1 Historia powstania MESA
MES powstał w 1956r. wymyślił ją prof.Turner
2. Kiedy mamy do czynienia z więzami a kiedy ze stopniami swobody?
Pojedyncze element skończony ma stopnie swobody i więzy, dwa elementy skończone łączą się za pomocą więzów.
3.Analiza wytrzymałościowa MES - rozwiązywanie układów równań
a) określenie statystyki konstrukcji [K] *{r} = {R}
b)dynamika
4) Wymień kryteria i funkcji
a)kryterium zgodności - funkcja kształtu musi zapewniać ciągłość przemieszczeń na krawędziach 2 elementów
b) kryterium stałych przemieszczeń- w wyniku ruchu ciała sztywnego nie mogą powstać dodatkowe naprężenia czy odkształcenia { U } = const
c) kryterium stałych odkształceń - możliwość wprowadzenia stałych odkształceń lub naprężeń
5) Dla jakich elementów stosujemy ciągi Pascala?
Na elementy skończone
6) Wymień jak zwiększa się dokładność dokładność poprawia funkcja kształtu
a) wprowadzenie fikcyjnych stopni swobody w węźle
b) bardziej gęsty podział na elementy skończone
7) Jakie mamy elementy jedno wymiarowe?
- cięgno, pręt , belka,rura
8) jakie mamy elementy trójwymiarowe?
- penta, tetra, heksa,
9) Jakie obciążenie występuje w tarczy, płycie?
- tarcza- obciążenie równoległe, - płyta - obciążenie prostopadłe
10)Rodzaje modeli?
- fizyczny, geometryczny, rzeczywisty, dyskretny
11) Założenia dla elementów skończonych
- stałe charakterystyki materiałowe E,G,δ = CONST
- stała charakterystyki geometrycznej t,L,I,A -const
12) Jakie są funkcje kształtu?
- liniowe, kwadratowe, sześcienne, n- tego stopnia
13)Jakie konstrukcje możemy obliczać jako kratownice?
- żuraw 4-przegubowy
14) Kiedy mamy doczynienia z płaskim stanem naprężeń?
- kiedy jedna ze składowych normalnych jest równa zero
15) Jak można zwiększyć dokładność MES?
Wprowadzamy dodatkowe więzy na środku boków (krawędzi)
16) Napisać równanie konstrukcyjne statyki
{r} = [K]-1{R}
liczba równań do rozwiązania: {r} = IW *IE
17) Ile stopni swobody mają elementy :
- ciągnowy _2
- belkowy - 3
- płytowy - 3
18) Ile podmacierzy ma El. Jednowymiarowy opisany :
- dwoma węzami - 4
- trzema węzami - 9
- czterema węzami - 16
19) Karoseria autobusu ma 20000 węzłów ( elementów) .Jaki jest rozmiar macierzy globalnej?
Dla elementów: 20.000*3*2 [K] = [60.000*2; 60.000*2]
Dla węzłów : 20.000 *2*2 [K] = [40.000*2; 40.000*2]
[ K] = [liczba węzłów; liczba stopni swobody]
20) Własności macierzy globalnej?
a) jest symetryczna względem głównej przekątnej
b) na głównej przekątnej nie ma zera
c) jest macierzą kwadratową
d) może być pasmowa
e) jest macierzą rzadką
21) Stopnie swobody elementu płytowego?
- przesunięcie Uz
- obrót alfa y
- obrót alfa x
22) elementy dwuwymiarowe
23) klasyfikacja elementów skończonych
1D
Stosuje się ciąg Pascala (1,x,x2,x3,…)
UxA-A=a1+a2x+a3x2+a4x3
εxA-A=dUxA-A/dx=a2+2a3x+3a4x2
2D
Wielomian zbudowany na podstawie dwuwymiarowego ciągu zwanego Trójkątem Pascala
1 - funkcje stałe
x y - f. liniowe
x2 xy y2 - f. kwadratowe
x3 x2y xy2 y3 - f. sześcienne
x4 x3y x2y2 xy3 y4 - f. do czwartej
x5 x4y x3 y2 x2 y3 x3y4 y5 - f. do piątej
Należy przy tym zwrócić uwagę, aby wielomiany nie zawierały składników uprzywilejowanych, czyli aby były geometrycznie izotropowe.
3D
Funkcje kształtu dobierane są na podstawie Trójwymiarowego ciągu Pascala
CAD - komputerowe wspomaganie projektowania
-Modelowanie, Optymalizacja, Systemy doradcze,
- zarządzanie danymi,
- bazy danych,
- koncepcja,
- konsultacja, -
gospodarka materiałowa,
- logika projektowania,
- dokumentacja konstrukcji
- Obliczenia inżynierskie
→Metody numeryczne: →MES, MEB… i →Symulacje i animacje pracy
→Metody analityczne `klasyczne'
Dyskretyzacja zasady
- model dyskretny musi opisywać dokładnie postać geometryczną dyskretyzowanego modelu
- węzły i karby konstrukcyjne muszą mieć dostatecznie gęstą siatkę podziału)
Elementy skończone (klasyfikacja - kryteria)
- wymiar elementu (1,2,3D)
- kształt geometryczny
- typ i stopień wielomianu przyjętej funkcji kształtu
- liczba węzłów
- ze względu na nałożone więzy (cięgnowy - 2 więzy, prętowy 3, belkowy 6)
Elementy skończone (kształt geometryczny):
Płaskie
- punktowe, odcinkowe, trójkątne, czworokątne, wielokątne
Przestrzenne:
- czterościenne, pięciościenne, prostopadłościenne, osiowosymetryczne
Element tarczowy:
{F}el.=[k]·{V}el.
CST- stałe odkształcenie. Liniowa funkcja kształtu
(2D) - ciąg Pascala
funkcje kształtu dla trójkątnego elementu
Ux1=a1+a2x+a3y
Uy=a4+a5x+a6y
{Ux Uy} = [A] · {a}
┌ 1xy000 ┐
A= │ │
└ 0001xy ┘
Ux1=a1+a2x1+a3y1
Uy1=a4+a5x1+a6y1
Ux2=a1+a2x2+a3y2
Uy2=a4+a5x2+a6y2
Ux3=a1+a2x3+a3y3
Uy3=a4+a5x3+a6y3
{V}el.=[C] ·{a}
{a}=[C]-1·{V}el.
{Ux, Uy}=[A][C]-1·{V}el.
Płaski stan odkształcenia (PSO)
{ε x } = dUx/dx
{ε}= {ε y } = dUy/Dy
{γxy} = dUx/dy +dUy/dx
LST - Liniowe odkształcenie, kwadratowa funkcja kształtu
zwiększenie dokładności - większa liczba węzłów
Ux=a1+a2x+a3y+a4x2+a5xy+a6y2
Uy=a7+a8x+a9y+a10x2+a11xy+a12y2
εx=a2+2a4x+a5y
εy=a9+a11x+2a12y
FEM - metoda elementów skończonych (1956 r. prof. Turner)
„Ojciec „ FEM prof. Zienkiewicz (wydał książkę „Metoda elementów skończonych”)
FEM dla różnych zagadnień powierzchniowych
FEM w mechanice strukturalnej
(np. Szmelter 1969, Zienkiewicz 1967,)
FEM ujęcie wariancyjne FEM ujęcie macierzowe, ujęcie lokalne,
podstawy FEM (Turner i inni 1956) Metoda bezpośredniej sztywności
FEM (4etapy)
1. *Wybór typu funkcji na którym bazować będzie model MES
a) - reprezentacja przemieszczeniowa
- reprezentacja naprężeniowa
- reprezentacja hybrydowa
b) - w ujęciu energetycznym
- w ujęciu wariacyjnym
* dyskretyzacja obszaru, tj. podział modelu na elementy skończone
2. *wybór położenia węzłów i liczby współrzędnych uogólnionych
* wybór funkcji aproksymacji (kształtu) w elementach
* obliczenie macierzy elementu [k], [m], [c]…
3. Agregacja macierzy elementów:
* budowa globalnej macierzy [K], [M], [C]…
* budowa wektora obciążenia [R], [R(t)]…
* wprowadzenie kinematycznych warunków brzegowych
4. Rozwiązywanie układu równań:
* statyka konstrukcji [K]{r}={R}
* dynamika (równanie ruchu)
* zagadnienia sprężysto - plastyczne
([K] - [Kp])Δ{r}=Δ{R}
* nieliniowości geometryczne
([K] - λ[KE])d{r}=0
Funkcje kształtu
Najczęściej stosowanymi funkcjami elementów są wielomiany budowane na podstawie:
- ciągów Pascala
- wielomianów Lagrange'a
- wielomianów Hermite'a - dpo dokładnego odwzorowania odkształceń
Zalety wielomianów:
- łatwość przeprowadzania na nich operacji matematycznych
- ostateczna dokładność
- można nimi aproksymować założone przebiegi zmian
Zbliżanie się do rozwiązania dokładnego osiąga się, gdy funkcje kształtu zapewniają:
1) kryterium zgodności - ciągłość przemieszczeń wewnątrz elementu oraz ich zgodność na granicach elementów
2) Kryterium stałych przemieszczeń - możliwość opisywania stałych przemieszczeń elementu, a więc jego ruchu jako ciała sztywnego
3) Kryterium stałych odkształceń - możliwość opisania stanu odkształceń (a tym samym naprężeń) wewnątrz elementu występującego przy odpowiednich przemieszczeniach węzłów
Spełniony warunek 1 - el. zgodne (dostosowane)
Spełnione warunki 2,3 - el. zupełne (niedostosowane)
Statyka konstrukcji
[K] [r]= [R]
K - sztywność konstrukcji
r - wektor przemieszczeń węzłów
R - obciążenie zewnętrzne
Dynamika (równanie ruchu)
[M]{r**}+[C]{r*}+[K]{r}={R}
Zagadnienia sprężysto-plastyczne
{[K]-[Kp]}Δ{r}=Δ{R}
Model geometryczny posiada nieskończenie wiele stopni swobody; sprowadzamy go do skończonej liczby stopni swobody:
1) nanosimy punkty zwane węzłami na konturze tam gdzie działają siły
2) dzielimy obszar na skończoną liczbę geometrycznie prostych obszarów (punkty łączymy liniami nieprzecinającymi się); pojedynczy węzeł ma 3 stopnie swobody
3) określamy liczbę st. swobody w węźle (we wszystkich taka sama)
4) przyjmujemy f. kształtu
Płyty - konstrukcje 2D, obciążone siłami prostopadłymi do ich powierzchni
Płyty cienkie (teoria) - założenia:
- płaszczyzna środkowa płyty nie doznaje odkształceń tylko ugięcia ( {ε}=0, {б}=0)
- prosta normalna do płaszczyzny środkowej przed ugięciem pozostaje prostopadła po ugięciu
- pomija się wpływ sił poprzecznych na odkształcenie
- zakłada się liniowy rozkład odkształceń i naprężeń po grubości
Należy zapewnić warunki, aby płyta pozostała ciągłą i nie tworzyły się przeguby; zatem w każdym węźle muszą być spełnione 3 warunki równowagi i warunek ciągłości
Trójkątny element płytowy CST ma 9 węzłów, w każdym z nich 3 stopnie swobody
Tetra - 12 węzłów, 3 st. swobody na każdy węzeł
Funkcja kształtu dla elementu tetra:
Ux=a1+a2x+a3y+a4z
Uy= a5+a6x+a7y+a8z
Uz= a9+a10x+a11y+a12z
{u}el.=[A] ·{a}
┌ 1xyz0000000 ┐
A= │00001xyz0000 │
└000000001xyz ┘
{u}=[A][N]-1·{V}el. - przemieszczenie liniowe