z∫_t0^tA_zdt

1. Gradient, dywergencja, rotacja. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego, twierdzenie Stokesa.

$grad\varphi = \mathbf{1}_{\mathbf{x}}\frac{\mathbf{\partial\varphi}}{\mathbf{\partial x}}\mathbf{+}\mathbf{1}_{\mathbf{y}}\frac{\mathbf{\partial\varphi}}{\mathbf{\partial y}}\mathbf{+}\mathbf{1}_{\mathbf{z}}\frac{\mathbf{\partial\varphi}}{\mathbf{\partial z}}$ , $\text{div}\mathbf{A} = \nabla\mathbf{A} = \frac{\partial A_{x}}{\partial x} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$

Tw. Gaussa-Ostrogradzkiego: Strumień wektora przez powierzchnię zamkniętą jest równy całce objętościowej dywergencji tego wektora w obszarze, którego polem jest wspomniana powierzchnia tj. ∮_S(V)AdS = ∫_VdivAdV. Pole jest bezźródłowe gdy div wektora pola =0 w każdym punkcie tego obszaru.

Tw. Stokesa: Całka liniowa wektora wzdłuż krzywej zamkniętej równa się strumieniowi rotacji tego wektora przez powierzchnię, której brzegiem jest ta krzywa tj. ∮_C(V)Adl = ∫_SrotAdS. Pole jest bezwirowe w obszarze gdy rot=0 w każdym punkcie tego obszaru.

1. Podstawowe cechy pola elektromagnetycznego. Równania Maxwella. Prawo zachowania ładunku.

Równania Maxwella postać różniczkowa: $\text{rot}\mathbf{H = J}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$ , $\text{rot}\mathbf{E = -}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$, $\mathbf{J}_{\mathbf{c}}\mathbf{= J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$ , gdzie $\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$ – gęstość prądu przesunięcia A/m², J_c- gęstość prądu całkowitego.

Równania Maxwella postać całkowa: $\oint_{l}^{}{\mathbf{E}d\mathbf{l} = - \int_{S}^{}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}}d\mathbf{S}$

Prawo zachowania ładunku (na podst równania Maxwella) div $(rot\mathbf{H) =}\text{div}\mathbf{\ (J}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t})$, $\text{div}\left( \mathbf{J}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \right) = 0$

Gęstość pola całkowitego jest polem bezźródłowym, a linie tego pola są zamknięte. Przepływ prądu całkowitego odbywa się wzdłuż linii zamkniętych; $\text{div}\mathbf{J} = - \frac{\partial\rho}{\partial t}$, gdzie ρ- ładunek. Pole gęstości prądu przewodzenia jest źródłowe- jegoźródłem jest zmiana czasowa ładunku przestrzennego.

1. Pole elektrostatyczne. Równania Laplace'a i Poissona. Prawo załamania linii pola na granicy 2 środowisk

Pole elektrostatyczne- pole stałe w czasie wytworzone przez niezmienne i nieruchome ładunki. Charakteryzuje je wielkości: natężenie pola E i indukcja e. D. Pole to w rzeczywistości nie istnieje, więc nie wiem po chuj się tego uczyć. W polu elektrostat. gęstość prądu jest równa 0, jest bezwirowe i bezźródłowe. rotE=0, D=εE.

Równanie Poissona: $\text{div}\mathbf{E} = \frac{\varrho}{\varepsilon} = divgrad\varphi = - \frac{\varrho}{\varepsilon}$ czyli $\nabla^{2}\varphi = - \frac{\varrho}{\varepsilon}$ w polu elektrostat. w jednorodym środowisku o przenikalności ε.

Równanie Laplace’a: ∇²φ = 0 , $\varphi = \int_{V}^{}{\frac{\rho(x',y',z')}{\text{rπεR}}dV'}$ , $R = \sqrt{\left( x - x' \right)^{2} + \left( y - y' \right)^{2} + \left( z - z' \right)^{2}}$

Prawo załamania linii pola na granicy 2 środowisk: Zakładamy, że środowisko jest liniowe i izotropowe.

∮_SDdS=∫_VρdV

Strumień elektryczny przez pow. walcową= ładunkowi wewnątrz tej pow. ( z Prawa Gaussa): D_n1dS − D_n2dS = σdS, D_n1 − D_n2 = σ

Składowa normalna wektora indukcji e. zmienia się skokowo na granicy 2 środowisk o wartość gęstości ładunku rozłożonych na pow. granicznej.

$\frac{\text{tg} \propto_{1}}{\text{tg} \propto_{2}} = \frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}}$

1. Dielektryki w polu elektrostatycznym.

Dielektryki – ciała nie przewodzące prądu e. Pole w dielektryku charakteryzują : natężenie pola E i indukcja elektryczna D. D=εE

Dielektryki charakteryzuje przenikalność elektryczna ε.

Polaryzacja e. - uporządkowane przemieszczanie się ładunków e. w obrębie pojedynczych cząstek pod wypływem zewn pola e.

$\mathbf{P} = \operatorname{}\frac{\sum_{}^{}\mathbf{P}_{i}}{V}$

Pole wypadkowe w dielektryku E = E₀ + E_p

Wektor polaryzacji dielektryka P = −ε₀E

1. Pojemność elektryczna. Kondensatory. Energia pola elektrostatycznego. Siły w polu elektrostatycznym.

Pojemność e:. $C = \frac{q}{u}$ , pojemność C odosobnionego ciała metalowego: $C = \frac{q}{\varphi}$ gdzie φ to potencjał.

Kondensator płaski ma 2 jednakowe okładki umieszczone równolegle, między nimi znajduje się dielektryk o stałej przenikalności ε

natężenie pola $E = \frac{u}{d}$ , indukcja w punkcie między płytkami D = εE, pojemność kondensatora płaskiego $C = \frac{\text{εS}}{d}$

Kondensator walcowy: między okładkami znajdują się 3 warstwy dielektryków o stałych przenikalnościach

$$C_{z} = \frac{2\pi\varepsilon_{1}l}{\ln\frac{r_{1}}{r_{2}}}$$

1. Metody wyznaczania pola elektrostatycznego