1. DZIAŁANIA UOGOLNIONE Rodziną Rodzina indeksowana zbioru: Sumą uogólnioną Iloczynem uogóln. Prawa de Morgana 2. RELACJA Równoważności Parą uporządkowaną Iloczynem kartezjańskim Relacja relacją równoważności Zasada abstrakcji: 3. Relacja częściowego i liniowego porządku relacja częściowego porządkującą ; porządkuje x liniowo, Element największy (najmniejszy) Element maksymalny: Element minimalny Kresy zbiorów: Zbiór oraniczonym 4. Funkcje funkcją. dziedzina argument injekcją surjekcją bijekcją Obrazy i przeciwobrazy: Własności Tw. (o parze funkcji wzajemnie odwrotnych) 5. Ciała liczbowe Ciało Ciało liczb zespolonych 6. LICZBY ZESPOLONE Liczbami zespolonymi Modułem Liczbą sprzeżoną Potęgą stopnia n Ineterpret. geometr.. Argumentem Pierwiastkiem F-jce elementarne Wrór de Moivre'a 7. Przestrzeń LINIOWA Przestrz. liniowa na R:. wektorami, grupę abelową 8. Przestrzeń metryczna I Metryka przestrzenią metryczną Kule w p.m. Zbiór otwarty punktem wewnętrz. zbioru wnętrzem zbioru 0Zbiór jest domknięty Brzeg: Domknięcie Ciągi zbieżne w p.m. Własności 9. Przestrzen metryczna II Warunek zbieżności ciągu (Cauchy'ego) Przestrzeń metr. zupełna Tw. (Banacha o punkcie stałym) Dowód: 10. Prestrzeń metryczna III Zbieżność jednostajna Zbieżność niemal jednostajna: 11. przestrzeń metr. iV, granice, ciągłość f-cji Definicja granicy (Heinego): (Cauchy'ego): Własności: Ciągłość funkcji: (Heinego ciągłości funkcji): (Cauchy'ego): Jednostajna ciągłość a lipschitzowalność: Def. (Warunek Lipschitza): 12. WŁASNOŚCI F-cJI CIĄGŁYCH na zb. zwartym Zbiory zwarte: TW. (Cantora o jedn. ciągł.). Dowód: TW.(Weierstrassa): Dowód: 13. ciągi rzeczywiste I Granica właściwa ciagu i własn.: war. Cauchy'ego zbieżności ciągu: Własn. c. zbież. do gran wł. Tw. o 3 ciągach: TW. (o ciągu ograniczonym) TW. (o ciągu monotonicznym) 14. ciągi rzeczywiste II Zupełność przetrz. metryczn. R: Granice niewłaściwe: 15. Pochodna f-cji 1 zmiennej I
pochodną f-cji w punkcie Def: Iloraz różnicowy TW. (o reprezentacji przyrostu): Dowód: Warunek koniecz. różniczkow. f-cji f w p.m.: Dowód: 16. Pochodna f-cji 1 zmiennej II TW.(O pochodnej funkcji złożonej): Def: Pochodną n-tego rzędu TW.(O pochodnej funkcji odwrotnej): TW.(o pochodnej sumy, ilocz. ilorazu) 17. Twierdzenia o wartości średniej TW.(Rolle'a):. Dowód: TW.(Lagrange'a): Wnioski: TW.(Taylora): Dowód: Wz. Maclaurina:
18. Całka Riemanna I Suma całkowa Riemanna całką oznaczoną (Riemanna) Warunek koniczny R-całkow. f-cji: Warunek koniczny i wystarczaj. R-całkow. f-cji 19. Całka Riemanna II Liniowość całki Riemanna: (addytywność całki) i inne wlasności Operator całkowy TW (O całkowaniu przez podstawienie całki ozn.): TW (O całkowaniu przez części): TW (O całkowaniu przez części dla całki oznaczonej): Tw. (o jednostajnej ciągłości Własności całki oznaczonej: (Newtona - Leibniza): 20. Całka Riemanna III Interpretacja geometryzna całki oznaczonej: Wzory na pola objetosci i dlugosci 20. B RACHUNEK CAŁKOWY FUNCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Def: Funkcją pierwotną ; całkowalną w sensie Newtona (Warunek wystarczający całkowalności funkcji): (O istnieniu nieskończenie wielu funkcji pierwotnych danej f-cji): (O jednakowej postaci wszystkich funkcji pierwotnych danej f-cji): całką nieoznaczoną f-cji (O pochodnej całki): TW (Całka pochodnej): TW (O ograniczoności funkcji podcałkowej): TW (O całkowaniu funkcji ciągłej): TW 21. CAŁKA NIEWŁAŚCIWA Całk. niewł. z f-cji ograniczonej na przedz nieogranicz Def.1b:(zbieżność) Def.2a: Całk. niewł. z f-cji nieogr. na przedz skończ.: (zbieżność) Podstawowe kryt. zbieżn. całk. niewł bezwzględnie zbieżna, warunkowo zbieżna. Różne rodzaje zbieżn. cał niweł.: 22. Całki Eulera Def. Całka Eulera Własn: całka β całka Γ 23. Szeregi liczbowe Def. Szeregiem liczbowym Def. (zbieżności szeregu) TW. (war. koniczny zbieżn. szeregu) Dowód: Tw. (o zbieżn. bezwzgle. szeregu) Dowód: TW. (szereg zespolony) 24. SZEREGI Liczbowe II Tw. (kryterium porównawcze zbieżn. Tw. (kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego) Tw. (Kryterium ilorazowe d'Alamberte'a) Tw. (kryterium całkowe 25. SZEREGI Liczbowe III Szereg naprzemienny Tw. (Kryterium Leibnitza) warunkowo zbieżnym, 26. SZEREGI FUNKCYJNE I Def: (szeg funkcyjny rzeczywisty) Zbieżność punktowa: Def. (Zbieżność jednostajna): Def. (niemal jednost. zbież) Tw. (kryterium Weierstrassa,) zbieżny jednostajnie i bezwzględnie. Tw. (o ciągłości sumy szer. f.) Tw. (o całkowaln. sumy szer.) Tw. (o różniczkowaln. sumy szer.) 27. SZEREGI Funkcyjne II potegowe Promień zbieżn szer. potęgow. Tw (Cauchy'ego- Hadamarda o promieniu) Tw. (o całkow. szer. potęgow.) Tw. (o różniczkow. szer. potęgow.) Szer. potęgow. zesp: