Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Jednostkami miary kątów są radian [rad] i stopień [°].

Prędkość kątowa - w fizyce wielkość opisujaca ruch po okręgu (ruch obrotowy). Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Jeśli współrzędna kątowa ciała określa kąt to wartość prędkości kątowej jest równa:

ω=

Jednostka prędkości kątowej w układzie SI to jeden radian przez sekundę.

Zależność chwilowej prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu o promieniu od chwilowej prędkości kątowej tego ciała dana jest wzorem:

V= ωR

Przyspiesznie kątowe występuje w ruchu obrotowym - jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α, a wartość prędkości kątowej oznaczymy jako ω, to wartość przyspieszenia kątowego ε wynosi:

ε=
=

Jednostka przyspieszenia kątowego w układzie SI to jeden radian przez sekundę do kwadratu.

Ruch jednostajny po okręgu - ruch po torze o kształcie okręgu z prędkością o stałej wartości, tzn. . |V|=const. Ruch jednostajny po okręgu jest ruchem niejednostajnie przyspieszonym, tzn. kierunek i zwrot wektorów przyspieszenia i prędkości zmieniają się cały czas w trakcie ruchu, nie zmieniają się natomiast ich wartości.

Ruch jednostajny po okręgu może być także definiowany jako ruch po okręgu ze stałą prędkością kątową ω=
=const

Ruch zmienny po okręgu - ruch po torze o kształcie okręgu ze zmienną wartością prędkości. W zależności od charakteru tej zmiany, można wyróżnić:

ruch jednostajnie zmienny po okręgu (wartość przyspieszenia kątowego jest stała)

ruch niejednostajnie zmienny po okręgu - wartość przyspieszenia kątowego opisana jest funkcją w czasie

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość obrotową.

I=

gdzie:

m - masa fragmentów ciała oddalonych od osi obrotu o długość r

r - odległość fragmentów ciała od jego osi obrotu

Iloczyn jest momentem bezwładności elementu ciała. Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar ML2. Zwykle mierzy się go w kgm2

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach dm, oraz niech r oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

I=

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości ciała.

W tradycyjnej matematyce moment pędu jest wielkością wektorową (pseudowektor). Moment pędu punktu materialnego względem zadanego punktu określony jest zależnością składowych

L=r

gdzie

L to moment pędu punktu materialnego,

r to wektor łączący punkt, względem którego określa się moment pędu i punkt ciała,

p to pęd punktu materialnego

Powyższy wzór można wyrazić:

L=|r||p|sin θr,p

gdzie θr,p jest kątem między r i p

Dla ciała obracającego się:

L=Iω

gdzie:

I to moment bezwładności ciała,

ω to prędkość kątowa.

Moment siły (moment obrotowy) - M siły F względem punktu O jest to iloczyn wektorowy promienia wodzącego r , o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły oraz siły

M=r

Wektor momentu siły jest wektorem osiowym (pseudowektorem), zaczepiony jest w punkcie O, a jego kierunek jest prostopadły do kierunku płaszczyzny wyznaczonej przez wektor i promień wodzący .

Określa się także moment siły względem osi, jest on równy rzutowi wektora momentu siły na tę prostą. Współrzędne Mx, My i Mz wektora nazywają się momentami siły względem odpowiednich osi x, y i z.

Jednostką momentu siły jest . Jednostka ta jest zdefiniowana analogicznie jak dżul, czyli jednostka energii. Aby nie tworzyć nieporozumień, nie sprowadza się niutonometra do dżula.

Pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego:

W inercjalnym układzie odniesienia bryła nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym (), gdy nie działajš na nie żadne momenty sił lub gdy działajšce momenty sił się wzajemnie równoważš.

Warunek równowagi bryły w ruchu obrotowym:

Bryła może nie obracać się ale przesuwać ruchem postępowym. Dlatego też dopiero łšczne spełnienie warunków równowagi dla obu rodzajów ruchu (postępowego i obrotowego) daje pewnoœć, że bryła pozostaje w spoczynku (lub ruchu jednostajnym):

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego:

(W ruchu postępowym )

(W ruchu postępowym )

(DL –zmiana momentu pędu)

, gdy oœ obrotu przechodzi przez œsrodek masy

3. Pręt o długości L i masie m I Center=1/12mL²+J Gdzie J jest momentem bezwładności pola przekroju

(rys.)

4 Twierdzenie Steinera - twierdzenie mechaniki oraz wytrzymałości materiałów opisujące sposób znajdowania momentu bezwładności danej bryły względem danej osi przy danym momencie bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek masy bryły. Jego autorem jest Jakob Steiner. Wynika ono z wpływu przesunięcia osi na momenty bezwładności i zboczenia (dewiacji, odśrodkowy), przy czym zakładamy że początek układu współrzędnych pokrywa się ze srodkiem masy ciała, więc pomijamy moment statyczny.

twierdzenie Steinera

(o transformacji momentów statycznych i bezwładności dla translacji układu współrzędnych osi centralnych y, z):

moment statyczny: Sy' = Sy + dz F

moment bezwładności: Iy' = Iy + dz² F, Iy'z' = Iyz + dy dz F

(uwaga: we wzorach Steinera zawsze jedna z osi musi być centralna)

5 Ruch harmoniczny drgania opisane funkcją harmoniczną (sinusoidalną), jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań.

Ruch harmoniczny jest często spotykanym rodzajem drgań, wiele rodzajów jest w przybliżeniu harmoniczna. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Przekształceniem umożliwiającym rozkład ruchu drgającego na drgania harmoniczne jest transformacja Fouriera.

Ruch harmoniczny prosty [edytuj]

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się tylko pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi (Prawo Hooke'a):

gdzie

- siła,

k - współczynnik sprężystości,

- wychylenia z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać jako:

(Druga Zasada Dynamiki Newtona), w postaci różniczkowej:

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnego z równań:

gdzie:

jest częstością kołową drgań,

stałe zależne od warunków początkowych.

Są to tzw. harmoniki. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

Częstość kołową ω0 wiąże z Okresem drgań T związek:

,

częstotliwość drgań ν natomiast wynosi

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

Amplituda A-maksymalne wychylenie z położenia równowagi

Okres drgań T-czyli czas, w którym ciało wykonuje jedno pełne drganie;

Częstotliwość drgań v, która informuje nas, jaka jest liczba drgań w jednostce czasu;

Cechy ruchu harmonicznego:

*Jest to ruch powtarzający się (okresowy);

*prędkość ciała ulega zmianie, zmienia się jej wartość i zwrot;

*w położeniach maksymalnego wychylenia szybkość ciała drgającego jest równa zeru;

*podczas przechodzenia przez położenie równowagi ciało ma maksymalną prędkość;

*ciało zbliża się do położenia równowagi ruchem przyspieszonym, a oddala się od niego opóźnionym.

Wahadło matematyczne - ciało o masie m i o niezmiernie małej objętości, (czyli punkt materialny), zawieszone na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l.

Wartość siły F=m*g*x/l lub F=(m*g/l)*x

Okres (w fizyce) to odcinek czasu wyrażony w sekundach. Wiąże się on bezpośrednio z pojęciem zjawisk w których jakaś wielkość powtarza się np. fali i drgań. Jest to najmniejszy czas potrzebny na powtórzenie się wzoru oscylacji. Dla fali oznacza to odcinek czasu pomiędzy kolejnymi szczytami lub dolinami. Z innymi parametrami ruchu okresowego wiążą go następujące zależności:

T=1/f

gdzie: f - częstotliwość,

T=2pi/w

gdzie: ω- pulsacja(częstość).

T=lambda/v

gdzie:

λ - długość fali,

v - prędkość rozchodzenia się fali.

Formalna definicja wiąże się z pojęciem matematycznym Funkcja okresowa i jej okresem.

Częstość (inaczej prawdopodobieństwo a posteriori) to stosunek liczby rezultatów sprzyjających danemu zdarzeniu do liczby przeprowadzonych prób w doświadczeniu losowym.

Częstotliwość określa liczbę cykli zjawiska okresowego występujących w jednostce czasu. W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). Częstotliwość 1 herca odpowiada występowaniu jednego zdarzenia (cyklu) w ciągu 1 sekundy. Najczęściej rozważa się częstotliwość drgań, częstotliwość napięcia, częstotliwość fali.

W fizyce częstotliwość oznacza się literą f lub grecką literą ν, a z innymi wielkościami wiążą ją następujące zależności:

F=1/T

gdzie:

T- okres,

f - częstotliwość,

f=w/2pi

gdzie: ω - pulsacja.

Albert Einstein zaproponował teorię fotonową, która wiąże z falą elektromagnetyczną o danej częstotliwości, pewien rodzaj cząstki zwanej fotonem, niosącej najmniejszy, niepodzielny kwant energii fali. Prowadzi to do zależności:

,

E=hv

gdzie:

h - stała Plancka,

E - energia kwantu,

ν - częstotliwość fali.

---