ZESTAW 1

1. SFORMUŁOWAĆ ANTYNOMIĘ WYRAZU HETEROLOGICZNY, WSKAZAĆ JEJ ŹRÓDŁO I SPOSÓB ROZWIĄZANIA TEJ TRUDNOŚCI.

Autorem antynomii wyrazu ‘heterologiczny’ był Grelling.

Antynomia = sprzeczność wewnętrzna.

Heterologiczny – wyraz ‘w’ jest heterologiczny wtedy i tylko wtedy, gdy ‘w’ nie jest w.

np. Wyraz „kreda” nie jest kredą. Wyraz „rzeczownik” jest rzeczownikiem.

Czy wyraz „heterologiczny” jest heterologiczny?

„Heterologiczny” jest heterologiczny wtw. gdy „heterologiczny” nie jest heterologiczny.

Czyli zapisując podane zdanie jako funkcję: , co oczywiście jest sprzecznością (nie może coś być i jednocześnie nie być).

Dla uniknięcia takich paradoksów należy odróżniać język od metajęzyka oraz przestrzegać zasad samoreferencji (wielopoziomowa struktura języka).

nie wolno mieszać poziomów języka

2. SFORMUŁOWAĆ PROBLEM PEŁNOŚCI KRZ ORAZ UZASADNIĆ, ŻE REGUŁA ODRYWANIA NIE WYPROWADZA POZA ZBIÓR TAUTOLOGII.

- twierdzenie o pełności KRZ

- zbiór jest zamknięty na RO

1. (zał)

2. (zał)

3. (zał)

4. wiersze 1, 2, 3 są sprzeczne

5. (1-4, TDN)

3. ZDEFINIOWAĆ FUNKCJĘ ŁUKASIEWICZA ZA POMOCĄ FUNKCJI SHEFFERA.

p	q	p || q	p | q	p | p	q | q	(p | p) | (q | q)	[(p | p) | (q | q)] | [(p | p) | (q | q)]	↔
1	1	0	0	0	0	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1	0	1
0	1	0	1	1	0	1	0	1
0	0	1	1	1	1	0	1	1

4. KORZYSTAJĄĆ Z TW. O DEDUKCJI, PODAĆ DOWÓD FORMUŁY.

1. (zał)

2. (zał)

3. (zał niewprost)

4. (XXII’, RO) ( )

5. (1, 4, RO)

6. (2, 4, RO)

7. 5 i 6 sprzeczne

8. (1-8, TDN)

ZESTAW 2

1. SCHARAKTERYZOWAĆ ZWIĘŹLE TRÓJWARTOŚCIOWĄ LOGIKĘ ZDAŃ ŁUKASIEWICZA

DETERMINIZM

Zasada przyczynowości Mocny determinizm

(klasyczny determinizm)

Łukasiewicz wyróżnił 3 typy zdarzeń przyszłych:

- pewne (obecnie mają swoje przyczyny);

- wykluczone (obecnie istnieją przyczyny wykluczające);

- niepewne (nie istnieją obecnie ani przyczyny ani przyczyny wykluczające);

oraz 3 rodzaje sądów:

- zdanie prawdziwe (orzeka, że wystąpi zdarzenie pewne [1]);

- zdanie fałszywe (orzeka, że wystąpi zdarzenie wykluczone [0]);

- zdanie niepewne (orzeka, że wystąpi zdarzenie niepewne [½]);

Symbolika beznawiasowa Łukasiewicza = CKAN

p	Np
0	1
½	½
1	0

Negacja

C	0	½	1
0	1	1	1
½	½	1	1
1	0	½	1

Implikacja

A	0	½	1
0	0	½	1
½	½	½	1
1	1	1	1

Alternatywa

K	0	½	1
0	0	0	0
½	0	½	½
1	0	½	1

Koniunkcja

Lp – jest konieczne, że p

Mp – jest możliwe, że p

p	Lp	Mp
0	0	0
½	0	1
1	1	1

2. SFORMUŁOWAĆ ZASADĘ „IM WIĘCEJ ZAŁOŻYMY, TYM WIĘCEJ UDOWODNIMY” ORAZ FORMALNIE JĄ UZASADNIĆ.

- Im więcej założymy, tym więcej udowodnimy

Dowód:

3. SPRAWDZIĆ, ŻE PRAWA DE MORGANA SĄ TAUTOLOGIAMI DWUELEMENTOWEJ ALGEBRY ZDAŃ.

p	q	p q	~(p q)	~ p	~ q	~ p ~ q	↔
1	1	1	0	0	0	0	1
1	0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1
0	0	0	1	1	1	1	1

p	q	p q	~(p q)	~ p	~ q	~ p ~ q	↔
1	1	1	0	0	0	0	1
1	0	1	0	0	1	0	1
0	1	1	0	1	0	0	1
0	0	0	1	1	1	1	1

4. KORZYSTAJĄĆ Z TW. O DEDUKCJI, PODAĆ DOWÓD FORMUŁY.

4’

1. (zał)

2. (A3)

3. (A4)

4. (1, 2, RO)

5. (1, 3, RO)

6. (A5)

7. (5, 6, RO)

8. (4, 7, RO)

9. (1-8, TDW)

4’’ Analogicznie

4

1. 4' (zał)

2. 4" (zał)

3. (A5)

4. (1, 3, RO)

5. (2, 4, RO)

6. (1-5, def , TDW)

ZESTAW 3

1. SFORMUŁOWAĆ NAJWYŻSZE PRAWA MYŚLENIA ARYSTOTELESA

(i) Zasada tożsamości - A=A;

(ii) Zasada sprzeczności:

- wersja ontologiczna – nie może być jakoś i zarazem tak nie być,

- wersja logiczna – piętnuje zdania sprzeczne, nie można twierdzić i zarazem zaprzeczać,

- wersja psychologiczna - nie podobne jest by ktokolwiek był przekonany, że jakoś tam jest a zarazem nie jest.

(iii) Zasada wyłączonego środka – z dwóch zdań sprzecznych min. jedno jest prawdziwe;

2. PODAĆ DEFINICJĘ FUNKCJI KONSEKWENCJI, WYMIENIĆ ZNANE WŁASNOŚCI ORAZ UDOWODNIĆ WYBRANĄ.

n – długość dowodu

A_i – kroki dowodowe

A₁, A₂, ..., A_n – dowód zdania A

Własności Cn:

Dowód wybranej:

3. W ALGEBRZE ZBIORÓW SFORMUŁOWAĆ PRAWA DE MORGANA ORAZ SPRAWDZIĆ JEDNO.

Dowieść jednego:

4. KORZYSTAJĄĆ Z TW. O DEDUKCJI, PODAĆ DOWÓD FORMUŁY.

[za rozwiązanie dziękuję Marcinowi Wątorkowi]

1. (zał)

2. (zał)

3. (tw. pomocnicze)

4. (2, 3, RO)

5. (1, 4, RO)

6. (1-5, TDW)

ZESTAW 4

1. PODAĆ KLASYCZNĄ DEFINICJĘ PRAWDY ARYSTOTELESA I WSKAZAĆ JEJ OGRANICZENIA.

^{„Sąd jest prawdziwy jeśli jest tak jak on głosi” – Arystoteles.}

^{Taki sposób definiowania prawdy posiada jednak pewne ograniczenia, np.:}

^{- zdanie „13. grudnia 1823 roku był bardzo mroźny” jest pewnie prawdziwe, ale jedynie dla niektórych obszarów Ziemii (np. w Afryce zapewne nie było wtedy zimno, ale w Polsce pewnie tak). Przykład pokazuje iż prawdziwość zdania zależy więc od kontekstu.}

^{- zdanie „Zupa pomidorowa jest bardzo smaczna” na pewno jest prawdziwe dla amatorów zupy pomidorowej, jednak dla osób, które nie darzą tej potrawy szczególnym uczuciem, zdanie jest fałszywe. Tak więc prawdziwość zdania zależy również od modelu.}

2. OPISAĆ ALFABET KLASYCZNEGO RACHUNKU PREDYKATÓW. PODANE SYMBOLE ZILUSTROWAĆ PRZYKŁADAMI.

- zmienne indywidualne np. liczby

- stałe indywidualne np. π, e

- symbole funkcyjne (działań) np. +, ·

( -argumentowe)

- symbole relacji (predykatów) np. =, <

( -argumentowe)

- stałe logiczne

- stałe logiczne (symbole kwantyfikatorów)

- stałe dowolne

- zmienne

3. W ALGEBRZE ZBIORÓW SFORMUŁOWAĆ PRAWA ROZDZIELNOŚCI ORAZ SPRAWDZIĆ JEDNO.

Sprawdzić jedno:

4. KORZYSTAJĄĆ Z TW. O DEDUKCJI, PODAĆ DOWÓD FORMUŁY.

1. (zał)

2. (zał)

3. (zał niewprost)

4. (XXII’, RO) ( )

5. (1, 4, RO)

6. (2, 4, RO)

7. 5 i 6 sprzeczne

8. (1-8, TDN)

ZESTAW 5

1. SFORMUŁOWAĆ ANTYNOMIĘ KŁAMCY. WSKAZAĆ JEJ ŹRÓDŁO I SPOSÓB ROZWIĄZANIA.

^{W oryginale paradoks kłamcy brzmiał: „Jeśli kłamca mówi ‘Ja kłamię’ to czy jest kłamcą?”. Próbując rozwiązać problem prawdziwości tego zdania dochodzimy do wniosku iż kłamca jednocześnie kłamie i mówi prawdę. Autorem antynomii jest Epimenides.}

^{Inną wersją paradoksu jest wersja Łukasiewicza, która brzmi: „To zdanie jest fałszywe”, jej rozwiązanie zaproponował Tarski, formułując wielopoziomową strukturę języka:}

^{dla uniknięcia paradoksów należy odróżniać język od metajęzyka oraz przestrzegać zasad samoreferencji}

nie wolno mieszać poziomów języka

2. SFORMUŁOWAĆ ZASADĘ ABSTRAKCJI W POSTACI TWIERDZENIA ORAZ WYKAZAĆ WYBRANĄ TEZĘ.

Każda relacja równoważności, określona w pewnym zbiorze, wyznacza podział na takie zbiory, które są parami rozłączne i w sumie dają cały zbiór.

Twierdzenie:

Niech relacja będzie równoważnością. Wówczas dla dowolnych :

(i)

(ii)

(iii)

Dowód (iii) /nie wprost/:

Hp:

3. ZDEFINIOWAĆ KRESKĘ SHEFFERA ZA POMOCĄ OPERATORA ŁUKASIEWICZA.

p	q	p | q	p || q	p || p	q || q	(p || p) || (q || q)	(p || p) || (q || q)] || [(p || p) || (q || q)]	↔
1	1	0	0	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	0	1	1
0	0	1	1	1	1	0	1	1

4. KORZYSTAJĄĆ Z TW. O DEDUKCJI, PODAĆ DOWÓD FORMUŁY.

4’ (A6)

4’’

1. (zał)

2. (twierdzenie)

3. (2, wł. )

4. (A8)

5. (3, 4, RO)

6. (3, 5, RO)

7. (1-8, TDW)

4

1. 4' (zał)

2. 4" (zał)

3. (A5)

4. (1, 3, RO)

5. (2, 4, RO)

6. (1-5, def , TDW)

ZESTAW 6

1. SCHARAKTERYZOWAĆ ZWIĘŹLE LOGIKĘ JAKO METODĘ U SOKRATESA.

Intelektualizm etyczny – dobro moralne jest źródłem szczęścia. Źródłem zła jest niewiedza. Metody zdobycia wiedzy dzielą się na pozytywne oraz negatywne:

- pozytywne – każdy ma w sobie ukrytą wiedzę, którą należy jedynie wydobyć;

- negatywne – zbijanie argumentów oponenta, dążenie do tego aby nasz rozmówca sam zaprzeczył swoim argumentom, wykazywanie mu jego własnej niewiedzy.

2. OKREŚLIĆ POJĘCIE NIESPRZECZNOŚCI DLA ZBIORU ZDAŃ, WYMIENIĆ ZNANE WŁASNOŚĆI I UZASADNIĆ WYBRANĄ.

~

Własności:

1. jest niesprzeczny

2. podzbiory zbiorów niesprzecznych są niesprzeczne

3. zbiór jest niesprzeczny

Dowód własności 3:

dowód nie wprost

1) (zał. nie wprost)

2) - niesprzeczny (zał)

3) (1, monot. Cn)

4) (wł. Cn)

5) 3 i 4 są sprzeczne z 2

6) (1 – 5, TDN)

dowód nie wprost

1) - sprzeczny (zał. nie wprost)

2) (1, def. nie wprost)

3) (2, TDW)

4) (KRZ, wł. Cn)

5) (3, 4, RO, wł. Cn)

6) sprzeczność

7) (1 – 6, TDW)

3. PODAĆ DEFINICJĘ KRATY ORAZ ZILUSTROWAĆ TO POJĘCIE DOWOLNYM PRZYKŁADEM. SPRAWDZIĆ WYBRANĄ WŁASNOŚĆ.

^{Struktura (A, +, ·) jest kratą, jeśli:}

^{- (A, +) jest półstrukturą addytywną (*)}

^{- (A, ·) jest półstrukturą multiplikatywną}

^{- zachodzą prawa pochłaniania (**)}

^{* (A, +) jest półstrukturą jeśli:}

łączność

przemienność

idempotentność

** Prawa pochłaniania:

Przykładem kraty jest struktura , gdzie:

Sprawdzenie czy jest półstrukturą addytywną:

i)

ii)

iii)

4. KORZYSTAJĄĆ Z TW. O DEDUKCJI, PODAĆ DOWÓD FORMUŁY.

1. (zał)

2. (zał)

3. (zał)

4. (A8)

5. (1, 4, RO)

6. (2, 5, RO)

7. (tw. dodatkowe)

8. (3, 7, RO)

9. (6, 8, RO)

10. (1-9, TDW)

ZESTAW 7

1. ROZWIĄZAĆ ZAGADKĘ

^{Będąc łotrem lub rycerzem stwierdzam:}

^{(1) Lubię zupę pomidorową}

^{(2) Jeśli lubię zupę pomidorową, to lubię kremówkę}

^{Inny zapis zagadki:}

^{p – lubię zupę pomidorową}

^{q – lubię kremówkę}

⁽¹⁾

⁽²⁾

^{Jak wiadomo rycerz zawsze mówi prawdę, zaś łotr zawsze kłamie. Musimy rozważyć dwa przypadki:}

^{· Autor wypowiedzi jest łotrem}

^{A skoro tak to pierwsze wypowiadane zdanie jest fałszywe. Czyli}

^{Drugie zdanie również powinno być fałszywe, jednak tak na pewno nie będzie, gdyż implikacja jest fałszywa tylko i wyłącznie wtedy gdy pierwsze zdanie jest prawdziwe, zaś drugie fałszywe. Pierwsze zdanie w tym konkretnym przypadku jest fałszywe więc cała implikacja jest prawdziwa.}

^{Stąd wniosek iż autorem wypowiedzi nie jest łotr a rycerz. Sprawdźmy to:}

^{· Autor wypowiedzi jest rycerzem.}

^{A jeśli tak to pierwsze wypowiadane przez niego zdanie jest prawdą. Czyli}

^{Drugie zdanie będzie prawdziwe jeśli , co oczywiście jest możliwe.}

^{Odpowiedź: autor wypowiedzi to rycerz.}

2. PODAĆ DEFINICJĘ FUNKCJI KONSEKWENCJI, WYMIENIĆ ZNANE WŁASNOŚCI ORAZ UDOWODNIĆ WYBRANĄ.

n – długość dowodu

A_i – kroki dowodowe

A₁, A₂, ..., A_n – dowód zdania A

Własności Cn:

Dowód wybranej:

3. SCHARAKTERYZOWAĆ SYSTEM ALGEBRAICZNO-RELACYJNY JAKO MODEL JĘZYKA KRP. OBJAŚNIĆ SYMBOLIKĘ.

Nie potrafię rozwiązać.

4. UDOWODNIĆ, ŻE FORMUŁA JEST TWIERDZENIEM KRZ, ORAZ SFORMUŁOWAĆ ZASTOSOWANE TWIERDZENIE O DEDUKCJI.

1. (A3)

2. (A4)

3. (A9)

4. (1, 3, RO)

5. (2, 4, RO)

6. (1-5, TDW)

Twierdzenie o dedukcji wprost:

ZESTAW 8

1. ZAPISAĆ ZDANIE Z WYKORZYSTANIEM ZWROTÓW WARUNEK KONIECZNY ORAZ WARUNEK WYSTARCZAJĄCY.

^{„Jeśli dziś jest 4 grudnia to Barbara ma imieniny”.}

^{WK możemy zapisać jako implikację , gdzie q jest warunkiem koniecznym.}

^{WW możemy zapisać jako implikację , gdzie p jest warunkiem wystarczającym.}

^{Zdanie „Jeśli dziś jest 4 grudnia to Barbara ma imieniny” również zapisujemy w postaci implikacji , gdzie:}

^{p := „dziś jest 4 grudnia”}

^{q := „Barbara ma imieniny”}

^{Tak więc podstawiając p oraz q do definicji WK oraz WW otrzymujemy:}

^{„Warunkiem koniecznym aby dziś był 4 grudnia są imieniny Barbary”}

^{„Warunkiem wystarczającym aby Barbara miała dziś urodziny jest 4 grudnia”}

2. W ALGEBRZE ZBIORÓW SFORMUŁOWAĆ I SPRAWDZIĆ PRAWA POCHŁANIANIA.

Sprawdzić oba:

3. SFORMUŁOWAĆ ANTYNOMIĘ KŁAMCY. WSKAZAĆ JEJ ŹRÓDŁO I SPOSÓB ROZWIĄZANIA.

^{W oryginale paradoks kłamcy brzmiał: „Jeśli kłamca mówi ‘Ja kłamię’ to czy jest kłamcą?”. Próbując rozwiązać problem prawdziwości tego zdania dochodzimy do wniosku iż kłamca jednocześnie kłamie i mówi prawdę. Autorem antynomii jest Epimenides.}

^{Inną wersją paradoksu jest wersja Łukasiewicza, która brzmi: „To zdanie jest fałszywe”, jej rozwiązanie zaproponował Tarski, formułując wielopoziomową strukturę języka:}

^{dla uniknięcia paradoksów należy odróżniać język od metajęzyka oraz przestrzegać zasad samoreferencji}

nie wolno mieszać poziomów języka

4. UDOWODNIĆ, ŻE FORMUŁA JEST TWIERDZENIEM KRZ, ORAZ SFORMUŁOWAĆ ZASTOSOWANE TWIERDZENIE O DEDUKCJI.

4’ (A6)

4’’

1. (zał)

2. (twierdzenie)

3. (2, wł. )

4. (A8)

5. (3, 4, RO)

6. (3, 5, RO)

7. (1-8, TDW)

4

1. 4' (zał)

2. 4" (zał)

3. (A5)

4. (1, 3, RO)

5. (2, 4, RO)

6. (1-5, def , TDW)

Twierdzenie o dedukcji wprost:

ZESTAW 9

1. UZUPEŁNIĆ ZDANIE ORAZ OCENIĆ JEGO PRAWDZIWOŚĆ.

Jeśli aksjomat (A9) KRZ ma postać ..............., to w trójwartościowej logice zdań Łukasiewicza alternatywa zdania wątpliwego i prawdziwego jest zdaniem wątpliwym.

Na początku należy uzupełnić lukę postacią aksjomatu 9:

Następnie zdanie zapisujemy w postaci

, gdzie:

p = „aksjomat (A9) KRZ ma postać ”

q = „w trójwartościowej logice zdań Łukasiewicza alternatywa zdania wątpliwego i prawdziwego jest zdaniem wątpliwym”

Zdanie p jest prawdziwe ( ).

W trójwartościowej logice zdań Łukasiewicza alternatywa zdania wątpliwego i prawdziwego jest zdaniem prawdziwym ( ), więc całe zdanie q jest fałszywe ( ).

Podsumowując: . A zgodnie z własnościami implikacji z prawdy nie może wynikać fałsz. Zdanie jest więc fałszywe.

Drugi sposób: jeśli w miejsce kropek wstawimy cokolwiek, np. „Jeśli aksjomat (A9) KRZ ma postać różowego słonia” to otrzymamy zdanie fałszywe ( ). Wtedy cała implikacja przyjmie postać i zgodnie ze swoimi własnościami będzie zdaniem prawdziwym. Wydaje mi się, że jest to ciekawsze rozwiązanie, pokazuje profesorowi, że na prawdę rozumiecie KRZ J.

2. PRZEDSTAWIĆ I OCENIĆ WYBRANY PARADOKS ZENONA Z ELEI.

^{Zenon z Elei jest autorem min. paradoksu o strzale:}

^{Wystrzelona z łuku strzała w każdym momencie swego lotu jest w jakimś miejscu. W każdym momencie posiada jakieś położenie. W każdej pojedynczej chwili jest w stanie spoczynku. Skoro tak to suma tych chwil nie może dać ruchu, a jednak strzała leci.}

3. PODAĆ INTERPRETACJĘ ALFABETU AlfKRP

Nie było na wykładzie.

4. UDOWODNIĆ, ŻE FORMUŁA JEST TWIERDZENIEM KRZ, ORAZ SFORMUŁOWAĆ ZASTOSOWANE TWIERDZENIE O DEDUKCJI.

1. (zał)

2. (A3)

3. (A4)

4. (1, 2, RO)

5. (1, 3, RO)

6. (pr. de Morgana)

7. (5, 6, RO)

8. (A3)

9. (A4)

10. (7, 8, RO)

11. (7, 9, RO)

12. (A5)

13. (4, 12, RO)

14. (10, 13, RO)

15. (A5)

16. (14, 15, RO)

17. (11, 16, RO)

18. (1-17, TDW)

Twierdzenie o dedukcji wprost:

ZESTAW 10

1. OCENIĆ PRAWDZIWOŚĆ ZDANIA.

[za rozwiązanie dziękuję heiliger’owi]

Jeśli podzbiory niesprzecznych zbiorów zdań są niesprzeczne, to każda krata jest algebra Boole’a.

Zdanie zapisujemy w postaci

, gdzie:

p = „podzbiory niesprzecznych zbiorów zdań są niesprzeczne”

q = „każda krata jest algebra Boole’a”

Na podstawie własności niesprzeczności zbiorów zdań wiemy, że zdanie p jest prawdziwe ( ).

Wiemy, że algebrą Boole’a jest krata rozdzielcza z określonymi działaniami jednoargumentowymi oraz zeroargumentowymi, a także wyróżnionymi elementami. Istnieje więc krata, która nie jest algebrą Boole’a. Zdanie q jest więc fałszywe ( ).

Podsumowując: . A zgodnie z własnościami implikacji z prawdy nie może wynikać fałsz. Zdanie jest więc fałszywe.

2. SFORMUŁOWAĆ ANTYNOMIĘ WYRAZU HETEROLOGICZNY, WSKAZAĆ JEJ ŹRÓDŁO I SPOSÓB ROZWIĄZANIA TEJ TRUDNOŚCI.

Autorem antynomii wyrazu ‘heterologiczny’ był Grelling.

Antynomia = sprzeczność wewnętrzna.

Heterologiczny – wyraz ‘w’ jest heterologiczny wtedy i tylko wtedy, gdy ‘w’ nie jest w.

np. Wyraz „kreda” nie jest kredą. Wyraz „rzeczownik” jest rzeczownikiem.

Czy wyraz „heterologiczny” jest heterologiczny?

„Heterologiczny” jest heterologiczny wtw. gdy „heterologiczny” nie jest heterologiczny.

Czyli zapisując podane zdanie jako funkcję: , co oczywiście jest sprzecznością (nie może coś być i jednocześnie nie być).

Dla uniknięcia takich paradoksów należy odróżniać język od metajęzyka oraz przestrzegać zasad samoreferencji (wielopoziomowa struktura języka).

nie wolno mieszać poziomów języka

3. SFORMUŁOWAĆ PROBLEM PEŁNOŚCI KRZ ORAZ UZASADNIĆ, ŻE REGUŁA ODRYWANIA NIE WYPROWADZA POZA ZBIÓR TAUTOLOGII.

- twierdzenie o pełności KRZ

- zbiór jest zamknięty na RO

1. (zał)

2. (zał)

3. (zał)

4. wiersze 1, 2, 3 są sprzeczne

5. (1-4, TDN)

4. UDOWODNIĆ, ŻE FORMUŁA JEST TWIERDZENIEM KRZ, ORAZ SFORMUŁOWAĆ ZASTOSOWANE TWIERDZENIE O DEDUKCJI.

1. (zał)

2. (A3)

3. (A4)

4. (1, 2, RO)

5. (1, 3, RO)

6. (A3)

7. (A4)

8. (4, 6, RO)

9. (4, 7, RO)

10. (A5)

11. (9, 10, RO)

12. (5, 11, RO)

13. (pr, de Morgana)

14. (12, 13, RO)

15. (A5)

16. (8, 15, RO)

17. (14, 16, RO)

18. (1-17, TDW)

Twierdzenie o dedukcji wprost:

ZESTAW 11

1. SPRAWDZIĆ, ŻE AKSJOMATY KRZ CHARAKTERYZUJĄCE ALTERNATYWĘ SĄ TAUTOLOGIAMI DWUELEMENTOWEJ ALGEBRY ZDAŃ.

Aksjomaty charakteryzujące alternatywę:

A6)

A7)

A8)

Aksjomat 7 ( )

p	q	p q
1	1	1	1
1	0	1	1
0	1	1	1
0	0	0	1

Aksjomat 6 ( )

p	q	p q
1	1	1	1
1	0	1	1
0	1	1	1
0	0	0	1

Aksjomat 8 ( )

p	q	r	p r	q r	p q	(p q) r	(q r) [(p q) r]
1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1	0	1	1
1	0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	1	0	1	1
0	0	1	1	1	0	1	1	1
0	0	0	1	1	0	1	1	1

2. SFORMUŁOWAĆ PRAWA ROZDZIELANIA MAŁEGO KWANTYFIKATORA WZGLĘDEM KONIUNKCJI ORAZ PODAĆ KONTRPRZYKŁAD NA ODWROTNĄ IMPLIKACJĘ.

Kontrprzykład:

prawda

fałsz

czyli: taka implikacja jest fałszywa, z prawdy nie może wynikać fałsz.

3. SCHARAKTERYZOWAĆ ZWIĘŹLE TRÓJWARTOŚCIOWĄ LOGIKĘ ZDAŃ ŁUKASIEWICZA

DETERMINIZM

Zasada przyczynowości Mocny determinizm

(klasyczny determinizm)

Łukasiewicz wyróżnił 3 typy zdarzeń przyszłych:

- pewne (obecnie mają swoje przyczyny);

- wykluczone (obecnie istnieją przyczyny wykluczające);

- niepewne (nie istnieją obecnie ani przyczyny ani przyczyny wykluczające);

oraz 3 rodzaje sądów:

- zdanie prawdziwe (orzeka, że wystąpi zdarzenie pewne [1]);

- zdanie fałszywe (orzeka, że wystąpi zdarzenie wykluczone [0]);

- zdanie niepewne (orzeka, że wystąpi zdarzenie niepewne [½]);

Symbolika beznawiasowa Łukasiewicza = CKAN

p	Np
0	1
½	½
1	0

Negacja

C	0	½	1
0	1	1	1
½	½	1	1
1	0	½	1

Implikacja

A	0	½	1
0	0	½	1
½	½	½	1
1	1	1	1

Alternatywa

K	0	½	1
0	0	0	0
½	0	½	½
1	0	½	1

Koniunkcja

Lp – jest konieczne, że p

Mp – jest możliwe, że p

p	Lp	Mp
0	0	0
½	0	1
1	1	1

4. UDOWODNIĆ, ŻE FORMUŁA JEST TWIERDZENIEM KRZ, ORAZ SFORMUŁOWAĆ ZASTOSOWANE TWIERDZENIE O DEDUKCJI.

4’ (A6)

4’’

1. (zał)

2. (twierdzenie)

3. (2, wł. )

4. (A8)

5. (3, 4, RO)

6. (3, 5, RO)

7. (1-8, TDW)

4

1. 4' (zał)

2. 4" (zał)

3. (A5)

4. (1, 3, RO)

5. (2, 4, RO)

6. (1-5, def , TDW)

Twierdzenie o dedukcji wprost:

ZESTAW 12

1. ZDEFINIOWAĆ FUNKCJĘ ŁUKASIEWICZA ZA POMOCĄ FUNKCJI SHEFFERA.

p	q	p || q	p | q	p | p	q | q	(p | p) | (q | q)	[(p | p) | (q | q)] | [(p | p) | (q | q)]	↔
1	1	0	0	0	0	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1	0	1
0	1	0	1	1	0	1	0	1
0	0	1	1	1	1	0	1	1

2. OPISAĆ ALFABET I ZBIÓR TERMÓW KLASYCZNEGO RACHUNKU PREDYKATÓW. PODANE SYMBOLE ZILUSTROWAĆ PRZYKŁADAMI.

- zmienne indywidualne np. liczby

- stałe indywidualne np. π, e

- symbole funkcyjne (działań) np. +, ·

( -argumentowe)

- symbole relacji (predykatów) np. =, <

( -argumentowe)

- stałe logiczne

- stałe logiczne (symbole kwantyfikatorów)

- stałe dowolne

- zmienne

Term to formuła kategorii nazwowej, najmniejszy zbiór spełniający warunki:

1) termami są zmienne indywidualne

2) termami są stałe indywidualne

3)

3. SFORMUŁOWAĆ ZASADĘ ABSTRAKCJI W POSTACI TWIERDZENIA ORAZ WYKAZAĆ 3 TEZĘ.

Każda relacja równoważności, określona w pewnym zbiorze, wyznacza podział na takie zbiory, które są parami rozłączne i w sumie dają cały zbiór.

Twierdzenie:

Niech relacja będzie równoważnością. Wówczas dla dowolnych :

(i)

(ii)

(iii)

Dowód (iii) /nie wprost/:

Hp:

4. UDOWODNIĆ, ŻE FORMUŁA JEST TWIERDZENIEM KRZ, ORAZ SFORMUŁOWAĆ ZASTOSOWANE TWIERDZENIE O DEDUKCJI.

4’.

1. (zał)

2. (zał)

3. (zał niewprost)

4. (XXII’, RO) ( )

5. (1, 4, RO)

6. 2 i 5 sprzeczne

7. (1-6, TDN)

4’’.

1. (zał)

2. (zał)

3. (zał niewprost)

4. (1, 3, RO)

5. 2 i 4 sprzeczne

6. (1-5, TDN)

4

1. 4' (zał)

2. 4" (zał)

3. (A5)

4. (1, 3, RO)

5. (2, 4, RO)

6. (1-5, def , TDW)

Twierdzenie o dedukcji niewprost:

ZESTAW 13

1. SCHARAKTERYZOWAĆ ZWIĘŹLE HIERARCHICZNĄ BUDOWĘ WIEDZY ARYSTOTELESA.

^{Wiedza dzieli się na pojęcia i sądy. Poprawne posługiwanie się pojęciami to definiowanie, sądami to dowodzenie. Aby określić jakiekolwiek pojęcie, należy odnieść je do rodzaju bliższego: Definicja = rodzaj bliższy + różnica struktur, np. człowiek = istota żywa + rozumna. Hierarchia pojęć zmierza do tzw. absolutu lub pierwszej przyczyny.}

^{Dowód sądu polega na odnalezieniu dla niego racji, np. Sokrates to człowiek i każdy człowiek jest śmiertelny. Wniosek: Sokrates jest śmiertelny.}

^Hierarchie

^{Pojęcia Sądy}

ogólność

^{.............. ..............}

^{.............. ..............}

^{.............. ..............}

^{.............. ..............}

2. PODAĆ OPIS AKSJOMATYCZNY ZBIORU TWIERDZEŃ KRZ.

Zbiór jest najmniejszym zbiorem spełniającym warunki:

A1)

A2)

A3)

A4)

A5)

A6)

A7)

A8)

A9)

3. ZDEFINIOWAĆ KONIUNKCJĘ I ALTERNATYWĘ ZA POMOCĄ FUNKCJI ŁUKASIEWICZA.

Alternatywa

p	q	p q	p || q	(p || q) || (p || q)	↔
1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1
0	1	1	0	1	1
0	0	0	1	0	1

Koniunkcja

p	q	p q	p || q	p || p	q || q	(p || p) || (q || q)	↔
1	1	1	0	0	0	1	1
1	0	0	0	0	1	0	1
0	1	0	0	1	0	0	1
0	0	0	1	1	1	0	1

4. KORZYSTAJĄĆ Z TW. O DEDUKCJI, PODAĆ DOWÓD FORMUŁY.

1. (zał)

2. (zał)

3. (A1)

4. (2, 3, RO)

5. (1, 4, RO)

6. (1-5, TDN)

ZESTAW 14

1. PRZEDSTAWIĆ I OCENIĆ WYBRANY PARADOKS ZENONA Z ELEI.

^{Zenon z Elei jest autorem min. paradoksu o strzale:}

^{Wystrzelona z łuku strzała w każdym momencie swego lotu jest w jakimś miejscu. W każdym momencie posiada jakieś położenie. W każdej pojedynczej chwili jest w stanie spoczynku. Skoro tak to suma tych chwil nie może dać ruchu, a jednak strzała leci.}

2. SFORMUŁOWAĆ ZASADĘ ABSTRAKCJI W POSTACI TWIERDZENIA ORAZ WYKAZAĆ 3 TEZĘ.

Każda relacja równoważności, określona w pewnym zbiorze, wyznacza podział na takie zbiory, które są parami rozłączne i w sumie dają cały zbiór.

Twierdzenie:

Niech relacja będzie równoważnością. Wówczas dla dowolnych :

(i)

(ii)

(iii)

Dowód (iii) /nie wprost/:

Hp:

3. ZDEFINIOWAĆ KONIUNKCJĘ I ALTERNATYWĘ ZA POMOCĄ FUNKCJI SHEFFERA

Koniunkcja

p	q	p q	p | q	(p | q) | (p | q)	↔
1	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	1
0	1	0	1	0	1
0	0	0	1	0	1

Alternatywa

p	q	p q	p | q	p | p	q | q	(p | p) | (q | q)	↔
1	1	1	0	0	0	1	1
1	0	1	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	0	1	1
0	0	0	1	1	1	0	1

4. UDOWODNIĆ, ŻE FORMUŁA JEST TWIERDZENIEM KRZ, ORAZ SFORMUŁOWAĆ ZASTOSOWANE TWIERDZENIE O DEDUKCJI.

1. (zał)

2. (zał niewprost)

3. (A9.2)

4. (2, 3, RO)

5. (1, 4, RO)

6. 2 i 5 sprzeczne

7. (1-6, TDN)

Twierdzenie o dedukcji nie wprost:

ZESTAW 15

1. SCHARAKTERYZOWAĆ ZWIĘŹLE HIERARCHICZNĄ BUDOWĘ WIEDZY ARYSTOTELESA.

^{Wiedza dzieli się na pojęcia i sądy. Poprawne posługiwanie się pojęciami to definiowanie, sądami to dowodzenie. Aby określić jakiekolwiek pojęcie, należy odnieść je do rodzaju bliższego: Definicja = rodzaj bliższy + różnica struktur, np. człowiek = istota żywa + rozumna. Hierarchia pojęć zmierza do tzw. absolutu lub pierwszej przyczyny.}

^{Dowód sądu polega na odnalezieniu dla niego racji, np. Sokrates to człowiek i każdy człowiek jest śmiertelny. Wniosek: Sokrates jest śmiertelny.}

^Hierarchie

^{Pojęcia Sądy}

ogólność

^{.............. ..............}

^{.............. ..............}

^{.............. ..............}

^{.............. ..............}

2. SFORMUŁOWAĆ PRAWO ROZDZIELNOŚCI DUŻEGO KWANTYFIKATORA WZGLĘDEM ALTERNATYWY I PODAĆ KONTRPRZYKŁAD NA ODWROTNĄ IMPLIKACJĘ.

Kontrprzykład:

prawda

fałsz

czyli: taka implikacja jest fałszywa, z prawdy nie może wynikać fałsz.

3. PODAJ DEFINICJĘ FUNKCJI KONSEKWENCJI ORAZ WYKAŻ, ŻE „IM WIĘCEJ ZAŁOŻYMY, TYM WIĘCEJ UDOWODNIMY”.

n – długość dowodu

A_i – kroki dowodowe

A₁, A₂, ..., A_n – dowód zdania A

- Im więcej założymy, tym więcej udowodnimy

Dowód:

4. UDOWODNIĆ, ŻE FORMUŁA JEST TWIERDZENIEM KRZ, ORAZ SFORMUŁOWAĆ ZASTOSOWANE TWIERDZENIE O DEDUKCJI.

1. (zał)

2. (zał)

3. (zał niewprost)

4. (XXII’, RO) ( )

5. (A3)

6. (A4)

7. (2, 3, RO)

8. (2, 4, RO)

9. (A5)

10. (7, 9, RO)

11. (4, 10, RO)

12. (1, 11, RO)

13. 8 i 12 sprzeczne

14. (1-13, TDN)

Twierdzenie o dedukcji niewprost:

ZESTAW 16 (WYMIENNY)

1. ZAPISAĆ ZDANIE JAKO WK I WW.

^{Jeśli egzamin z logiki jest przyjemny, to zainteresuję się nim ponownie w terminie poprawkowym.}

Zdanie zapisujemy w postaci

, gdzie:

p = „egzamin z logiki jest przyjemny”

q = „zainteresuję się nim ponownie w terminie poprawkowym”

WK zapisujemy jako i czytamy: warunkiem koniecznym p jest q.

WW zapisujemy jako i czytamy: warunkiem wystarczającym q jest p.

Podstawiając do gotowych przepisów:

Warunkiem koniecznym przyjemności egzaminu z logiki jest zainteresowanie się nim ponownie w terminie poprawkowym.

Warunkiem wystarczającym zainteresowania się egzaminem z logiki w terminie poprawkowym jest to aby był on przyjemny.

2. UZUPEŁNIĆ ZDANIE ORAZ OCENIĆ JEGO PRAWDZIWOŚĆ.

Jeśli aksjomat (A2) KRZ ma postać ..............., to w logice intuicjonistycznej spełnione jest prawo podwójnego zaprzeczenia.

Zadanie rozwiążemy „na sposób”. Na początku należy uzupełnić lukę czymkolwiek, np.: Jeśli aksjomat (A2) KRZ ma postać lodów na patyku,...

Następnie zdanie zapisujemy w postaci

, gdzie:

p = „aksjomat (A2) KRZ ma postać lodów na patyku”

q = „w logice intuicjonistycznej spełnione jest prawo podwójnego zaprzeczenia”.

Zdanie p jest oczywiście nieprawdziwe ( ), a z fałszu może wynikać wszystko. Implikacja jest prawdziwa, całe zdanie jest prawdziwe.

3. OCENIĆ PRAWDZIWOŚĆ ZDANIA ORAZ PODAĆ PEŁNE UZASADNIENIE.

Jeśli wczoraj był wtorek, to TDW jest równoważne aksjomatowi A9.

Zdanie zapisujemy w postaci

, gdzie:

p = „wczoraj był wtorek”

q = „TDW jest równoważne aksjomatowi A9”.

Jeśli nie piszecie egzaminu w środę to sprawa prosta – zdanie p jest fałszem ( ), a z fałszu może wynikać cokolwiek. Cała implikacja jest więc prawdziwa.

Ale jeśli piszecie egzamin w środę, lub profesor podmieni dzień tygodnia żeby utrudnić nam życie, to zdanie p jest oczywiście prawdziwe ( ).

TDW jest równoważne aksjomatom (A1) oraz (A2), więc zdanie q jest fałszywe ( ).

Podsumowując: . A zgodnie z własnościami implikacji z prawdy nie może wynikać fałsz. Zdanie jest więc fałszywe.