1.Definicja, cechy, podział i jednostki sił. Definicja siły – oddziaływanie jednego ciała na drugie; Cechy sił – oddziaływanie może być bezpośrednie albo pośrednie: bezpośrednie gdy ciała się stykają, pośrednie to np. grawitacja; siła przyłożona do ciała wprawia ciało w ruch postępowy albo dąży do wprawienia w ruch w kierunku w którym ta siła działa; wektor siły posiada punkt przyłożenia, zaczepienia; ma wartość, kierunek i zwrot; Podział sił: siły-> zewnętrzne(pochodzące spoza ciała, działanie ciał obcych)->czynne(obciążenia), bierne(reakcje więzów)->wewnętrzne(powstają wewnątrz ciała na skutek sił do niego przyłożonych); Jednostki siły - Jednostką miary siły w układzie SI jest [N]. W układzie CGS jednostką siły jest dyna. 1N = 1kg x m/s² Rozróżniamy: siły skupione, powierzchniowe i objętościowe. 2.Zasady statyki (aksjomaty) I Zasada równoległoboku: dwie dowolne siły F₁ i F₂ przyłożone do jednego punktu ciała możemy zastąpić siłą wypadkową W przyłożoną do tegoż punktu i przedstawioną jako wektor będący przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach sił składowych F₁ i F₂ $W = \sqrt{F_{1}^{2} + \ F_{2}^{2} + \ 2F_{1}F_{2}\text{cosα}}\ $ II Zasada równoważenia dwóch sił: dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy gdy działają wzdłuż jednej prostej, mają przeciwne zwroty oraz te same wartości liczbowe III Działanie układu sił przyłożonych do ciała sztywnego nie ulegnie zmianie jeżeli do układu tego dodamy dowolny układ równoważących się sił (tzw. Zerowy)[Uwaga: jedna siła to też układ sił] IV Zasada zesztywnienia: równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała (zwiększenie sztywności). Jeśli układ sił działa na ciało o mniejszej sztywności i jest w równowadze to gdy przeniosę ten układ na ciało o większej sztywności to też będzie w równowadze, ale gdy odwrotnie to NIE MUSI tak być. [przykład ze sznurkiem i prętem] V Zasada działania i przeciwdziałania: każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie. VI Zasada oswobodzenia ciała od więzów: każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami. Dalej ciało takie możemy rozpatrywać jako ciało swobodne podlegające działaniu sił czynnych oraz sił reakcji więzów. 3.Moment siły względem bieguna. Moment główne układu sił. Siła przyłożona na pewnym ramieniu to moment. a) Moment siły względem bieguna. Momentem siły F względem punktu (bieguna) O nazywamy wektor, którego wartość bezwzględna równa jest iloczynowi wartości liczbowej siły F i ramieniu tej siły względem bieguna O. Kierunek wektora momentu jest prostopadły do płaszczyzny w której leży linia odkształcenia siły F i bieguna O (do płaszczyzny działania momentu). Zwrot wektora momentu wynika z reguły śruby o gwincie prawozwojnym lub korkociągu. (Jeżeli siła obraca swoje ramię przeciwnie do obrotu wskazówek zegara to znak jest dodatni) b) Moment główny układu sił. Momentem głównym (albo wypadkowym) dowolnego układu sił leżących w jednej płaszczyźnie względem przyjętego bieguna O nazywamy sumę algebraiczną momentów wszystkich sił tego układu względem tego samego bieguna O $M_{W_{O}} = M_{1_{O}} + M_{2_{O}} + \ldots + M_{n_{O}} = \sum_{i = 1}^{r}M_{i_{O}}\ $4.Wyjaśnić pojęcia: Ciało swobodne – jest to takie na które nie działają żadne więzy i może wykonywać dowolny ruch w przestrzeni (6 ruchów, 6 stopni swobody) Ciało nieswobodne – ma mniej niż 6 stopni swobody Stopnie swobody - w fizyce minimalna liczba niezależnych zmiennych opisujących jednoznacznie stan (modelu) układu fizycznego. W praktyce stopień swobody określa liczbę zmiennych układu, które można zmieniać, bez automatycznego powodowania zmian pozostałych zmiennych. Więzy – inne ciała, które rozpatrywanemu ciału ograniczają ruch. Reakcje więzów – siły, którymi więzy oddziaływają na ciało. Ich wartość wynika z warunków równowagi. 5.Podać reakcje występujące w więzach. Więzy z 1 niewiadomą – kierunek siły reakcji jest taki w którym więzy blokują przesunięcie; Więzy z 2 niewiadomymi – blokują ruch w dwóch kierunkach; Więzy z 3 niewiadomymi – utwierdzenie, zamurowanie 6.Układ sił – definicja. Podział układów sił. Układ sił – Zbiór dowolnej liczby sił jednocześnie działających na ciało nazywamy układem sił. Podział układów sił: 1) Układ sił leżących na jednej prostej: a) Siła wypadkowa $W = \ F_{1} + \ F_{2} + \ldots + F_{n} = \sum_{i = 1}^{n}F_{n}\ $|b) Warunek równowagi $W = \sum_{i = 1}^{n}F_{n} = 0\ $2) Układy płaskie – wszystkie siły leżą w jednej płaszczyźnie 3) Układy przestrzenne – linie działania wszystkich sił nie leżą w jednej płaszczyźnie) Układy płaskie i przestrzenne mogą być: Równoległe – linie działania wszystkich sił mają ten sam kierunek; Zbieżne – linie wypadkowych sił przecinają się w jednym punkcie; Dowolne – linie działania wszystkich sił układu przecinają się w różnych punktach 7.Podać warunki równowagi dla płaskich układów sił. 1) Aby płaski układ sił był w równowadze wektor główny i moment główny muszą się zerować względem dowolnie dobranego bieguna redukcji. $W = F_{1} + F_{2} + \ldots + F_{n} = \sum_{i = 1}^{n}F_{i} = 0\ |\ M_{W_{O}} = M_{1_{O}} + M_{2_{O}} + \ldots + M_{n_{O}} = \sum_{i = 1}^{n}M_{i_{O}} = 0$ 2) Istnieją 3 algebraiczne warunki równowagi układu płaskiego dowolnego sił. a) $W_{x} = F_{1_{x}} + F_{2_{x}} + \ldots + F_{n_{x}} = \sum_{i = 1}^{n}F_{i_{x}} = 0\ |\ W_{y} = F_{1_{y}} + F_{2_{y}} + \ldots + F_{n_{y}} = \sum_{i = 1}^{n}F_{i_{y}} = 0$ Aby płaski dowolny układ sił znajdował się w równowadze sumy rzutów wszystkich sił tego układu na dwie wzajemnie prostopadłe osie muszę był równe zeru. b) $M_{W_{O}} = M_{1_{O}} + M_{2_{O}} + \ldots + M_{n_{O}} = \sum_{i = 1}^{n}M_{i_{O}} = 0$ Suma algebraiczna momentów wszystkich sił tego układu względem dowolnego bieguna redukcji O też musi być równa zero. 8.Środek ciężkości ciała (definicja). Określenie współrzędnych środka ciężkości figury płaskiej. Środek ciężkości ciała – punkt w którym zaczepiona jest siła ciężkości całego ciała. Współrzędne środka ciężkości figury płaskiej $x_{c} = \ \frac{\sum_{}^{}{x_{i}A_{i}}}{\sum_{}^{}A_{i}} = \frac{\sum_{}^{}{x_{i}A}_{i}}{A}\ |\ y_{c} = \ \frac{\sum_{}^{}{y_{i}A_{i}}}{\sum_{}^{}A_{i}} = \frac{\sum_{}^{}{y_{i}A}_{i}}{A}$ 9.Wymienić stany równowagi ciała nieswobodnego w zależności od położenia środka ciężkości ciała. 1) Ciało podparte powyżej środka ciężkości znajduje się w stanie równowagi stałej statecznej. 2) Ciało pod. poniżej środka ciężkości znajduje się w stanie równowagi chwiejnej i dąży do przyjęcia równowagi stałej. 3) Jeżeli podeprzemy ciało w środku ciężkości to jest ono w stanie równowagi obojętnej. 10.Zdefiniować proste stany obciążenia występujące w wytrzymałości materiałów. Rozciąganie – zachodzi jeżeli na pręt wzdłuż jego osi działa zrównoważony układ sił ze zwrotami na zewnątrz materiału. Ściskanie – zachodzi jeżeli na pręt wzdłuż jego osi działa zrównoważony układ sił ze zwrotami do wewnątrz materiału. Ścinanie - przypadek obciążenia, w którym układ sił wewnętrznych udaje się sprowadzić do jednej siły działającej w płaszczyźnie przekroju elementu. Skręcanie – zachodzi jeżeli pasy sił działają prostopadle do osi i ich momenty równoważą się ale działają w przeciwnych kierunkach Zginanie – zachodzi jeżeli momenty leżą w płaszczyźnie XY albo działają siły prostopadłe do podłużnej osi belki 11.Podać i objaśnić prawo Hooke’a przy rozciąganiu. Odkształcenie jest wprost proporcjonalne do odciążenia i odwrotnie proporcjonalnie do sztywności. $l = \frac{N \times l}{E \times A}$ E×A – sztywność rozciągania, ściskania; Im większy mod Younga tym mniejsze odkształcenie (zależy on od materiału) 11.Scharakteryzować odkształcenia wzdłużne i poprzeczne rozciąganego (ściskanego) pręta. Pręt rozciągany – zwiększa się długość pręta [∆l>0] , zmniejsza się średnica [∆d<0], E>0, Ep<0. (Wydłużenie i przewężenie) Pręt ściskany – zmniejsza się jego długość [∆l <0], zwiększa średnica[∆d>0], E<0, Ep>0. (Skrócenie i spęczenie) 12.Scharakteryzować stałe sprężystości materiału: E, ν, G E – moduł Younga - moduł odkształcalności liniowej albo moduł sprężystości podłużnej (w układzie jednostek SI) – wielkość określająca sprężystość materiału. Wyraża ona, charakterystyczną dla danego materiału, zależność odkształcenia liniowego ε materiału od naprężenia σ, jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych. ν – liczba Poissona - współczynnik różny dla różnych substancji określający ich zachowanie podczas rozciągania. G – moduł Kirchoffa - współczynnik uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia, jakie w nim występuje; jest to wielkość określająca sprężystość materiału. 14.Narysować i omówić wykres rozciągania dla materiałów plastycznych. Początkowo wzrost naprężenia powoduje liniowy wzrost odkształcenia. W zakresie tym obowiązuje prawo Hooke'a. Po osiągnięciu naprężenia R_sp, zwanego granicą sprężystości materiał przechodzi w stan plastyczności, a odkształcenie staje się nieodwracalne. Przekroczenie granicy sprężystości, zauważalne w okresie chwilowego braku przyrostu naprężenia, powoduje przejście materiału w stan plastyczny. Dalsze zwiększanie naprężenia powoduje nieliniowy wzrost odkształcenia, aż do momentu wystąpienia zauważalnego, lokalnego przewężenia zwanego szyjką. Naprężenie, w którym pojawia się szyjka, zwane jest wytrzymałością na rozciąganie R_m. Dalsze rozciąganie próbki powoduje jej zerwanie przy naprężeniu rozrywającym R_u. Przerywana pokazuje naprężenie rzeczywiste. 15.Wyjaśnić pojęcia: Naprężenie dopuszczalne – naprężenia odpowiadające granicy plastyczności $\sigma_{\text{dopuszczalne}} = \ \frac{\sigma_{\text{niebezpieczne}}}{U_{\text{bezpiecz}\text{ne}}}$ Współczynnik bezpieczeństwa konstrukcji (U_bez): Zagrożenie jakie może powstać w przypadku zniszczenia konstrukcji; Czas i warunki pracy konstrukcji; Dokładność metod obliczeniowych w prętach $\sigma_{\text{rzeczywiste}} \leq \sigma_{\text{dopuszcza}\text{lne}}|\ \sigma_{\text{rzeczywiste}} = \ \frac{N}{A} \leq \sigma_{\text{dopuszczalne}}\ $; Naprężenia własne; Jednorodność materiału; Dynamika obciążenia 16.Momenty bezwładności (osiowe i biegunowe) figur płaskich Def: Osiowy moment bezwładności – jest to suma iloczynów elementarnych pól tej figury Da i kwadratów ich współrzędnej y. J_x = ∫_Ay²dA | J_y = ∫_Ax²dA | J₀ = J_x + J_y; Biegunowy moment bezwładności – suma dwóch osiowych momentów bezwładności tej figury liczonych względem dwóch wzajemnie prostopadłych osi przecinających się w tym biegunie. J₀ = ∫_Af²dA | J_x = ∫_A(x²+y²)dA=∫_Ax²dA + ∫_Ay²dA; Własności: Moment bezwładności jest zawsze dodatni; Wielkość momentu bezwładności zależy od położenia Jednostka: J[mm⁴] 17.Podać i zilustrować przyk. twierdzenie Steinera. Moment bezwładności figury względem osi X równoległej do osi środkowej x₀ jest równy momentowi bezwładności tej figury względem osi x₀ powiększonemu o iloczyn pola tej figury i kwadratu współrzędnej y_c (odległości między osiami X i x₀)  J_x =  J_x0 + A × y_c² | J_y =  J_y0 + A × x_c² |  J_xy = J_x0y0 + A × x_cy_c  18.Skręcanie prętów o przekroju kołowym – założenia, odkształcenia, rozkład naprężeń w przekroju (wykres i wzór z objaśnieniem). Założenia: Przekroje poprzeczne kołowe przed odkształceniem pozostają kołowymi również po odkształceniu doznając jedynie obrotu wokół pręta; Promień przekroju obraca się wraz z całym przekrojem pozostając prostoliniowym; Linie tworzące pręta nie zmieniają swej długości $l = 0\ \left| \ \varepsilon = \frac{l}{l}\ \right|\sigma = E \times \varepsilon = 0$ Odkształcenia: Występują odkształcenia postaciowe (nie zmienia się długość tylko postać) wywołane naprężeniami stycznymi, czyli naprężeniami wzdłuż ścianek. ( Taki efekt przy skręcaniu, jeden przekrój względem drugiego jest ścinany.) Rozkład naprężeń w przekroju: Przy skręcaniu prętów o przekroju kołowym nie ma zmiany długości, nie ma naprężeń prostopadłych, są naprężenia styczne. 19.Podać warunek wytrzymałościowy na skręcanie Warunek wytrzymałościowy na skręcanie $\tau_{s} = \ \frac{M}{W_{0}} \leq \ k_{s}$ gdzie: τ_s – naprężenia styczne skręcające w [Pa], M – moment skręcający przekrój  w [Nm], W_o – wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie [m³], k_s – naprężenia dopuszczalne na skręcanie w [Pa] Sposoby korzystania: Dla przekroju kołowego pełnego $J_{0} = \frac{\pi d^{4}}{32}\ |\ W_{0} = \frac{\frac{\pi d^{4}}{32}}{\frac{d}{2}} = \frac{\pi d^{3}}{16}$; Dla przekroju kołowego drążonego $J_{0} = \ \frac{\pi}{32}\left( d_{z}^{4} - d_{o}^{4} \right)\ |\ W_{0} = \frac{\frac{\pi}{32}(d_{z}^{4} - d_{o}^{4})}{\frac{d_{z}}{2}} = \frac{\pi(d_{z}^{3} - d_{o}^{3})}{16d_{z}}$ 20.Podać i omówić wzór na kąt skręcenia przekroju kołowego pręta. Wyjaśnić co to jest sztywność skręcania. Wzór na kąt skręcenia $\varphi = \frac{M \times l}{G \times J_{0}}\ $; Sztywność skręcania: G × J₀ 21.Wymienić rodzaje zginanych belek, omówić odkształcenia podłużnych włókien, rozkład naprężeń normalnych w przekroju belki Rodzaje zginanych belek: ? Odkształcenia podłużnych włókien: Doświadczenia przeprowadzone ze zginanymi prętami pokazują, że: - włókna górne uległy skróceniu w przekroju wzdłużnym, zaś w tej części w przekroju poprzecznym pręt poszerzy się; - włókna dolne uległy wydłużeniu i odpowiednio zwężeniu; - względne odkształcenia poprzeczne pręta w każdym punkcie są proporcjonalne (poprzez liczbę Poissona n ) do odkształceń wzdłużnych a więc istnieje związek między odkształceniami podobnie jak przy rozciąganiu lub ściskaniu; - włókna równoległe do osi pręta znajdują się w jednokierunk. stanie naprężeń (rozciąganie lub ściskanie) i nie wywierają na siebie żadnych nacisków poprzecznych; - w strefie środkowej (warstwa obojętna) odkształcenia i naprężenia są równe zeru. Rozkład naprężeń normalnych w przekroju belki: Naprężenia normalne w warstwie odległej o y od warstwy obojętnej: $\sigma = \ \frac{M}{J_{z}}y$ J_z – osiowy moment bezwładności przekroju porzecznego belki. 22.Wyjaśnić jakie obciążenia wewnętrzne występują w przekrojach zginanych belek 1) Siła poprzeczna w dowolnym przekroju równoważny siły zewnętrzne po jednej stronie tegoż przekroju. Siła poprzeczna jest więc suma (z odpowiednim znakiem) siłą prostopadłą do osi belki działającą na jedną płaszczyznę. 2) Przy wyznaczaniu siły poprzecznej w przekroju belki ze znakiem + uwzględniamy te siły zewnętrzne, które dążą do obrotu rozpatrywanej części belki w stronę zgodną z ruchem wskazówek zegara, zaś ze znakiem -uwzględniamy te siły zewnętrzne, które dążą do obrotu w stronę przeciwną. 3) Moment zginający w dowolnym przekroju równoważy moment sił zewnętrznych po jednej stronie tegoż przekroju. Moment zginający w rozpatrywanym przekroju belki jest zatem algebraiczną sumą wszystkich momentów tworzonych przez obciążenia zewnętrzn, działające na rozpatrywaną belkę. 4) Belka zginana „wypukłością w dół” – dodatnie siły wewnętrzne. Belka zginana „wypukłością w górę”– ujemne siły wewnętrzne. 23.Wyjaśnić co to jest przekrój niebezpieczny belki 1) Na przekroje niebezpieczne wskazują maksymalne wartości siły poprzecznej i momentu zginającego 2) Warunek wytrzymałościowy na zginanie $\sigma_{g_{\max}} = \ \frac{|M_{g_{\max}}|}{W_{z}} \leq k_{g}$ Sposoby korzystania: Dla przekroju prostokątnego pełnego $J_{z} = \ \frac{bh^{2}}{12}$ | $y_{\max} = \frac{h}{2}$ | $W_{z} = \ \frac{bh^{2}}{6}$ ; Dla przekroju kołowego pełnego $J_{z} = \ \frac{\pi d^{4}}{64}$ | $y_{\max} = \frac{d}{2}\ |\ W_{z} = \ \frac{\pi d^{3}}{32}$ ; Dla pręta prostokątnego drążonego $W_{z} = \frac{J_{z}}{y_{\max}}$ | $W_{z} = \ \frac{\frac{BH^{3} - bh^{3}}{12}}{\frac{H}{2}} = \ \frac{BH^{3} - bh^{3}}{6H}$ ; 24.Wyjaśnić co to jest linia ugięcia belki, scharakteryzować przemieszczenia przekroju poprzecznego belki (związek między nimi), co to jest sztywność zginania. Linia ugięcia belki to zakrzywiona oś belki $E \times J_{0} \times y" = - M(x)$ - równanie różniczkowe linii ugięcia belki Sztywność zginania E × J₀ Przemieszczenia przekroju poprzecznego: -Ugięcie poszczególnych przekrojów jest różne; -Przekrój ma obrót o kąt $\vartheta = \frac{\text{dy}(x)}{\text{dx}}\ \ ;$ -Ugięcie przekrojów jest dodatnie jeżeli przekrój obraca się w stronę zgodną z ruchem wskazówek zegara; -Środek ciężkości przekroju na podporach nie ma przesunięcia, ale ma obrót 25.Wyjaśnić na czym polega utrata stateczności konstrukcji... Utrata stateczności konstrukcji: Stateczność jest właściwością układu sprężystego polegającą na samoczynnym powrocie ciała do położenia wyjściowego po wytrąceniu do z położenia równowagi. Najbardziej klasycznym przykładem utraty stateczności jest wyboczenie pręta smukłego poddanego ściskaniu.Długość zredukowania pręta: $l_{w} = \ \mu \times l;\ \mu = \frac{1}{n}$ - współczynnik zamocowania, n - liczba półfal sinusoidy, które tworzą się na długości całego pręta przy jego wyboczeniu Smukłość pręta: $s = \frac{l_{w}}{i_{\min}}\ |\ i_{\min} = \sqrt{\frac{J_{\min}}{A}}$ – promień (ramię) bezwładności 26.Przedstawić na wykresie zależność σ_kryt = f(s) podać wzory na siłę krytyczną i naprężenie krytyczne dla wyboczenia sprężystego, podać zakres ich stosowania. 1) wykres 2) wzór na siłę krytyczną $F_{\text{kryt}} = \ \frac{\pi^{2}EJ_{\min}n^{2}}{l^{2}} = \ \frac{\pi^{2}EJ_{\min}}{{(\text{μl})}^{2}} = \frac{\pi^{2}EJ_{\min}}{l_{w}^{2}}$ 3) wzór na naprężenie krytyczne $\sigma_{\text{kryt}} = \ \frac{F_{\text{kryt}}}{A} = \ \frac{\pi^{2}EJ_{\min}}{l_{w}^{2}A} = \ \frac{\pi^{2}Ei_{\min}^{2}}{l_{w}^{2}} = \frac{\pi^{2}E}{s^{2}} \leq R_{\text{spr}}$ 4) Obliczenia za pomocą wzoru na naprężenia krytyczne możemy przeprowadzić tylko wtedy, gdy smukłość pręta s jest większa od smukłości granicznej S_gr. Dla smukłości mniejszej od S_gr stosuje się wzory (krzywe) otrzymane doświadczalnie dla danego materiału. 27.Wyjaśnić co to jest smukłość graniczna pręta. Podać kiedy występuje wyboczenie sprężysto – plastyczne i wg jakich wzorów liczymy w tym przypadku naprężenia krytyczne. Smukłość graniczna pręta: $S_{\text{gr}} \geq \sqrt{\frac{\pi^{2}E}{R_{\text{spr}}}}$ Wyboczenie sprężysto – plastyczne: Jeżeli smukłość pręta jest mniejsza niż smukłość graniczna to mówimy, że pręt pracuje w zakresie sprężysto-plastycznym. W zakresie tym będziemy przyjmować liniową zależność pomiędzy normalnym naprężeniem krytycznym a smukłością. Prostą tę nazywa się prostą Tetmajera-Jasińskiego. σ_kryt = R_e − b × s ; $b = \frac{R_{e} - R_{\text{gr}}}{S_{\text{gr}}}\ $