Zadania na ćwiczenia 5

I rok Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

1. Na wierzchołku półkuli o promieniu R znajduje się punkt materialny, który po nieznacznym wychyleniu z położenia równowagi zaczyna zsuwać się bez tarcia po powierzchni kuli. Czy punkt ten oderwie się od powierzchni kuli? Jeśli tak to na jakiej wysokości? (^*Przedyskutować problem jeśli ruch odbywa się z tarciem)

2. Wahadło matematyczne. W chwili gdy wychylenie jest określone kątem ₀ , prędkość kulki wynosi v₀. Jaka jest prędkość kulki w jej najniższym położeniu? Przy jakiej najmniejszej wartości v₀ nić osiągnie położenie poziome? Jaka jest najmniejsza wartość v₀, dla której wahadło nie będzie wykonywało drgań lecz będzie poruszało się w sposób ciągły po okręgu płaszczyźnie pionowej?

3. Pociąg o masie m=2000 t porusza się z prędkością v=54 km/h na szerokości geograficznej  = 60 ^°. Określić poziomą składową siły F, jaką pociąg działa na szyny poruszając się : (a) wzdłuż południka, (b) wzdłuż równoleżnika.

4. Jak daleko od Ziemi w kierunku Słońca musi znajdować się ciało, żeby przyciąganie grawitacyjne Słońca zrównoważyło przyciąganie ziemskie? Słońce znajduje się w odległości 1.49·10⁸ km od Ziemi, a jego masa równa się 3.3·10⁵ masy Ziemi.

5. 
   Znaleźć natężenie pola i potencjał grawitacyjny wewnątrz jednorodnej kuli o masie m i promieniu r.

6. Pokazać, że wyrażenie E_p=mgh jest przybliżeniem ważnym przy powierzchni Ziemi. Dla jakich wysokości h od powierzchni Ziemi błąd popełniany przy użyciu powyższego wzoru jest mniejszy niż 1%

7. Znaleźć średnią gęstość Ziemi jeżeli wiadomo, że jej promień R_z=6370 km, a przyspieszenie swobodnego spadku g=9,81  [(m)/(s²)].

8. Dwie izolowane jednorodne kule o promieniach r₁ i r₂ oraz gęstościach odpowiednio d₁ i d₂ stykają się w punkcie C. Jaki warunek musza spełniać wymiary i gęstości kul, żeby praca potrzebna na przeniesienie punktu materialnego o masie m z punktu C do B była taka jak z punktu C do A?

l

v_

_

B

C

A

R

g

---