rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka


prostokątny:

r(t)=x(t) n^x+y(t) n^y+z(t) n^z

v(t)=dr/dt=x (t) n^x+y (t) n^y+z(t) n^z

|v|=sqrt((x)2+(y)2+(z)2)

a=dv/dt=d2r/dt2=x(t) n^x+y(t) n^y+z(t) n^z

|a|=sqrt((x)2+(y)2+(z)2)

walcowy: (ρ prom. cyl.; ϕ(xoz,zop); zwys.)

r(t)=ρn^ρ ϕn^ϕ

v(t)=dr/dt=ρ n^ρ+p n^ρ+z n^z

n^ρ=n^x cosϕ+n^y sinϕ

n^ϕ=n^x sinϕ+n^y cosϕ

n^ρ=n^x sinϕ ϕ+n^y cosϕ ϕ = ϕ n^ϕ

n^ϕ=n^x cos ϕ ϕn^y sin ϕ ϕ = ϕn^ρ

v n^ρ+ρ ϕ n^ϕ + z n^z

|v|=sqrt((ρ)2+(ρ ϕ)2+(z)2)

a=dv/dt=ρ n^ρ ϕ n^ϕ+ρ ϕ n^ϕ +ρ ϕn^ϕ+zn^z=n^ρ p(ϕ)2) + n^ϕ(2ρ ϕ+ρ ϕ)+n^z z

|a|=sqrt(ϕρ(ϕ)2)2+(2ρ ϕ+ρ ϕ)2+(z)2)

dla ρ=R=const; ϕ= t, =const; z=0

mamy r(t)=R n^ρ v(t)= R n^ϕ a(t)=2 R n^ρ

sferyczny: (r,ϕ,θ zgodnie z rys str. 11)

n^r=sin θ (cos ϕ n^x+sin ϕ n^y)+ cos θ n^z

n^ϕ=sin ϕ n^x+cos ϕ n^y

n^θ=cos θ(cos ϕ n^y+sin n^y)sin θ n^z

r(t)=r n^r

v(t)= dr/dt=rn^r+r n^r

n^r=cos θ θ(cos ϕ n^x+sin ϕ n^y)+sin θ(sin ϕ ϕn^x+cos ϕ ϕn^y)sin θ θn^z = θn^θ +sin θ ϕn^ϕ

n^ϕ=cos ϕ ϕn^xsin ϕ ϕn^y=sin θ ϕn^rcos θ ϕ n^θ

n^θ=−sin θ θ(cos ϕ n^x+sin ϕ n^y)cos θ θn^z +cos θ(sin ϕ ϕn^xcos ϕ ϕ n^y)=θn^r+cos θ ϕn^ϕ

v=rn^r+r(θ n^θ+sin θ ϕ n^ϕ)=rn^r+sin θ r ϕn^ϕ+r θn^θ

a=dv/dt=rn^r+rn^r+cos θ θ r ϕ n^ϕ+sin θ r ϕn^ϕ+sin θ r ϕ n^ϕ+sin θ r ϕ n^ϕ+rθn^θ+r θn^θ+r θn^θ

dla ρ=R=const; ϕ= t, =const; θ= π/2

mamy v(t)= R n^ϕ a(t)=2 R n^r

normalny:

v(t)=dr/dt=ν n^ν

n^ν =v/ν =(dr/dt) / |dr/dt|

n^n =(dn^ν/dt) / |dn^ν/dt|

n^ν n^ν =1 ; (dn^ν/dt) n^ν+n^ν (dn^ν/dt)=0

(dn^ν/dt) n^ν=0 ; n^b=n^ν × n^n

v=ν n^ν

an^ν+ν n^νn^ν+ν n^n |dn^ν/dt|

R=ν/| dn^ν/dt|

an^ν+(ν2 /R)n^n

zz pędu:

dp/dt=m(dv/dt)=ma=F

jeśli F=0 to p=const

jeśli Fα=0 to pα=const

zz momentu pędu:

M=r × p

dM/dt=dr/dr × p + r × dp/dt = r × F = L

{ dr/dr × p =0 gdyż v || p } {L  moment siły}

zz energii: {rys. str. 24}

δA=Fdr=|F||dr|cos α {δA - praca}

F(r)=(Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z))

(1) δA= Fx(x,y,z)dx+Fy(x,y,z)dy+Fz(x,y,z)dz

P=δA/dt {Pmoc}

P=(F dr)/dt=F v {z def δA}

F=m dv/dt

P=mv dv/dt {stąd ↑ ↑ }

T=m ν2/2 {Tenergia kinetyczna}

dT/dt=mv dv/dt

d/dt(ν2)=d/dt(v v)=v (dv/dt) + (dv/dt) v =2v dv/dt

P=δA/dt=dT/dt

δA=dT {po pomnożeniu ↑ przez dt}

z (1) dU=(∂U(x,y,z)/∂x)dx+(∂U(x,y,z)/∂y)dy+(∂U(x,y,z)/∂z)dz

aby δA=dU to:

Fx(x,y,z)= (∂U(x,y,z)/∂x)dx

Fy(x,y,z)= (∂U(x,y,z)/∂y)dy tylko gdy F potencjalna

Fz(x,y,z)= (∂U(x,y,z)/∂z)dz

F=grad U {to samo ↑}

grad U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z)

rot F= |...|=0 to potencjalna

dowód:

gdy Fα=∂U/∂α α∈[x,y,z] to ↓

2U/∂y∂x=∂2U/∂x∂y, ∂2U/∂z∂x=∂2U/∂x∂z, ∂2U/∂y∂z=∂2U/∂z∂y

∂Fx/∂y=∂Fy/∂x, ∂Fx/∂z=∂Fz/∂x, ∂Fz/∂y=∂Fy/∂z => rot F=0

δA =dU {czy istnieje takie ← U aby ←}

δA=dT {z drugiej zaś strony}

δA=dT=dU {zatem ← albo ↓ }

d(T+U)=0 => E=T+U=const

nieinercjalne układy odniesienia: {rys. str. 33}

r(t)= rb (t)+ r0b(t) poł. w inercj.}

r(t)=rαn^α {rαn^α=x n^x+y n^y+z n^z}

rb(t)= rαbn^αb

dr(t)/dt=v(t)=dr0b(t)/dt+drb (t)/dt=v0b+drb (t)/dt

drb (t)/dt=(drαb/dt)n^αb+ rαb(dn^αb/dt) {ale ←}

vb=(drαb/dt)n^αb=vαbn^αb {obs. z nieinerc}

(1) drb (t)/dt=vb+rαb(dn^αb/dt) {zatem ←}

|dn^xb|=|n^xb|sin α dχ {rys. str 34−35}

(2) dn^xb=dχ × n^xb

|dχ|=dχ {umowa}

(2)/dt => { =dχ/dt} => dn^xb /dt = dχ/dt × n^xb =  × n^xb {to samo dla Y i Z}

dn^αb /dt =  × n^αb {ogólnie}

z (1) drb/dt=vb+rαb × n^αb = vb+  × rb

rb(t)=rαbn^αb gdzie ← 

v=v0b+vb+ × rb

a=dv/dt=dv0b/dt+dvb/dt+(d/dt)×rb+×(drb/dt)

drb/dt=vb+ × rb {ale ←}

dvb/dt=d(vαbn^αb )/dt=(dvαb/dt)n^αb+ vαb(dn^αb/dt)=abαb × n^αb =ab+ × vb {natomiast ←}

(3) a=ab+aαb+>× rb+2 × vb + × ( × rb)

F=ma {w układzie inercjalnym mamy}

F=ma=mab + ma0b+ m×rb + 2m×vb + m×(×rb) {czyli ←}

mab=F− ma0b − 2m×vb − m×rb − m×(×rb) {albo ←}

{bezwładności: d'Alemberta; Coriolisa; odśrodkowa, noname}

prawa zachowania dla punktów materialnych:

F=ma = dv/dt {dla 1 punktu}

miai=Fi, ai=d2ri/dt2 {dla wielu podobnie}

Fi=dpi/dt {albo (masy mi nie zależą od czas)}

P=Σ(i=1,N)pi {całkowity pęd układu}

dP/dt=Σ(i=1,N)dpi/dt=Σ(i=1,N)Fi {oraz}

Fi=Fiin+Fiex

Fiin=Σ(j=1,N,j≠i)Fijin {j−ty na i−ty}

dP/dt=Σ(i=1,N)Fi=Σ(i=1,N)( Fiin+Fiex)=Σ(i=1,N)(Σ(j=1,N,j≠i)( Fiin+Fiex))= Σ(i,j=1,N,j≠i)Fijin+ Σ(i=1,N)Fiex= Σ(i,j=1,N,i>j)(Fijin+Fjiin)+Fex { Fex=Σ(i=1,N) Fiex}

Fijin=−Fjiin {z Newton III} co prowadzi do dP/dt=Fex

P=Σ(i=1,N)pi {całkowity jest jedn. środka masy}

rm=(Σ(i=1,N)(miri))/( Σ(i=1,N)mi) {poł. śrdk. mas.}

rm=(Σ(i=1,N)(miri))/( Σ(i=1,N)mi)=(Σ(i=1,N)pi)/m=P/m

m=Σ(i=1,N)mi

mrm=pm=P {czyli ←}

Mi=ri×pi ; dMi/dt=Li {Li=ri×Fi} ;{mom. i−o}

M=Σ(i=1,N)Mi=Σ(i=1,N)Li=Σ(i=1,N)(ri×Fi)=Σ(i=1,N)(ri×Fiin+ ri×Fiex) {dla całego układu}

Σ(i=1,N)(ri×Fiin)=Σ(i=1,N)(ri×(Σ(j=1,N,j≠i)Fjiin))=Σ(i,j=1,N,i>j)(ri×Fijin+rj×Fjiin)= Σ(i,j=1,N,i>j)(ri−rj)×Fijin=0 {bo Fijin=−Fjiin i (ri−rj) ||Fijin) {ex olać}

δAin=Σ(i=1,N)(δAiin)=Σ(i=1,N)(Fiindri)=Σ(i=1,N)Σ(j=1,N,j≠i)(Fijindri)=Σ(i,j=1,N,i>j)Fijin(dri− drj)

{( dri− drj) może być dow. zorient => δAin≠0}

elementy dynamiki bryły sztywnej:

Fex=0 i Lex=0 {def bryły sztywnej}

ri=rbi+r0b {poł. i−go pktu bryły sztywnej}

vi=vib+v0b+× rbi {ukł b w bryle rys. str. 41}

P=Σ(i=1,N)mivi=Σ(i=1,N)miv0b+Σ(i=1,N)(mi× rbi )=mv0b+×m rbm {m=Σ(i=1,N)mi}

M=Σ(i=1,N)Mi=Σ(i=1,N)(miri×vi)=Σ(i=1,N)mi(r0b+rbi)×(v0b+×rbi)=(Σ(i=1,N)(mir0b×v0b)+Σ(i=1,N)(mir0b×(×rbi)+Σ(i=1,N)(mirbi×v0b)+Σ(i=1,N)(mirbi×(×rbi)=mr0b×v0b+mr0b×(×rbm)+mrbi×v0b+Σ(i=1,N)(mirbi×(×rbi) {podobnie ←}

M=Σ(i=1,N)(mirbi×(×rbi)=Σ(i=1,N)(mi( rbi2− rbi( rbi))) {gdy (v0b=0) i (rbm=0) to ←}

Mα=Σ(i=1,N)(mi(rbi2bα−( rbi) rbiα)=Σ(βb)Iαb βbβb

gdzie Iαb βb=Σ(i=1,N)mi(rbi2δαb βb−riαb riβb) i δαb βb= 1(α=β) else 0 {tzw symbol Kroneckera}

Mxb Ixbxb Ixbyb Ixbzb xb

Myb=Iybxb Iybyb Iybzb yb

Mzb Izbxb Izbyb Izbzb  zb {oraz ↓}

[Iαb βb]=macież I wyrazona jako Σ(i=1,N)(mi(odpowiednio: Ixbxb=yib2+ zib2, Ixbyb=xibyib))

to tensor bezwł. Z faktu ↓ wynika ↓↓

0≤T=Σ(i=1,N)(mi vi2)/2=Σ(i=1,N)Iαb βbαbβb

I1 0 0

[Iαb βb] =0 I2 0

0 0 I3

transformacje Lorentza:

r=rob+rb=v0b+rb {Galileusz}

v=vob.+vb {Galileusz}

sqrt((Δx)2+(Δy)2+(Δz)2)=cΔt {droga światła ← i ↓ }

sqrt((Δxb)2+(Δyb)2+(Δzb)2)=cΔtb

sqrt((Δx)2+(Δy)2+(Δz)2)−cΔt=sqrt((Δxb)2+(Δyb)2+(Δzb)2)−cΔtb=0 {← po zsumowaniu ↑ ↑↑

(Δs)2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2)−c2(Δt)2 dla dow ΔxΔyΔzΔt ←}

(Δs)2=(Δsb)2 {bo związ miedz układami musi być liniow}

(Δs)2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2)−c2(Δt)2=(Δx1)2+(Δx2)2+(Δx3)2+(Δx4)2 {powinno być zachow. | gdzie x1 = x ... x4=ict}

 cosϕ sinϕ 0 {dokładniej ←}

−sinϕ cosϕ 0 {cd str 5051}

 c 0 1

xb=(x−vt)/sqrt(1−v2/c2)

yb=y

zb=z

tb=(t−vx/c2)/sqrt(1−v2/c2) {c −> ∞ to Galilieusz}

{odwrotnie mamy}

x=(xb+vt)/sqrt(1−v2/c2)

y=yb

z=zb

t=(tb+vxb/c2)/sqrt(1−v2/c2)

relatywistyczne dodawanie prędkości:

u=dr/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)

ub=drb/dt=(dxb/dt,dyb/dt,dzb/dt)

dxb=(dx−vdt)/sqrt(1−v2/c2) {„d” po Lorentz}

dyb=dy {„d” po Lorentz}

dzb=dz {„d” po Lorentz}

dtb=(dt−dx v/c2)/sqrt(1−v2/c2) {„d” po Lorentz}

z dxb/dtb=uxb=(dx−vdt)/(dt−dxv/c2)=(ux−v)/(1−uxv/c2)

dyb/dtb=uyb=dy/(dt−dxv/c2)sqrt(1−v2/c2)=uy/(1−uxv/c2) sqrt(1−v2/c2)

dzb/dtb=uzb=dz/(dt−dxv/c2)sqrt(1−v2/c2)=uz/(1−uxv/c2) sqrt(1−v2/c2)

ub=[(ux−v)/(1−uxv/c2), uy/(1−uxv/c2) sqrt(1−v2/c2), uz/(1−uxv/c2) sqrt(1−v2/c2)]

{gdy c −> ∞ => Galileusz}

dynamika w szczególnej teorii:

p=m(v2)v {def taka by klas gdy c−>∞}

{sprężyste zderzenie dwóch jednakowych kól str.56}

przed: uAyb=u ; uAxb=0 ; uBy=−u ; uBx=0

po: uAyb=u ; uAxb=0 ; uBy=−u ; uBx=0

{↓to samo co↑ tylko dla zzp i v relatyw}

przed: uAy=u sqrt(1−v2/c2) ; uAx=ν ; uBy=−u ; uBx=0

po: uAy=usqrt(1−v2/c2) ; uAx=ν; uBy=−u uBx=0

{całkowity pedu układu przed i po}

(1) dla x: m[u2(1−v2/c2)+v2)v= m[u2(1−v2/c2)+v2)v

(2) dla y: m[u2(1−v2/c2)+v2)u sqrt(1−v2/c2) − m(u2)u= m[u2(1−v2/c2)+v2)u sqrt(1−v2/c2) − m(u2)u

z (1) u= ±u => z (2) mamy ↓ m[u2(1−u2/c2)+v2)sqrt(1−v2/c2)=m(u2)

gdy u−>0 to m(v2)=m(0)/sqrt(1−v2/c2) − masa relatywist.

m(0)= m(v2=0)= m(v2)|c−>∞ − masa spoczynkowa

p=(m(0)/sqrt(1−v2/c2))v

F=dp/dt=d/dt((m(0)/(1−v2/c2))v)

−−− koniec ↑ −−− zzEk zzT ↓ −−−

Fdp/dt

dpα/dt=(d(m(v2))/dt)vα+m(v2)dvα/dt {łatwo zauwazyć }

d(m(v2))/dt=(dm(v2)/d(v2))(d(v2)/dt)=1/c2(m0/(1−v2/c2)3/2)vβ (dvβ/dt) {ale ←}

Fα=dpα/dt=m(v2)[dvα/dt+vα/(c2−v2)vβ dvβ/dt] {stąd ← }

Fα=mα β aβ ; aβ=dvβ/dt {wówczas ←}

mαβ =m(v2)[δαβ+(1/(c2−v2))vαvβ] {gdzie ← /δαβKroneck}

F(dr/dt)=δA/dt=dT/dt {łatwo okreslić ←}

F(dr/dt)=Fαvα=mαβvαaβ=dT/dt {łatwo dostrzec ←}

gdzie T=m(v2)c2+const {po rozwinięciu ← mamy ↓}

T=m(0)c2+m(0)v2/2+3m(0)v4/8c2+...+const

const = −m(0)c2 {aby przy c−>∞ było poprawnie to ←}

T=m(v2)c2m(0)c2 {relatyw energia kinetyczna}

związki termodynamiczne:

pV=nRT {dla gazu doskonałego R=8,31J/mol K; ↓ }

(p+a/V2)(V−b)=nRT {n moli; T−emp absolutna }

{↑ r.van der Waalsa} {zgodnie z I i II ZasTerm: ↓↓↓}

dU=(∂U/∂p)Vdp+(∂U/∂V)pdV lub

dU=(∂U/∂p)Tdp+(∂U/∂T)pdT lub

dU=(∂U/∂V)TdV+(∂U/∂T)VdT

δA=dU=−pdV {dla kwazistatycznych}

dU=δQ−pdV {po uwzgl I ZT}{nowy funkcje ↓↓↓ }

entalpia: H=U+pV

energia swobodna: F=U−TS

entalpia swobodna: G=H−TS

dH=Du+pdV+Vdp=δQ+Vdp {różniczki nowych funkcji}

dF=dU−TdS−SdT=δQ−pdV−TdS−SdT

z II ZT dla kwazistatycznych mamy δQ=TdS więc

dF=−pdV−SdT

dG=Vdp−SdT {podobnie ←}{zestawiając ↓↓↓↓}

dU=TdS−pdV=(∂U/∂S)VdS+(∂U/∂V)SdV

dF=−SdT−pdV=(∂F/∂T)VdT+(∂F/∂V)TdV

dH=TdS+Vdp=(∂H/∂S)pdS+(∂H/∂p)Sdp

dG=−SdT+Vdp=(∂G/∂T)pdT+(∂G/∂p)Tdp

(∂U/∂S)=T ; (∂U/∂V)=−p {z powyż wynika bezp ↓↓↓↓}

(∂F/∂T)=−S ; (∂F/∂V)=−p

(∂H/∂S)=T ; (∂H/∂p)=V

(∂G/∂T)=−S ; (∂G/∂p)=V {inne zw. uwzgl 2−gie poch ↓}

2U/(∂V|S ∂S|V)= ∂2U/(∂S|V ∂V|S) => (∂T/∂V)S=−(∂p/∂S)V

2F/(∂V|T ∂T|V)= ∂2F/(∂T|V ∂V|T) => (∂S/∂V)T=(∂p/∂T)V

2H/(∂p|S ∂S|p)= ∂2H/(∂SpV ∂p|S) => (∂T/∂p)S=−(∂V/∂S)p

2G/(∂p|T ∂T|p)= ∂2G/(∂T|p ∂p|T) => (∂S/∂p)T=−(∂V/∂T)p

Cp=(δQ/dT)p {pojemność cieplna przy st. ciśnieniu}

CV=(δQ/dT)V {pojemność cieplna przy st. objetości}

δQ=dU+pdV=(∂U/∂T)VdT+((∂U/dV)T+p)dV {z I ZT ←}

CV=(δQ/dT)V=(∂U/∂T)V {stąd ←}

CP=(∂U/∂T)V+((∂U/∂V)T+p)(∂V/∂T)p=CV+((∂U/∂V)T+p)(∂V/∂T)p {oraz ←}

CpCV=((∂U/∂V)T+p)(∂V/∂T)p {zatem ←}

przekształcimy (∂U/∂V)T mamy bowiem (∂S/∂V)T=(∂p/∂T)V oraz dU=TdS−pdV więc:

(∂U/∂T)VdT+(∂U/∂V)VdV=T[(∂S/∂T)VdT+(∂S/∂V)TdV]−pdV

(∂U/∂V)T=T(∂S/∂V)T−p=T(∂p/∂T)V−p {stąd ←}

CpCV=T(∂p/∂T)V(∂V/∂T)p {a zatem ←}

(∂ p/∂ T)V=nR/V ; (∂ V/∂ T)p=nR/p {dla gazu dosk. ←}

CpCV=nR a zatem dla gazu dosk.

jednocz dla gazu dosk (∂U/∂V)T=0 en. wew nie zal od obj.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka
rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka
rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka
rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka
rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka
rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka
rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka
rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka
rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka
rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka
rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka
rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka
rozne9, Politechnika WGGiG, Fizyka

więcej podobnych podstron