1 Historia powstania MESA

MES powstał w 1956r. wymyślił ją prof.Turner

2. Kiedy mamy do czynienia z więzami a kiedy ze stopniami swobody?

Pojedyncze element skończony ma stopnie swobody i więzy, dwa elementy skończone łączą się za pomocą więzów.

3.Analiza wytrzymałościowa MES - rozwiązywanie układów równań

a) określenie statystyki konstrukcji [K] *{r} = {R}

b)dynamika

4) Wymień kryteria i funkcji

a)kryterium zgodności - funkcja kształtu musi zapewniać ciągłość przemieszczeń na krawędziach 2 elementów

b) kryterium stałych przemieszczeń- w wyniku ruchu ciała sztywnego nie mogą powstać dodatkowe naprężenia czy odkształcenia { U } = const

c) kryterium stałych odkształceń - możliwość wprowadzenia stałych odkształceń lub naprężeń

5) Dla jakich elementów stosujemy ciągi Pascala?

Na elementy skończone

6) Wymień jak zwiększa się dokładność dokładność poprawia funkcja kształtu

a) wprowadzenie fikcyjnych stopni swobody w węźle

b) bardziej gęsty podział na elementy skończone

7) Jakie mamy elementy jedno wymiarowe?

- cięgno, pręt , belka,rura

8) jakie mamy elementy trójwymiarowe?

- penta, tetra, heksa,

9) Jakie obciążenie występuje w tarczy, płycie?

- tarcza- obciążenie równoległe, - płyta - obciążenie prostopadłe

10)Rodzaje modeli?

- fizyczny, geometryczny, rzeczywisty, dyskretny

11) Założenia dla elementów skończonych

- stałe charakterystyki materiałowe E,G,δ = CONST

- stała charakterystyki geometrycznej t,L,I,A -const

12) Jakie są funkcje kształtu?

- liniowe, kwadratowe, sześcienne, n- tego stopnia

13)Jakie konstrukcje możemy obliczać jako kratownice?

- żuraw 4-przegubowy

14) Kiedy mamy doczynienia z płaskim stanem naprężeń?

- kiedy jedna ze składowych normalnych jest równa zero

15) Jak można zwiększyć dokładność MES?

Wprowadzamy dodatkowe więzy na środku boków (krawędzi)

16) Napisać równanie konstrukcyjne statyki

{r} = [K]^-1{R}

liczba równań do rozwiązania: {r} = IW *IE

17) Ile stopni swobody mają elementy :

- ciągnowy _2

- belkowy - 3

- płytowy - 3

18) Ile podmacierzy ma El. Jednowymiarowy opisany :

- dwoma węzami - 4

- trzema węzami - 9

- czterema węzami - 16

19) Karoseria autobusu ma 20000 węzłów ( elementów) .Jaki jest rozmiar macierzy globalnej?

Dla elementów: 20.000*3*2 [K] = [60.000*2; 60.000*2]

Dla węzłów : 20.000 *2*2 [K] = [40.000*2; 40.000*2]

[ K] = [liczba węzłów; liczba stopni swobody]

20) Własności macierzy globalnej?

a) jest symetryczna względem głównej przekątnej

b) na głównej przekątnej nie ma zera

c) jest macierzą kwadratową

d) może być pasmowa

e) jest macierzą rzadką

21) Stopnie swobody elementu płytowego?

- przesunięcie Uz

- obrót alfa y

- obrót alfa x

22) elementy dwuwymiarowe

23) klasyfikacja elementów skończonych

1D

Stosuje się ciąg Pascala (1,x,x²,x³,…)

Ux_A-A=a₁+a₂x+a₃x²⁺a₄x³

ε_xA-A=dUx_A-A/dx=a₂+2a₃x+3a₄x²

2D

Wielomian zbudowany na podstawie dwuwymiarowego ciągu zwanego Trójkątem Pascala

1 - funkcje stałe

x y - f. liniowe

x² xy y² - f. kwadratowe

x³ x²y xy² y³ - f. sześcienne

x⁴ x³y x²y² xy³ y⁴ - f. do czwartej

x⁵ x⁴y x³ y² x² y³ x³y⁴ y⁵ - f. do piątej

Należy przy tym zwrócić uwagę, aby wielomiany nie zawierały składników uprzywilejowanych, czyli aby były geometrycznie izotropowe.

3D

Funkcje kształtu dobierane są na podstawie Trójwymiarowego ciągu Pascala

CAD - komputerowe wspomaganie projektowania

-Modelowanie, Optymalizacja, Systemy doradcze,

- zarządzanie danymi,

- bazy danych,

- koncepcja,

- konsultacja, -

gospodarka materiałowa,

- logika projektowania,

- dokumentacja konstrukcji

- Obliczenia inżynierskie

→Metody numeryczne: →MES, MEB… i →Symulacje i animacje pracy

→Metody analityczne `klasyczne'

Dyskretyzacja zasady

- model dyskretny musi opisywać dokładnie postać geometryczną dyskretyzowanego modelu

- węzły i karby konstrukcyjne muszą mieć dostatecznie gęstą siatkę podziału)

Elementy skończone (klasyfikacja - kryteria)

- wymiar elementu (1,2,3D)

- kształt geometryczny

- typ i stopień wielomianu przyjętej funkcji kształtu

- liczba węzłów

- ze względu na nałożone więzy (cięgnowy - 2 więzy, prętowy 3, belkowy 6)

Elementy skończone (kształt geometryczny):

Płaskie

- punktowe, odcinkowe, trójkątne, czworokątne, wielokątne

Przestrzenne:

- czterościenne, pięciościenne, prostopadłościenne, osiowosymetryczne

Element tarczowy:

{F}el.=[k]·{V}el.

CST- stałe odkształcenie. Liniowa funkcja kształtu

(2D) - ciąg Pascala

funkcje kształtu dla trójkątnego elementu

Ux₁=a₁+a₂x+a₃y

Uy=a₄+a₅x+a₆y

{Ux Uy} = [A] · {a}

┌ 1xy000 ┐

A= │ │

└ 0001xy ┘

Ux₁=a₁+a₂x₁+a₃y₁

Uy₁=a₄+a₅x₁+a₆y₁

Ux₂=a₁+a₂x₂+a₃y₂

Uy₂=a₄+a₅x₂+a₆y₂

Ux₃=a₁+a₂x₃+a₃y₃

Uy₃=a₄+a₅x₃+a₆y₃

{V}el.=[C] ·{a}

{a}=[C]^-1·{V}el.

{Ux, Uy}=[A][C]^-1·{V}el.

Płaski stan odkształcenia (PSO)

{ε _x } = dUx/dx

{ε}= {ε _y } = dUy/Dy

{γ_xy} = dUx/dy +dUy/dx

LST - Liniowe odkształcenie, kwadratowa funkcja kształtu

zwiększenie dokładności - większa liczba węzłów

Ux=a₁+a₂x+a₃y+a₄x²+a₅xy+a₆y²

Uy=a₇+a₈x+a₉y+a₁₀x²+a₁₁xy+a₁₂y²

ε_x=a₂+2a₄x+a₅y

ε_y=a₉+a₁₁x+2a₁₂y

FEM - metoda elementów skończonych (1956 r. prof. Turner)

„Ojciec „ FEM prof. Zienkiewicz (wydał książkę „Metoda elementów skończonych”)

FEM dla różnych zagadnień powierzchniowych

FEM w mechanice strukturalnej

(np. Szmelter 1969, Zienkiewicz 1967,)

FEM ujęcie wariancyjne FEM ujęcie macierzowe, ujęcie lokalne,

podstawy FEM (Turner i inni 1956) Metoda bezpośredniej sztywności

FEM (4etapy)

1. *Wybór typu funkcji na którym bazować będzie model MES

a) - reprezentacja przemieszczeniowa

- reprezentacja naprężeniowa

- reprezentacja hybrydowa

b) - w ujęciu energetycznym

- w ujęciu wariacyjnym

* dyskretyzacja obszaru, tj. podział modelu na elementy skończone

2. *wybór położenia węzłów i liczby współrzędnych uogólnionych

* wybór funkcji aproksymacji (kształtu) w elementach

* obliczenie macierzy elementu [k], [m], [c]…

3. Agregacja macierzy elementów:

* budowa globalnej macierzy [K], [M], [C]…

* budowa wektora obciążenia [R], [R(t)]…

* wprowadzenie kinematycznych warunków brzegowych

4. Rozwiązywanie układu równań:

* statyka konstrukcji [K]{r}={R}

* dynamika (równanie ruchu)

* zagadnienia sprężysto - plastyczne

([K] - [Kp])Δ{r}=Δ{R}

* nieliniowości geometryczne

([K] - λ[K_E])d{r}=0

Funkcje kształtu

Najczęściej stosowanymi funkcjami elementów są wielomiany budowane na podstawie:

- ciągów Pascala

- wielomianów Lagrange'a

- wielomianów Hermite'a - dpo dokładnego odwzorowania odkształceń

Zalety wielomianów:

- łatwość przeprowadzania na nich operacji matematycznych

- ostateczna dokładność

- można nimi aproksymować założone przebiegi zmian

Zbliżanie się do rozwiązania dokładnego osiąga się, gdy funkcje kształtu zapewniają:

1) kryterium zgodności - ciągłość przemieszczeń wewnątrz elementu oraz ich zgodność na granicach elementów

2) Kryterium stałych przemieszczeń - możliwość opisywania stałych przemieszczeń elementu, a więc jego ruchu jako ciała sztywnego

3) Kryterium stałych odkształceń - możliwość opisania stanu odkształceń (a tym samym naprężeń) wewnątrz elementu występującego przy odpowiednich przemieszczeniach węzłów

Spełniony warunek 1 - el. zgodne (dostosowane)

Spełnione warunki 2,3 - el. zupełne (niedostosowane)

Statyka konstrukcji

[K] [r]= [R]

K - sztywność konstrukcji

r - wektor przemieszczeń węzłów

R - obciążenie zewnętrzne

Dynamika (równanie ruchu)

[M]{r**}+[C]{r*}+[K]{r}={R}

Zagadnienia sprężysto-plastyczne

{[K]-[Kp]}Δ{r}=Δ{R}

Model geometryczny posiada nieskończenie wiele stopni swobody; sprowadzamy go do skończonej liczby stopni swobody:

1) nanosimy punkty zwane węzłami na konturze tam gdzie działają siły

2) dzielimy obszar na skończoną liczbę geometrycznie prostych obszarów (punkty łączymy liniami nieprzecinającymi się); pojedynczy węzeł ma 3 stopnie swobody

3) określamy liczbę st. swobody w węźle (we wszystkich taka sama)

4) przyjmujemy f. kształtu

Płyty - konstrukcje 2D, obciążone siłami prostopadłymi do ich powierzchni

Płyty cienkie (teoria) - założenia:

- płaszczyzna środkowa płyty nie doznaje odkształceń tylko ugięcia ( {ε}=0, {б}=0)

- prosta normalna do płaszczyzny środkowej przed ugięciem pozostaje prostopadła po ugięciu

- pomija się wpływ sił poprzecznych na odkształcenie

- zakłada się liniowy rozkład odkształceń i naprężeń po grubości

Należy zapewnić warunki, aby płyta pozostała ciągłą i nie tworzyły się przeguby; zatem w każdym węźle muszą być spełnione 3 warunki równowagi i warunek ciągłości

Trójkątny element płytowy CST ma 9 węzłów, w każdym z nich 3 stopnie swobody

Tetra - 12 węzłów, 3 st. swobody na każdy węzeł

Funkcja kształtu dla elementu tetra:

Ux=a₁+a₂x+a₃y+a₄z

Uy= a₅+a₆x+a₇y+a₈z

Uz= a₉+a₁₀x+a₁₁y+a₁₂z

{u}el.=[A] ·{a}

┌ 1xyz0000000 ┐

A= │00001xyz0000 │

└000000001xyz ┘

{u}=[A][N]^-1·{V}el. - przemieszczenie liniowe

---