Ruch zmienna położenia obiektu materialnego względem pewnego układu odniesienia .Opis ruchu abstrahujący od działających sił stanowi przedmiot kinematyki. Dynamika bada związek ruchu z działającymi siłami. Ruch jednostajny (pkt. materialnego) – ruch , w którym stała jest bezwzględna wartość przyśpieszenia, czyli przyspieszenie styczne jest równe zeru. Przyspieszenie dośrodkowe jest równe zeru. v=const an =0 a ≠0 S=v*t Kiedy torem ruchu jednostajnego jest linia prosta, to jest to ruch jednostajny prostoliniowy i at=0, an=0, v=const

Ruch jednostajnie przyspieszony (pkt.materialnego) – ruch, w którym przyspieszenie styczne ma stałą wartość. Wzory : v(t)=v0+at * t gdzie v(t)-prędkość jako funkcja czasu ; V0- prędkość początkowa ; at- przyspieszenie styczne ; t- czas ; S(t)- droga ; an≠0 ; at =0 ; an=const ; v –zmienne Ruch, w którym at<0 nazywa się zwykle ruchem jednostajnie opóżnionym Ruch krzywoliniowy (pkt. materialnego) – ruch którego torem jest linia krzywa W r.k. zawsze występuje przyspieszenie dośrodkowe, gdyż wektor prędkości zmienia nieustannie swój kierunek Spadanie swobodne jest to ruch, który zachodzi pod wpływem grawitacji z prędkością początkowa równą 0 . Wszystkie ciała spadają z przyspieszeniem grawitacyjnym V0=0 ; a=g=const≈9 m/s

• Rzut pionowy polega na nadaniu ciału pewnej prędkości w kierunku pionowym przy czym może ono posiadać zwrot w góre lub dół,

• w górę

• w dół

• Rzut poziomy jest to ruch, który w momencie wyrzucania ma wektor prędkości poziomy. Ruch ten składa się z ruchu jednostajnego w kierunku poziomym i jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym bez prędkości początkowej w tym kierunku.

Rzut ukośny to ruch w którym prędkość początkowa tworzy z poziomem kąt większy niż 0 stopni i mniejszy od 90. Dokonujemy rozkładu prędkości początkowej na składowe w kierunku poziomym i pionowym . W kierunku poziomym ruch jest jednostajny, ze stała prędkością Vx=V0*cos α. W kierunku pionowym ruch jednostajnie zmienny Vy=V0*sin α .

Ruch obrotowy bryły sztywnej. Wszystkie punkty ciała poruszają się po okręgu, których środki leżą na jednej prostej (tzw. chwilowa oś obrotu; są też osie stałe) Ruch postępowy. Dowolna prosta przeprowadzona przez to ciało przesuwa się równolegle do samej siebie, prędkość wszystkich punktów danej chwili jest jednakowa.

I Zasada Dynamiki

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się wzajemnie i ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem wybranego układu odniesienia to taki układ nazywamy UKŁADEM INERCJALNYM.

Układ, który względem układu inercjalnego spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym jest również układem inercjalnym.

II Zasada Dynamiki Jeżeli na punkt materialny działają siły, których wypadkowa jest różna od zera to punkt materialny porusza się ruchem zmiennym z przyspieszeniem wprost proporcjonalny do działającej siły wypadkowej i odwrotnie proporcjonalny do masy tego punktu

,gdzie jest przyspieszeniem punktu materialnego, a r – jego wektorem wodzącym. Kierunek i zwrot siły jest równy z kierunkiem i zwrotem przyspieszenia. Odpowiednie sformułowanie drugiej zasady dynamiki Newtona jest następujące: przyspieszenie punktu materialnego pokrywa się co do kierunku (i zwrotu) z działającą na niego siłą i jest równe stosunkowi tej siły do masy punktu materialnego Gdy F ma zwrot zgodny z V to ruch jest przyspieszony. Gdy F ma zwrot przeciwny z V to ruch jest opóźniony.

2. Jakim ruchom odpowiadają następujące zestawienia wielkości:

a. a_n=0 b. a_n0 c. a_n=0 d. a_n0

a_t=0 a_t=0 a_t0 a_t0

Odp: a. ruch jednostajny prostoliniowy

b. ruch jednostajny krzywoliniowy

c. ruch zmienny prostoliniowy

d. ruch krzywoliniowy zmienny

3. Jakim ruchom po okręgu odpowiadają następujące charakterystyki:

a. =const b. const c. const

=0 =const const

Gdy ciało porusza się po okręgu, wektor jego prędkości, styczny do toru, będzie stale zmieniał swój kierunek. Oznacza to, że wektor prędkości nie jest stały, a zatem ruch po okręgu jest ruchem zmiennym. Jeżeli jednak wektor prędkości zmieniając swój kierunek zachowa przy tym stałą wartość to rozpatrywany ruch będziemy nazywali ruchem jednostajnym po okręgu. Ruch jednostajny po okręgu jest ruchem okresowym i jego okres wynosi:

, gdzie r – promień okręgu.

Okres – czas trwania jednego pełnego obiegu. Częstotliwość – liczba pełnych obiegów w jednostce czasu.

; ; ; ; ;

4. Jakie dodatkowe siły należy uwzględnić w obracającym się układzie. Omówić te siły w odniesieniu do ciał:

1. spoczywających na powierzchni ziemi,

2. poruszających się po powierzchni ziemi.

5. Posługując się pojęciem momentu siły podać warunek powstania ruchu obrotowego bryły sztywnej:

1. jednostajny,

2. zmienny.

Ruch bryły sztywnej może się składać z ruchu postępowego i ruchu obrotowego. W ruchu postępowym bryła może być uważana za punkt materialny. Moment siły: Wielkością wywołującą przyśpieszenie kątowe jest moment siły (moment obrotowy). Moment siły jest wielkością wektorową równą iloczynowi wektorowemu wektora położenia punktu przyłożenia siły i wektora siły działającej na bryłę: M= r * F. a) W inercjalnym układzie odniesienia bryła nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym, gdy nie działają na nią żadne momenty sił lub gdy działające momenty sił równoważą się wzajemnie: Warunek równowagi bryły w ruchu obrotowym:

b) Gdy na bryłę działa niezrównoważony moment siły M, wtedy nadaje on tej bryle przyśpieszenie kątowe e, którego wartość jest proporcjonalna do wartości momentu siły, a zwrot i kierunek są identyczne jak zwrot i kierunek tego momentu siły e~M. Współczynnik proporcjonalności w tej zależności jest moment bezwładności bryły M=I*e.

Moment bezwładności bryły który określamy jako sumę momentów bezwładności punktów materialnych tej bryły względem osi obrotu gdzie iloczyn jest momentem bezwładności i-tego punktu materialnego bryły względem osi obrotu, jest najkrótszą odległością i-tego punktu od osi obrotu. . Moment pędu bryły względem danego punktu odniesienia określonej jako sumę momentu pędu jej punktów materialnych względem tego samego punktu odniesienia .

7. Co charakteryzuje swobodne osie obrotu. Omówić doświadczenie wykazujące ich liczbę. Jeśli bryła sztywna wiruje swobodnie w przestrzeni a suma momentów sił zewnętrznych jest równa zeru, to chwilowa oś obrotu w ogólności zmienia ciągle swój kierunek zarówno względem inercjalnego układu odniesienia, jak i względem bryły. Oś obrotu może zachować stały kierunek tylko w przypadku gdy pokrywa się z jedną z trzech głównych osi bezwładności bryły. Dowolnie mała niedoskonałość w pokrywaniu się osi obrotu z główną osią bezwładności powoduje, że oś obrotu wkrótce zacznie zmieniać swój kierunek. Obrót wokół dwu pozostałych głównych osi bezwładności bryły, którym odpowiada największa i najmniejsza wartość momentu bezwładności, ma charakter trwały co znaczy, że oś obrotu

8. Scharakteryzuj ruch precyzyjny na podstawie bąka i żyroskopu.

PRECESJA – zjawisko towarzyszące ruchowi obrotowemu bryły sztywnej wokół zamocowanego punktu lub wokół środka masy. Jeśli ruch taki da się rozłożyć na dwa następujące obroty składowe:

1. obrót bryły ze stałą co do wartości bezwzględnej prędkością kątową wokół osi związanej sztywno z bryłą

2. obrót osi związanej z bryłą ze stałą prędkością kątową wokół osi nieruchomej względem układu odniesienia to ten drugi obrót nazywa się PRECESJĄ

BĄK – Badając bąka symetrycznego odnajdujemy 2 przypadki precesji.

1. występuje jeżeli względem punktu φ który jest punktem zamocowania lub średniej masy, moment sił zewnętrznych działających na bąk symetrii równy jest φ (np.: gdy jedna siła zewnętrzna jest siłą ciężkości, a pkt. wokół którego bąk się obraca jest jego środkiem ciężkości. Pkt. Ten może być środkiem masy bąka unoszącego się swobodnie w przestrzeni. Oś symetrii takiego bąka pozbawiona momentu sił zewnętrznych, obraca się na ogół ze stałą prędkością kątową wokół nieruchomej osi mającej kierunek wektora momentu pędu bąka czyli wykonuje PRECESJE. Nie było by Precesji w przypadku gdy bąk został wprowadzony w ruch obrotowy dokładnie wokół osi symetrii lub osi do niej prostopadłej. Osie te jako główne osie bezwładności zachowałyby stały kierunek w przestrzeni.

2. Występuje np. wtedy gdy na bąk działa siła ciężkości, a unieruchomiony jest pkt. Różny od środka ciężkości np. (zabawka stojąca ostrą nóżką na szorstkiej powierzchni po której nie może się ślizgać). Występujący względem pkt. zamocowanego moment siły ciężkości powoduje że wektor momentu pędu bąka nie jest stały lecz obraca się jednostajnie wokół osi planowej. Obraca się również jednostajnie wokół niej oś symetrii bąka mamy więc wymuszoną Precesje.

ŻYROSKOP – bąk symetrii – bryła sztywna zawieszona w taki sposób że 1 z pkt. osi symetrii obrotowej

zajmuje stałe położenie w przestrzeni a ponadto istnieje możliwość wprowadzenia tej bryły w szybki ruch obrotowy wokół tej osi. Żyroskop w zawieszeniu Cardona; pkt. nieruchomym jest środek masy i żyroskop jest bąkiem swobodnym to jest o 3 stopniach swobody. Na ogół żyroskop jest zbudowany w taki sposób, że jego oś obrotu jest osią swobodną i stałą tzn. o największym momencie bezwładności. Żyroskop pozostający w spoczynku reaguje na przyłożony moment siły obracając się w kierunku zgodnym z przyłożonym momentem siły. W przypadku gdy żyroskop jest wprowadzony w szybki ruch obrotowy, kierunek osi żyroskopu jest wówczas zarazem kierunkiem jego momentu pędu i aby zmienić położenie tej osi trzeba położyć moment siły powodując odpowiednią zmianę momentu pędu. Przyłożenie pary sił o momencie D sprawi że w ciągu krótkiego czasu Δt moment pędu I zwiększy się o ΔI = Δt*D a oś obrotu obróci się wokół pionowej osi przyjmując położenie równoległe do zmienionego wektora momentu pędu I+ΔI. Jeżeli przy tym moment siły D będzie stale prostopadły do osi Żyroskopu. Zachowując stałą wartość bezwzględną, oś żyroskopu będzie obracać się w płaszczyźnie poziomej. Taki ruch jest przykładem ruchu precesyjnego.

9. Przeanalizować ruch koła rowerowego na zakręcie.

Zasada zachowania momentu pędu – jeżeli moment siły działającej na poruszający się pkt. Materialny jest równy zeru względem pewnego pkt. w przestrzeni to moment pędu ciała względem tego samego punktu w przestrzeni jest stały. M=dL/dt. Ze wzoru tego wynika, że jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem nieruchomej osi obrotu bryły jest równy zeru, to moment pędu bryły względem tej osi obrotu nie zmieni się podczas ruchu. M=0 to dL/dt = 0 ; L=const;

10. Transformacja Galileusza i wynikające z niej wnioski.

Przekształcenie wiążące współrzędne punktu materialnego w dwu różnych układów współrzędnych związanych z inercjalnymi układami odniesienia poruszającymi się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Jeżeli układ u’ porusza się względem układu u z prędkością v₀ to przekształcenie Galileusza można zapisać tak r=r₀+r’+v₀t, gdzie r – promień wodzący punktu matrialnego w układzie u, r’ – promień wodzący punktu materialnego w ukadzie u’,r₀ – wektor łączący w chwili t=0 od której liczymy czas.

Mechanika klasyczna oparta jest na założeniu, że czas ma charakter „absolutny” i płynie jednakowo na wszystkich układach odniesienia. Prawa fizyki są INWARIANTNE względem transformacji Galileusza tzn. nie zmieniają się przy przechodzeniu między układu inercjalnego.

11. Twierdzenie o osiach równoległych (Schteinera).

Moment bezwładności I₀ bryły względem osi obrotu nie przechodzącej przez środek masy tej bryły jest równy sumie momentów bezwładności, I_s bryły względem osi przechodzącej przez jej środek masy oraz momentu bezwładności m(OS)² środka masy tej bryły względem osi obrotu. I­₀=I_s+m(OS)² ; m – masa bryły; OS odległość środka masy bryły od osi obrotu.

Prawo Steinera można sprawdzić na przykładie pręta

12. Ruch harmoniczny

Przykładem ruchu niejednostajnego zmiennego jest ruch harmoniczny. Jest to ruch drgający okresowy charakteryzujący się tym, że jego kinematyczne równanie ruchu jest określone przez funkcję sinusoidalną i ma postać X=X₀sin(wt+ f₀). X₀ – amplituda ruchu harmonicznego. Wielkość ta, zawsze dodatnia, jest równa maksymalnej wartości współrzędnej X określając położenie ciała w ruchu harmonicznym. (wt+ f₀) - faza ruchu harmonicznego. Faza określa wartość współrzędnej ciała w ruchu harmonicznym w danej chwili. Jest to argument funkcji sinusoidalnej występującej w kinematycznym równaniu ruchu harmonicznego, f₀ - faza początkowa ruchu harmonicznego. Określa ona położenie ciała w ruchu harmonicznym w chwili t=0. Gdy np. f₀=p/2, wtedy kinematyczne równanie ruchu harmonicznego przyjmuje postaci X=X₀cos(wt)

w - częstość kołowa ruchu harmonicznego. Wielkość ta określa prędkość zmiany fazy w funkcji czasu. Prędkość kątowa określa zmianę w czasie kąta obrotu bryły, a częstość kołowa określa zmianę w czasie kąta fazowego drgań harmonicznych.

Istotną cechą ruchu harmonicznego jest występowanie w kinematycznym równaniu ruchu funkcji sinusoidalnej, a nie charakter wielkości kinematycznej – współrzędne czy kąt określający położenie ciała drgającego.

w_a=a₀w_fcos(w_ft+f₀); v=v₀cos(wt+f₀); a=-a₀sin(wt+f₀)=-w²x.

13 Wahadło matematyczne i fizyczne w kontekście ruchu harmonicznego

Współczynnik proporcjonalności między siłą sprężystą i wychyleniem ciężarka z położenia równowagi , K=K_wS/l_p liczbowo równy sile wywołującej wydłużenie sprężyny o jednostkę długości, nazywać będziemy współczynnikiem sprężystości sprężyny. F_S=-k*x – siła sprężystości jest wprost proporcjonalna do do wydłużenia ciała i jest przeciwnie do tego wydłużenia zwrócona. Dynamiczne równanie ruchu ma postać : -k*x=m*a, x- wychylenie ciała z położenia równowagi, a=-(k/m)*x. Stąd okres drgań : w₀=(k/m)^1/2, T=2Pj₀

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na długiej nierozciągliwej i nieważkiej nitce. Siłę ciężkości działającą na ten punkt rozkładamy na dwie składowe – równoległą i prostopadłą do nitki. Składowa prostopadła jest bezpośrednią przyczyną drgań tego wahadła. Drgania wahadła są wywołane przez siłę proporcjonalną do wychylenia i przeciwnie do tego wychylenia zwróconą. Dla małych kątów j odległość x jest równa wychyleniu wahadła z położenia równowagi, a zatem okres drgań tego wahadła jest zgodna ze wzorem T=2P(l/g)^1/2.

Wahadłem fizycznym nazywamy bryłę sztywną wahającą się wokół osi obrotu nie przechodzącą przez środek jej masy. Dynamiczne równanie ruchu ma postać –m*g*r*sin(j)=I_E, dla małych kątów równanie piszemy w postaci m*g*r*j=I_E Okres drgań wahadła fizycznego wynosi T=(I/m*g*r)^1/2. Jak widać na okres drgań wahadła fizycznego mają wpływ moment bezwładności bryły względem osi obrotu oraz odległość środka masy tej bryły od osi obrotu

14 Energia w ruchu harmonicznym

Można wyrazić energię kinetyczną w ruchu harmonicznym w następujący sposób (przy założeniu że j₀=0) K=(m/2)* w²x₀²cos²wt. Ciało drgające znajduje się w położeniu równowagi w chwilach t=0 i t₁=P/2 gdzie t jest okresem drgania . Energia kinetyczna w chwili t=0 jest równa

Po upływie połowy okresu ciało znajduje się ponownie w położeniu równowagi, a jego energia to

Siły sprężystości są siłami zachowawczymi Wzór na energię potencjalną w ruchu harmonicznym

, Całkowita energia mech. w ruchu harm.

W: a) energia mechaniczna w ruchu harm. jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy tego ruchu b) Energia mech. w ruchu harmonicznym jest proporcjonalna do kwadratu częstotliwości tego ruchu .