prostokątny:
r→(t)=x(t) n^x+y(t) n^y+z(t) n^z
v→(t)=dr→/dt=x (t) n^x+y (t) n^y+z(t) n^z
|v|=sqrt((x)2+(y)2+(z)2)
a→=dv→/dt=d2r→/dt2=x(t) n^x+y(t) n^y+z(t) n^z
|a|=sqrt((x)2+(y)2+(z)2)
walcowy: (ρ prom. cyl.; ϕ(xoz,zop); z−wys.)
r→(t)=ρn^ρ ϕn^ϕ
v→(t)=dr→/dt=ρ n^ρ+p n^ρ+z n^z
n^ρ=n^x cosϕ+n^y sinϕ
n^ϕ=n^x sinϕ+n^y cosϕ
n^ρ=n^x sinϕ ϕ+n^y cosϕ ϕ = ϕ n^ϕ
n^ϕ=n^x cos ϕ ϕn^y sin ϕ ϕ = ϕn^ρ
v→=ρ n^ρ+ρ ϕ n^ϕ + z n^z
|v|=sqrt((ρ)2+(ρ ϕ)2+(z)2)
a→=dv→/dt=ρ+ρ n^ρ+ρ ϕ n^ϕ+ρ ϕ n^ϕ +ρ ϕn^ϕ+zn^z=n^ρ(ρ p(ϕ)2) + n^ϕ(2ρ ϕ+ρ ϕ)+n^z z
|a|=sqrt(ϕρ(ϕ)2)2+(2ρ ϕ+ρ ϕ)2+(z)2)
dla ρ=R=const; ϕ= t, =const; z=0
mamy r→(t)=R n^ρ v→(t)= R n^ϕ a→(t)=2 R n^ρ
sferyczny: (r,ϕ,θ − zgodnie z rys str. 11)
n^r=sin θ (cos ϕ n^x+sin ϕ n^y)+ cos θ n^z
n^ϕ=sin ϕ n^x+cos ϕ n^y
n^θ=cos θ(cos ϕ n^y+sin n^y)sin θ n^z
r→(t)=r n^r
v(t)= dr→/dt=rn^r+r n^r
n^r=cos θ θ(cos ϕ n^x+sin ϕ n^y)+sin θ(sin ϕ ϕn^x+cos ϕ ϕn^y)sin θ θn^z = θn^θ +sin θ ϕn^ϕ
n^ϕ=cos ϕ ϕn^xsin ϕ ϕn^y=sin θ ϕn^rcos θ ϕ n^θ
n^θ=−sin θ θ(cos ϕ n^x+sin ϕ n^y)cos θ θn^z +cos θ(sin ϕ ϕn^xcos ϕ ϕ n^y)=θn^r+cos θ ϕn^ϕ
v→=rn^r+r(θ n^θ+sin θ ϕ n^ϕ)=rn^r+sin θ r ϕn^ϕ+r θn^θ
a→=dv→/dt=rn^r+rn^r+cos θ θ r ϕ n^ϕ+sin θ r ϕn^ϕ+sin θ r ϕ n^ϕ+sin θ r ϕ n^ϕ+rθn^θ+r θn^θ+r θn^θ
dla ρ=R=const; ϕ= t, =const; θ= π/2
mamy v→(t)= R n^ϕ a→(t)=2 R n^r
normalny:
v→(t)=dr→/dt=ν n^ν
n^ν =v→/ν =(dr→/dt) / |dr→/dt|
n^n =(dn^ν/dt) / |dn^ν/dt|
n^ν n^ν =1 ; (dn^ν/dt) n^ν+n^ν (dn^ν/dt)=0
(dn^ν/dt) n^ν=0 ; n^b=n^ν × n^n
v→=ν n^ν
a→=νn^ν+ν n^ν=νn^ν+ν n^n |dn^ν/dt|
R=ν/| dn^ν/dt|
a→=νn^ν+(ν2 /R)n^n
zz pędu:
dp→/dt=m(dv→/dt)=ma→=F→
jeśli F→=0 to p→=const
jeśli Fα=0 to pα=const
zz momentu pędu:
M→=r→ × p→
dM→/dt=dr→/dr × p→ + r→ × dp→/dt = r→ × F→ = L→
{ dr→/dr × p→ =0 gdyż v→ || p→ } {L→ moment siły}
zz energii: {rys. str. 24}
δA=F→dr→=|F→||dr→|cos α {δA - praca}
F→(r→)=(Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z))
(1) δA= Fx(x,y,z)dx+Fy(x,y,z)dy+Fz(x,y,z)dz
P=δA/dt {Pmoc}
P=(F→ dr→)/dt=F→ v→ {z def δA}
F→=m dv→/dt
P=mv→ dv→/dt {stąd ↑ ↑ }
T=m ν2/2 {Tenergia kinetyczna}
dT/dt=mv→ dv→/dt
d/dt(ν2)=d/dt(v→ v→)=v→ (dv→/dt) + (dv→/dt) v→ =2v→ dv→/dt
P=δA/dt=dT/dt
δA=dT {po pomnożeniu ↑ przez dt}
z (1) dU=(∂U(x,y,z)/∂x)dx+(∂U(x,y,z)/∂y)dy+(∂U(x,y,z)/∂z)dz
aby δA=dU to:
Fx(x,y,z)= (∂U(x,y,z)/∂x)dx
Fy(x,y,z)= (∂U(x,y,z)/∂y)dy tylko gdy F potencjalna
Fz(x,y,z)= (∂U(x,y,z)/∂z)dz
F→=grad U {to samo ↑}
grad U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z)
rot F→= |...|=0 to potencjalna
dowód:
gdy Fα=∂U/∂α α∈[x,y,z] to ↓
∂2U/∂y∂x=∂2U/∂x∂y, ∂2U/∂z∂x=∂2U/∂x∂z, ∂2U/∂y∂z=∂2U/∂z∂y
∂Fx/∂y=∂Fy/∂x, ∂Fx/∂z=∂Fz/∂x, ∂Fz/∂y=∂Fy/∂z => rot F→=0
δA =dU {czy istnieje takie ← U aby ←}
δA=dT {z drugiej zaś strony}
δA=dT=dU {zatem ← albo ↓ }
d(T+U)=0 => E=T+U=const
nieinercjalne układy odniesienia: {rys. str. 33}
r→(t)= rb →(t)+ r0b→(t) poł. w inercj.}
r→(t)=rαn^α {rαn^α=x n^x+y n^y+z n^z}
rb→(t)= rαbn^αb
dr→(t)/dt=v→(t)=dr0b→(t)/dt+drb →(t)/dt=v0b→+drb →(t)/dt
drb →(t)/dt=(drαb/dt)n^αb+ rαb(dn^αb/dt) {ale ←}
v→b=(drαb/dt)n^αb=vαbn^αb {obs. z nieinerc}
(1) drb →(t)/dt=v→b+rαb(dn^αb/dt) {zatem ←}
|dn^xb|=|n^xb|sin α dχ {rys. str 34−35}
(2) dn^xb=dχ→ × n^xb
|dχ→|=dχ {umowa}
(2)/dt => { =dχ/dt} => dn^xb /dt = dχ→/dt × n^xb = → × n^xb {to samo dla Y i Z}
dn^αb /dt = → × n^αb {ogólnie}
z (1) dr→b/dt=v→b+rαb→ × n^αb = v→b+ → × r→b
r→b(t)=rαbn^αb gdzie ←
v→=v0b→+v→b+→ × r→b
a→=dv→/dt=dv0b→/dt+dv→b/dt+(d→/dt)×r→b+→×(dr→b/dt)
dr→b/dt=v→b+→ × r→b {ale ←}
dv→b/dt=d(vαbn^αb )/dt=(dvαb/dt)n^αb+ vαb(dn^αb/dt)=a→b+ναb→ × n^αb =a→b+→ × v→b {natomiast ←}
(3) a→=a→b+aαb+>× r→b+2→ × v→b +→ × (→ × r→b)
F→=ma→ {w układzie inercjalnym mamy}
F→=ma→=ma→b + ma0b→+ m→×r→b + 2m→×v→b + m→×(→×r→b) {czyli ←}
ma→b=F→− ma0b→ − 2m→×v→b − m→×r→b − m→×(→×r→b) {albo ←}
{bezwładności: d'Alemberta; Coriolisa; odśrodkowa, noname}
prawa zachowania dla punktów materialnych:
F→=ma→ = dv→/dt {dla 1 punktu}
mia→i=Fi, a→i=d2ri/dt2 {dla wielu podobnie}
F→i=dp→i/dt {albo (masy mi nie zależą od czas)}
P→=Σ(i=1,N)p→i {całkowity pęd układu}
dP→/dt=Σ(i=1,N)dp→i/dt=Σ(i=1,N)F→i {oraz}
F→i=F→iin+F→iex
F→iin=Σ(j=1,N,j≠i)F→ijin {j−ty na i−ty}
dP→/dt=Σ(i=1,N)F→i=Σ(i=1,N)( F→iin+F→iex)=Σ(i=1,N)(Σ(j=1,N,j≠i)( F→iin+F→iex))= Σ(i,j=1,N,j≠i)F→ijin+ Σ(i=1,N)F→iex= Σ(i,j=1,N,i>j)(F→ijin+F→jiin)+F→ex { F→ex=Σ(i=1,N) F→iex}
F→ijin=−F→jiin {z Newton III} co prowadzi do dP→/dt=F→ex
P→=Σ(i=1,N)p→i {całkowity jest jedn. środka masy}
rm=(Σ(i=1,N)(mir→i))/( Σ(i=1,N)mi) {poł. śrdk. mas.}
rm=(Σ(i=1,N)(mir→i))/( Σ(i=1,N)mi)=(Σ(i=1,N)p→i)/m=P→/m
m=Σ(i=1,N)mi
mr→m=p→m=P→ {czyli ←}
M→i=r→i×p→i ; dM→i/dt=L→i {L→i=r→i×F→i} ;{mom. i−o}
M→=Σ(i=1,N)M→i=Σ(i=1,N)L→i=Σ(i=1,N)(r→i×F→i)=Σ(i=1,N)(r→i×F→iin+ r→i×F→iex) {dla całego układu}
Σ(i=1,N)(r→i×F→iin)=Σ(i=1,N)(ri×(Σ(j=1,N,j≠i)F→jiin))=Σ(i,j=1,N,i>j)(r→i×F→ijin+r→j×F→jiin)= Σ(i,j=1,N,i>j)(r→i−r→j)×F→ijin=0 {bo F→ijin=−F→jiin i (r→i−r→j) ||F→ijin) {ex olać}
δAin=Σ(i=1,N)(δAiin)=Σ(i=1,N)(F→iindr→i)=Σ(i=1,N)Σ(j=1,N,j≠i)(F→ijindr→i)=Σ(i,j=1,N,i>j)F→ijin(dr→i− dr→j)
{( dr→i− dr→j) może być dow. zorient => δAin≠0}
elementy dynamiki bryły sztywnej:
F→ex=0 i L→ex=0 {def bryły sztywnej}
ri→=rbi→+r0b→ {poł. i−go pktu bryły sztywnej}
vi→=vib→+v0b→+→× rbi → {ukł b w bryle rys. str. 41}
P→=Σ(i=1,N)mivi→=Σ(i=1,N)miv0b→+Σ(i=1,N)(mi→× rbi →)=mv0b+×m rbm {m=Σ(i=1,N)mi}
M→=Σ(i=1,N)M→i=Σ(i=1,N)(miri→×vi→)=Σ(i=1,N)mi(r0b→+rbi→)×(v0b→+→×rbi→)=(Σ(i=1,N)(mir0b→×v0b→)+Σ(i=1,N)(mir0b→×(→×rbi→)+Σ(i=1,N)(mirbi→×v0b→)+Σ(i=1,N)(mirbi→×(→×rbi→)=mr0b→×v0b→+mr0b→×(→×rbm→)+mrbi→×v0b→+Σ(i=1,N)(mirbi→×(→×rbi→) {podobnie ←}
M→=Σ(i=1,N)(mirbi→×(→×rbi→)=Σ(i=1,N)(mi( rbi2− rbi→(→ rbi→))) {gdy (v0b=0) i (rbm=0) to ←}
Mα=Σ(i=1,N)(mi(rbi2bα−(→ rbi→) rbiα)=Σ(βb)Iαb βb βb
gdzie Iαb βb=Σ(i=1,N)mi(rbi2δαb βb−riαb riβb) i δαb βb= 1(α=β) else 0 {tzw symbol Kroneckera}
Mxb Ixbxb Ixbyb Ixbzb xb
Myb=Iybxb Iybyb Iybzb yb
Mzb Izbxb Izbyb Izbzb zb {oraz ↓}
[Iαb βb]=macież I wyrazona jako Σ(i=1,N)(mi(odpowiednio: Ixbxb=yib2+ zib2, Ixbyb=xibyib))
to tensor bezwł. Z faktu ↓ wynika ↓↓
0≤T=Σ(i=1,N)(mi vi2)/2=Σ(i=1,N)Iαb βbαbβb
I1 0 0
[Iαb βb] =0 I2 0
0 0 I3
transformacje Lorentza:
r→=rob→+r→b=v0b→+r→b {Galileusz}
v→=vob.→+v→b {Galileusz}
sqrt((Δx)2+(Δy)2+(Δz)2)=cΔt {droga światła ← i ↓ }
sqrt((Δxb)2+(Δyb)2+(Δzb)2)=cΔtb
sqrt((Δx)2+(Δy)2+(Δz)2)−cΔt=sqrt((Δxb)2+(Δyb)2+(Δzb)2)−cΔtb=0 {← po zsumowaniu ↑ ↑↑
(Δs)2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2)−c2(Δt)2 dla dow ΔxΔyΔzΔt ←}
(Δs)2=(Δsb)2 {bo związ miedz układami musi być liniow}
(Δs)2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2)−c2(Δt)2=(Δx1)2+(Δx2)2+(Δx3)2+(Δx4)2 {powinno być zachow. | gdzie x1 = x ... x4=ict}
cosϕ sinϕ 0 {dokładniej ←}
−sinϕ cosϕ 0 {cd str 50−51}
c 0 1
xb=(x−vt)/sqrt(1−v2/c2)
yb=y
zb=z
tb=(t−vx/c2)/sqrt(1−v2/c2) {c −> ∞ to Galilieusz}
{odwrotnie mamy}
x=(xb+vt)/sqrt(1−v2/c2)
y=yb
z=zb
t=(tb+vxb/c2)/sqrt(1−v2/c2)
relatywistyczne dodawanie prędkości:
u→=dr→/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
u→b=dr→b/dt=(dxb/dt,dyb/dt,dzb/dt)
dxb=(dx−vdt)/sqrt(1−v2/c2) {„d” po Lorentz}
dyb=dy {„d” po Lorentz}
dzb=dz {„d” po Lorentz}
dtb=(dt−dx v/c2)/sqrt(1−v2/c2) {„d” po Lorentz}
z↑ dxb/dtb=uxb=(dx−vdt)/(dt−dxv/c2)=(ux−v)/(1−uxv/c2)
dyb/dtb=uyb=dy/(dt−dxv/c2)sqrt(1−v2/c2)=uy/(1−uxv/c2) sqrt(1−v2/c2)
dzb/dtb=uzb=dz/(dt−dxv/c2)sqrt(1−v2/c2)=uz/(1−uxv/c2) sqrt(1−v2/c2)
u→b=[(ux−v)/(1−uxv/c2), uy/(1−uxv/c2) sqrt(1−v2/c2), uz/(1−uxv/c2) sqrt(1−v2/c2)]
{gdy c −> ∞ => Galileusz}
dynamika w szczególnej teorii:
p→=m(v2)v→ {def taka by klas gdy c−>∞}
{sprężyste zderzenie dwóch jednakowych kól str.56}
przed: uAyb=u ; uAxb=0 ; uBy=−u ; uBx=0
po: u∼Ayb=u∼ ; u∼Axb=0 ; u∼By=−u∼ ; u∼Bx=0
{↓to samo co↑ tylko dla zzp i v→ relatyw}
przed: uAy=u sqrt(1−v2/c2) ; uAx=ν ; uBy=−u ; uBx=0
po: u∼Ay=u∼sqrt(1−v2/c2) ; u∼Ax=ν; u∼By=−u∼ u∼Bx=0
{całkowity pedu układu przed i po}
(1) dla x: m[u2(1−v2/c2)+v2)v= m[u∼2(1−v2/c2)+v2)v
(2) dla y: m[u2(1−v2/c2)+v2)u sqrt(1−v2/c2) − m(u2)u= m[u∼2(1−v2/c2)+v2)u∼ sqrt(1−v2/c2) − m(u∼2)u∼
z (1) u= ±u∼ => z (2) mamy ↓ m[u2(1−u2/c2)+v2)sqrt(1−v2/c2)=m(u2)
gdy u−>0 to m(v2)=m(0)/sqrt(1−v2/c2) − masa relatywist.
m(0)= m(v2=0)= m(v2)|c−>∞ − masa spoczynkowa
p→=(m(0)/sqrt(1−v2/c2))v→
F→=dp→/dt=d/dt((m(0)/(1−v2/c2))v→)
−−− koniec ↑ −−− zzEk zzT ↓ −−−
F→dp→/dt
dpα/dt=(d(m(v2))/dt)vα+m(v2)dvα/dt {łatwo zauwazyć }
d(m(v2))/dt=(dm(v2)/d(v2))(d(v2)/dt)=1/c2(m0/(1−v2/c2)3/2)vβ (dvβ/dt) {ale ←}
Fα=dpα/dt=m(v2)[dvα/dt+vα/(c2−v2)vβ dvβ/dt] {stąd ← }
Fα=mα β aβ ; aβ=dvβ/dt {wówczas ←}
mαβ =m(v2)[δαβ+(1/(c2−v2))vαvβ] {gdzie ← /δαβKroneck}
F→(dr→/dt)=δA/dt=dT/dt {łatwo okreslić ←}
F→(dr→/dt)=Fαvα=mαβvαaβ=dT/dt {łatwo dostrzec ←}
gdzie T=m(v2)c2+const {po rozwinięciu ← mamy ↓}
T=m(0)c2+m(0)v2/2+3m(0)v4/8c2+...+const
const = −m(0)c2 {aby przy c−>∞ było poprawnie to ←}
T=m(v2)c2−m(0)c2 {relatyw energia kinetyczna}
związki termodynamiczne:
pV=nRT {dla gazu doskonałego R=8,31J/mol K; ↓ }
(p+a/V2)(V−b)=nRT {n moli; T−emp absolutna }
{↑ r.van der Waalsa} {zgodnie z I i II ZasTerm: ↓↓↓}
dU=(∂U/∂p)Vdp+(∂U/∂V)pdV lub
dU=(∂U/∂p)Tdp+(∂U/∂T)pdT lub
dU=(∂U/∂V)TdV+(∂U/∂T)VdT
δA=dU=−pdV {dla kwazistatycznych}
dU=δQ−pdV {po uwzgl I ZT}{nowy funkcje ↓↓↓ }
entalpia: H=U+pV
energia swobodna: F=U−TS
entalpia swobodna: G=H−TS
dH=Du+pdV+Vdp=δQ+Vdp {różniczki nowych funkcji}
dF=dU−TdS−SdT=δQ−pdV−TdS−SdT
z II ZT dla kwazistatycznych mamy δQ=TdS więc
dF=−pdV−SdT
dG=Vdp−SdT {podobnie ←}{zestawiając ↓↓↓↓}
dU=TdS−pdV=(∂U/∂S)VdS+(∂U/∂V)SdV
dF=−SdT−pdV=(∂F/∂T)VdT+(∂F/∂V)TdV
dH=TdS+Vdp=(∂H/∂S)pdS+(∂H/∂p)Sdp
dG=−SdT+Vdp=(∂G/∂T)pdT+(∂G/∂p)Tdp
(∂U/∂S)=T ; (∂U/∂V)=−p {z powyż wynika bezp ↓↓↓↓}
(∂F/∂T)=−S ; (∂F/∂V)=−p
(∂H/∂S)=T ; (∂H/∂p)=V
(∂G/∂T)=−S ; (∂G/∂p)=V {inne zw. uwzgl 2−gie poch ↓}
∂2U/(∂V|S ∂S|V)= ∂2U/(∂S|V ∂V|S) => (∂T/∂V)S=−(∂p/∂S)V
∂2F/(∂V|T ∂T|V)= ∂2F/(∂T|V ∂V|T) => (∂S/∂V)T=(∂p/∂T)V
∂2H/(∂p|S ∂S|p)= ∂2H/(∂SpV ∂p|S) => (∂T/∂p)S=−(∂V/∂S)p
∂2G/(∂p|T ∂T|p)= ∂2G/(∂T|p ∂p|T) => (∂S/∂p)T=−(∂V/∂T)p
Cp=(δQ/dT)p {pojemność cieplna przy st. ciśnieniu}
CV=(δQ/dT)V {pojemność cieplna przy st. objetości}
δQ=dU+pdV=(∂U/∂T)VdT+((∂U/dV)T+p)dV {z I ZT ←}
CV=(δQ/dT)V=(∂U/∂T)V {stąd ←}
CP=(∂U/∂T)V+((∂U/∂V)T+p)(∂V/∂T)p=CV+((∂U/∂V)T+p)(∂V/∂T)p {oraz ←}
Cp−CV=((∂U/∂V)T+p)(∂V/∂T)p {zatem ←}
przekształcimy (∂U/∂V)T mamy bowiem (∂S/∂V)T=(∂p/∂T)V oraz dU=TdS−pdV więc:
(∂U/∂T)VdT+(∂U/∂V)VdV=T[(∂S/∂T)VdT+(∂S/∂V)TdV]−pdV
(∂U/∂V)T=T(∂S/∂V)T−p=T(∂p/∂T)V−p {stąd ←}
Cp−CV=T(∂p/∂T)V(∂V/∂T)p {a zatem ←}
(∂ p/∂ T)V=nR/V ; (∂ V/∂ T)p=nR/p {dla gazu dosk. ←}
Cp−CV=nR a zatem dla gazu dosk. ←
jednocz dla gazu dosk (∂U/∂V)T=0 en. wew nie zal od obj.