1. Wstęp teoretyczny.

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi:

gdzie

- siła,

- współczynnik proporcjonalności,

- wychylenie z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady dynamiki Newtona) jako:

albo w postaci różniczkowej:

co zapisuje się też jako:

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnej z poniższych funkcji:

1. 

2. 

3. 

Przyjmując rozwiązanie w pierwszej postaci, prędkość i przyspieszenie określają wzory^[1]:

gdzie:

• jest częstością kołową drgań,

• stałe zależne od warunków początkowych.

Są to tzw. harmoniki. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

Częstość kołową wiąże z okresem drgań związek:

,

częstotliwość drgań natomiast wynosi

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

Wahadło matematyczne

Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest niezależność okresu drgań od maksymalnego wychylenia dla niewielkich wychyleń wahadła.

Analiza ruchu wahadła

W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest punktem materialnym, zawieszonym na nieważkiej, nierozciągliwej nici o długości l. Ruch ciała ograniczony nicią jest ruchem po okręgu. Równanie ruchu wahadła określa wzór:

Wzór ten można wyprowadzić kilkoma metodami, analizując ruch ciała jako ruch liniowy albo ruch po okręgu. Na ciało to działa stała i skierowana pionowo w dół siła ciężkości. Składowa siły ciężkości działająca wzdłuż nici jest prostopadła do chwilowego kierunku ruchu i wpływa jedynie na kierunek ruchu. Gdy wahadło odchylone jest z położenia równowagi, niezerowa składowa prostopadła do nici działająca w kierunku punktu równowagi nadaje ciału przyspieszenie styczne zmieniające wartość prędkości zgodnie ze wzorem:

Składowa styczna przyspieszenia liniowego w ruchu po okręgu związana jest ze zmianą kąta :

Przybliżenie małej amplitudy

Dla małych wychyleń θ jest bliskie zera, wówczas funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem (zobacz: Funkcje trygonometryczne), co prowadzi do równania:

Powyższe równanie jest równaniem ruchu drgania harmonicznego, którego ogólna postać jest dana wzorem:

gdzie jest częstością kołową drgań a T - okresem. Wynika stąd, że okres drgań wynosi:

Takie drgania wahadła matematycznego (bez działania sił zewnętrznych) nazywamy drganiami własnymi wahadła.

Wahania o dużej amplitudzie

Dla dużych wychyleń okres drgań zależy od maksymalnego wychylenia θ₀ i rośnie wraz jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór:

Zależność okresu drgań wahadła od kąta wychylenia .

Gdy w powyższym wzorze, w sumie, pominie się wyrazy poza pierwszym równym 1, otrzymuje się wzór dla małych wychyleń

II. Metodologia wykonania pomiarów.

1. Włączyć przyrząd pomiarowy do źródła zasilania [przycisk S]
   2. Wychylić wahadło o kąt 30^◦ i wyzerować urządzenie wciskając przycisk W1.
   3. Puścić wahadło. Wraz z przecięciem wiązki światła przez wahadło w urządzeniu do pomiaru czasu następuje rozpoczęcie pomiaru czasu.
   4. Mierzymy czas trwania np. 10 wychyleń wahadła. Po wyświetleniu liczby 9 (no górnej skali) wciskamy przycisk W2. Po n=10 wahaniach pomiar czasu ulega zakończeniu w momencie przecięcia wiązki światła przez wahadło.
   5. Pomiar czasu powtórzyć 10-krotnie.
   6. Uzyskane wyniki wpisać do tabeli.
   7. Czynności 2-5 powtórzyć dla kolejnych wartości amplitudy, zmniejszając ją o θ = 2, aż do wartości 2^◦.
   
   Tabela pomiarowa.

t[s]	[]	30	28	26	24	22	20	18	16	14	12	10	8	6	4	2
	1	13,91	13,903	13,882	13,848	13,838	13,825	13,792	13,772	13,764	13,752	13,742	13,734	13,723	13,717	13,704
	2	13,932	13,889	13,883	13,841	13,836	13,816	13,798	13,782	13,765	13,75	13,742	13,735	13,724	13,717	13,703
	3	13,927	13,906	13,886	13,864	13,831	13,829	13,799	13,767	13,767	13,76	13,741	13,733	13,724	13,712	13,706
	4	13,93	13,9	13,888	13,868	13,832	13,827	13,8	13,782	13,764	13,753	13,743	13,733	13,724	13,711	13,706
	5	13,927	13,908	13,882	13,873	13,839	13,812	13,799	13,772	13,764	13,758	13,743	13,732	13,724	13,718	13,704
	6	13,924	13,916	13,876	13,839	13,838	13,818	13,798	13,785	13,765	13,754	13,74	13,733	13,72	13,72	13,701
	7	13,932	13,922	13,831	13,84	13,835	13,819	13,802	13,783	13,766	13,755	13,741	13,734	13,722	13,719	13,705
	8	13,946	13,918	13,848	13,842	13,835	13,819	13,796	13,782	13,765	13,754	13,74	13,731	13,724	13,715	13,703
	9	13,928	13,921	13,847	13,874	13,833	13,821	13,795	13,778	13,765	13,753	13,742	13,735	13,723	13,719	13,702
	10	13,927	13,915	13,877	13,873	13,897	13,824	13,794	13,786	13,764	13,754	13,742	13,732	13,725	13,717	13,701
tsr[s]	13,9283	13,9098	13,87	13,8562	13,8414	13,821	13,7973	13,7789	13,7649	13,7543	13,7416	13,7332	13,7233	13,7165	13,7035
θ[rad]	0,52	0,49	0,45	0,42	0,38	0,35	0,31	0,28	0,24	0,21	0,17	0,14	0,10	0,07	0,03
θ^2[rad^2]	0,27	0,24	0,20	0,18	0,14	0,12	0,09	0,08	0,06	0,04	0,03	0,02	0,01	0,0049	0,0009
T[s]	1,39283	1,39098	1,387	1,38562	1,38414	1,3821	1,37973	1,37789	1,37649	1,37543	1,37416	1,37332	1,37233	1,37165	1,37035
ω ∖ n[rad/s] ∖ n	4,50	4,51	4,52	4,53	4,54	4,54	4,55	4,56	4,56	4,56	4,57	4,57	4,58	4,58	4,58
ω^2 ∖ n[rad^2/s^2]	20,34	20,38	20,50	20,54	20,58	20,65	20,72	20,77	20,81	20,85	20,88	20,91	20,94	20,96	21,00

III. Obliczenia.

a= -2,38828 u(a)= 0,067467

b= 20,95857 u(b)= 0,008849

Obliczam ω₀ oraz u(ω₀).

$${\omega_{0}^{2} = b\backslash n}{\omega_{0} = \sqrt{b} = \sqrt{\ 20,95857} = 4,57805308 \approx 4,58\lbrack\frac{\text{rad}}{s}\rbrack\backslash n}{u\left( \omega_{0} \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial\omega_{0}}{\partial b} \bullet u(b) \right)^{2}} = \sqrt{\left( \frac{1}{2\sqrt{b}} \bullet u(b) \right)^{2}} = \sqrt{\left( \frac{1}{2*4,58} \bullet 0,008849 \right)^{2}} = 9,88 \bullet 10^{- 4}\lbrack\frac{\text{rad}}{s}\rbrack}$$

IV. Wnioski.

Okres drgań wahadła fizycznego dla dużych wychyleń zależy od amplitudy drgań. Częstość ω drgań wahadła wahającego się z dużą amplitudą jest mniejsza niż częstość ω₀ odpowiadające ruchowi z małą amplitudą.