I. PRAWO KIRCHOFFA i PROMIENIOWANIE CIAŁA CZARNEGO : Dla każdego ciała istnieje cała rodzina krzywych widmowego rozkładu promieniowania W = W() (W - całkowita emisja energetyczna promieniowania). Każda krzywa odpowiada określonej temperaturze. Aby wytłumaczyć przebieg tych krzywych w fizyce rozpatruje się wyidealizowane ciało zwane ciałem doskonale czarnym. Ciało doskonale czarne jest idealnym ciałem, jeśli chodzi o własności związane z promieniowaniem i pochłanianiem. Całkowicie pochłania promieniowanie elektromagnetyczne padające na jego powierzchnie. Tworzone modele ciała dosk. czarnego służą do badania zależności W = W(,T) ; Badania nad modelami doświadczalnymi ciał dosk. czarnych doprowadziły do sformułowania szeregu ważnych praw. m.in. prawa Kirchoffa ( dW wyprom. = dW pochłon. ) które głosi, że stosunek widmowej zdolności emisyjnej W(,T) do widmowej zdolności pochłaniania A(,T) dla każdej długości fali i w każdej temperaturze T jest jednakowy dla wszystkich ciał : W(,T) / A(,T) = E(,T) ; Z tego prawa wynika, że ciało znajdujące się w stanie równowagi termodynamicznej tym silniej absorbuje, im silniej emituje. Dla ciała doskonale czarnego widmowa zdolność pochłaniania (absorbowania) A(,T) = 1 ,co oznacza że ciało doskonale czarne całkowicie pochłania padające promieniowanie. Natomiast zdolność emisyjna c.dosk.cz. EvT = dW wyp./ dv [J/m2] .II. PRAWO STEFANA-BOLTZMANA i WIENA : Prawo Wiena . Ze wzrostem temperatury widmo promieniowania ciała doskonale czarnego przesuwa się w stronę fal krótszych. Oznacza to, że ze wzrostem temperatury długość fali, dla której spektralna zdolność emisyjna jest maksymalna przesuwa się w kierunku niższych wartości. max.T = b = const. [m.*K] T/ max = const. (krzywe) Prawo Stefana-Boltzmana .Strumień energii R* emitowany w całym zakresie spektralnym z jednostki powierzchni ciała doskonale czarnego (tzn. całkowita zdolność emisyjna) jest proporcjonalny do czwartej potęgi temperatury T w skali Kelvina .R*=σ III. ROZKŁAD PROMIENIOWANIA CIAŁA CZARNEGO WEDŁUG JEANSA i PLANCKA : Wyjaśnienie prw rządzących promieniowaniem ciała doskonale czarnego (a także ciał rzeczywistych ) wymaga przyjęcia, Ze promieniowanie elektromagnetyczne jest emitowane oraz absorbowane w postaci osobnych porcji energii (kwantów) o wartości E = hc / , gdzie h=6,626*10-34 Js jest stałą Plancka, a jest długością emitowanej (absorbowanej) fali. Założenie to oznacza, że energia fali powinna być całkowitą wielokrotnością hc/ : En = nhc / (n=0,1,2, ...) Założenia te pozwoliły na teoretyczne wyznaczenie spektralnej zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego (wzór Plancka) zgodnej z doświadczeniem. Wzór Plancka na zdolność emisyjną c.dosk.cz. : (,T) =( 2c2 / 5 )* ( h / exp (hc/kT) - 1) - długość emitowanej fali elektromagnetycznej ; k - stała Boltzmana h - stała Plancka ; Krzywa teoretyczna otrzymana ze wzoru Plancka jest zgodna z krzywą doświadczalną w ramach błędów doświadczalnych. Energia oscylatora promieniującego nie zależy od temperatury tylko od częstości. - hv - energia kwantu. IV.ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE (FOTOEFEKT) : Po oświetleniu powierzchni katody światłem o częstotliwości v większej niż pewna, charakterystyczna dla danego materiału wartość graniczna v gr , w układzie popłynie prąd elektryczny (tzw. fotoprąd) Pojawienie się fotoprądu jest wywołane emisją elektronów z powierzchni katody. Aby elektron mógł opuścić metal należy dostarczyć mu pewną minimalną wartość energii którą nazywamy pracą wyjścia. W tym przypadku energię tę elektron uzyskuję w wyniiku absorpcji energii fali elektromagnetycznej. Dla większości metali wartość pracy wyjścia jest bliska 4 eV. Przy stałym oświetleniu katody, wzrost różnicy potencjałów pomiędzy katodą a anodą powoduje początkowo wzrost wartości fotoprądu, a następnie wartość fotoprądu ulega nasyceniu. W zakresie nasycenia wartość fotoprądu jest wprost proporcjonalna do oświetlenia powierzchni i nie zależy od innych parametrów. Podsumowując : 1.prędkość elektronów i ich energia jest funkcją tylko częstotliwości V=f(v) E=f(v) (nie zależy od oświetlenia) 2.dla każdej katody istnieje pewna graniczna częstość poniżej której fotoefekt nie nastąpi. 3.Natężenie prądu (ilość elektronów) zależy od oświetlenia. (rys ) V.ZJAWISKO COMPTONA . jest to zmiana długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach. Zjawisko to można wyjaśnić przyjmując korpuskularny charakter fali elektromagnetycznej ,tzn. przyjmując, że fala elektromagnetyczna o częstotliwości v i długości jest strumieniem cząstek (fotonów) o energii E=hv (E=hc/) i wartości pędu p.=h/ . Wówczas rozpraszanie fali elektromagnetycznej rozpatrywać możemy jako proces zderzania fotonów o pędzie p0f i energii E=hc/0 ze spoczywającymi elektronami. W wyniku tego zderzenia elektron uzyskuje pęd pe ,a pęd fotonu maleje do wartości pf .Tym samym długość rozpraszanej fali elektromagnetycznej zwiększa się do wartości =h/pf . Równocześnie o kąt ulega zmianie kierunek propagacji fali. Zmiana długości fali jest tym większa, im większy jest kąt rozproszenia. Zależność zmiany długości fali od kąta rozpraszania wyznaczyć można wykorzystując prawo zachowania pędu : p.0f = pf + pe oraz prawo zachowania energii hv + mec2 = hv' + Ek ; Zasada zachowania pędu dla dwóch kierunków równoległego i prostopadłego x,y względem kier. Padania fotonu : x: hv/c = (hv'/c) cos + pcos y: 0 =( hv'/c )sin -psin z.z.e. + z.z.p. = (1-cos ) ,gdzie =h/(m0c) Z powyższego wzoru (wzór Comptona) wynika, że zmiana długości fali w zjawisku Comptona nie zależy od energii fotonu padającego, lecz jedynie zależy od kąta jego rozproszenia . VI. FALE MATERII (FALE DE BROGLIE'A) : L.de Broglie założył, że dualizm cząstkowo-falowy jest własnością charakterystyczną nie tylko dla fali elektromagnetycznej, ale również dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera. Oznacza to, że cząstki takie jak np. elektron powinny również wykazywać własności falowe. Fale te nazwał on falami materii. Założył, że długość fal materii określona jest tym samym związkiem, który stosuje się do fotonów. Hipoteza de Broglie'a została po raz pierwszy eksperymentalnie potwierdzona w 1924 roku przez .C.J.Davissona i L.G.Germera .Pokazali oni, że elektrony podobnie ja światło, mogą ulegać dyfrakcji. Foton ma energię fali, którą nazywamy kwantem : E=hv Pęd fotonu p.=mc=hv/c=h/ ;foton jest cząstką posiadającą mase m=hv/c2 ,prędkość fotonu c=/T=v VII.ZASADA NIEOZNACZONOŚCI :Zasada nieoznaczoności opisuje jedną z podstawowych własności przyrody. Jest ona konsekwencją falowo-cząsteczkowej natury materii. Pojawia się ona ,gdy opis zachowania się cząstek (lub ogólnie obiektów) w mikroświecie chcemy przeprowadzić używając pojęć wziętych z makroświata. Zasada nieoznaczoności mówi o tym, że pewnych wielkości fizycznych nie można zmierzyć jednocześnie z dowolną dokładnością . Taką własność mają pęd i położenie a także inna para wielkości : energia i czas. Z im większą dokładnościa znamy np. pęd cząstki tym mniejsza jest dokładność określenia położenia. Wielkości fizyczne połączone zasadą nieoznaczoności nazywamy kanonicznie sprzężonymi. AB >= h ; h - stała Plancka ; Jeżeli mamy do czynienia z małymi przedmiotami jak elektrony to pomiar wprowadza nie-oznaczoność . Im bardziej określamy położenie elektronu tym mniej dokładnie możemy określić jego prędkość i odwrotnie. VIII. WIDMO CIĄGŁE I CHARAKTERYSTCZNE PROMIENIE RENTGENOWSKIE ; PRAWO MOSELEYA : Widmo ciągłe obejmujące wszystkie barwy światła od czerwieni do fioletu, charakteryzują rozżarzone ciała stałe i ciekłe oraz gazy pod bardzo dużym ciśnieniem. W tych przypadkach atomy jeszcze silniej oddziałują ze sobą. Rozkład natężenia zależy od rodzaju ciała i jego temperatury; im ona jest wyższa, tym bardziej maksimum natężenia w widmie przesuwa się w stronę fal krótkich. Serie widma charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego mają strukturę nieco odmienną od widm optycznych. Zależność częstości v lub długości fali charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego od liczby atomowej (porządkowej) pierwiastka wysyłającego to promieniowanie wykrył H.Moseley w postaci v = CR (Z-s)2 gdzie R - stała Rydberga C i s - wielkości stałe, charakterystyczne dla danej serii, Z - liczba porządkowa pierwiastka ** Rozpędzone różnicą potencjałów U elektrony mające energię Ek=eU przenikając w głąb anody zderzają się z atomami i tracą przy tym posiadaną energię kinetyczną. Przy każdym zderzeniu energia kinetyczna Ek danego elektronu zostaje, w części lub w całości, zamieniona na energię promieniowania rendgenowskiego. Ponieważ straty energii Ek przy każdym zderzeniu są różne, to wysyłane jest promieniowanie o różnych częstościach v. Częstość wysyłanego fotonu nie może być jednakże większa niż graniczna wartość vgr taka, że hvgr=eU . Foton o energii równej hvgr powstaje wówczas, gdy elektron padający na anodę traci całą swoją energię kinetyczną w jednym zderzeniu. Częstości granicznej wysyłanego fotonu odpowiada minimalna dlugość fali taka, że min = c/vgr = ch/eU IX. ATOM BOHRA - SERIE WIDMOWE : Bohr przyjął następujące założenia : atom wodoru może znajdować się jedynie w ściśle określonych stanach stacjonarnych, w których nie promieniuje energii; warunkiem wypromieniowania energii jest przejście atomu ze stanu o energii wyższej Ek do stanu o energii nizszej Ei ,co opisuje rownanie hv = Ek - Ei . Model atomu Bohra : wokół jądra atomu wodoru, które zajmuje niezwykle małą jego częśż, po orbitach kołowych porusza się elektron. Najpowszechniejszy izotop wodoru ma Z=1 i A=1 .Przyjmując w przybliżeniu, że środek masy układu proton-elektron pokrywa się ze środkiem protonu i korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona zastosowanej do ruchu po okręgu i prawa Coulomba, mamy e2/4r2 = mV2/r a stąd energia kinetyczna elektronu Ek=e2/8r energia potencjalna układu proton-elektron : Ep= - e2 / 4r * Zmiane energii elektronu podczas przejścia ze stanu o energii En do stanu o energii Em równa jest energii emitowanego fotonu równej hv ,gdzie v jest częstością emitowanej fali . hv = En - Em = (e4m/8 (m2 - 1/n2) Korzystając ze związku v=c/ ,gdzie c jest prędkością światła otrzymujemy wzór na odwrotnośc długości fali. Stała Rydbergera R = e4m. / 8h3c = 1,097 * 107 m.-1 * Dozwolone energie elektronu En= - e4m. / 8h2 *(1/n2) = E1/n2 gdzie E1 - energia stanu podstawowego n - główna liczba kwantowa * Zgodnie ze wzorem 1/ = Z2R (1/k2 - 1/n2) n>k możemy przejścia elektronu między swantowanymi poziomami energetycznymi atomu wodoru przedstawić w postaci tzw. serii. SERIE : Lumana n>1 k=1 ;Balmera n>2 k=2 ; Paschena n>3 k=3 ; Bracketta n>4 k=4 ; Nie wszystkie orbity kołowe w atomie Bohra są dozwolone a tylko takie, dające się ponumerować liczbą naturalną n ,na których elektron ma moment pędu o wartości będącej wielokrotnością stałej h : m. rn vn = n h W tym wzorze rn jest promieniem dozwolonej orbity kołowej a vn prędkością elektronu na tej orbicie. Numer orbity n można utożsamiać z główną liczbą kwantową. X. LICZBY KWANTOWE i ZAKAZ PAUULIEGO : Każda funkcja falowa opisuje nam jeden dozwolony stan elektronu. Ilość możliwych stanów elektronu równa jest ilości różnych funkcji falowych otrzymanych z rozwiązania równania Schroedingera. Funkcje falowe elektronu w atomie wodoru dadzą się ponumerować przy pomocy trzech liczb całkowitych : n , l i ml zwanych liczbami kwantowymi. (Istnieje jeszcze związana ze spinem czwarta liczba kwantowa ms = +- 0,5 tzn. magnetyczna spinowa liczba kwantowa ) . Energia elektronu w atomie wodoru En zależy jedynie od głównej liczby kwantowej n (n=1,2,3 ...) Elektron posiadający określoną energie może znajdować się w różnych stanach opisanych liczbami kwantowymi l i ml .Stany o różnych wartościach orbitalnej ( azymutalnej bądź też pobocznej) liczby kwantowej l (l=0,1,...n-1), różnią się wartością orbitalnego momentu pędu. Stany dla l=0 nazywają się stanami s, stany dla l=1 stanami p. , a stany dla l=2 stanami d ,. Wartość głównej liczby kwantowej n podaje się przed umownym oznaczeniem liczby kwantowej l. Ponieważ l jest zawsze mniejsze niż n ,to możliwe są następujące stany elektronów : 1s,2s,2p.,3s,3p.,3d,4s,4p.,4d,4f itd. .Liczba kwantowa ml jest związana z rzutem wektora momentu pędu na wyróżniony kierunek np. oś OZ .Dla danego l możliwych jest 2l+1 stanów różniących się liczbą kwantową ml. Zakaz Pauliego :W atomie stan określany przez cztery liczby kwantowe n, l, ml, ms ,może być zajęty tylko przez jeden elektron. W atomie nie mogą istnieć elektrony o tych samych liczbach kwantowych.; n=1,2,3... - główna liczba kwantowa opisująca energie elektronu ; l=0,1,2...,n-1 - orbitalna liczba kwantowa opisujaca moment pędu elektronu ; ml=0,+-1,...,+-l - magnetyczna liczba kwantowa opisująca rzut momentu pędu elektronu na wyróżniony kierunek w przestrzeni ; ms=+-0,5 - magnetyczna spinowa liczba kwantowa ; XI. - RÓWNANIE SCHROEDINGERA : Funkcje falową dla danej cząstki, lub bardziej złożonego układu fizycznego, otrzymujemy rozwiązując równanie różniczkowe nazywane równaniem Schroedingera . Jeżeli energia potencjalna cząstki U nie zależy od czasu, to równanie to jest równaniem niezależnym od czasu i nazywa się stacjonarnym równaniem Schroedingera. Rozwiązanie tego równania jest możliwe tylko dla pewnych wartości energii E, które nazywamy dozwolonymi energiami układu, gdyż tylko takie wartości energii może dany układ fizycznie posiadać. Rozwiązując równanie Schroedingera dla dozwolonych wartości energii E, otrzymujemy funkcje falową (x,y,z) opisujące stany o tych energiach (stany stacjonarne). Stacjonarne równanie Schroedigera jest równaniem na wartości własne operatora energii całkowitej (tzw.operatora Hamiltona) . Równ. : 2m/h2 *(E-U) Stacjonarne równanie Schr. Opisuje własności falowe cząstki. XII. CZĄSTKA W JAMIE POTENCJAŁU . W przypadku gdy energia potencjalna pola jest równa zero w obszarze [0, l] a poza nim U0 .Taki kształt energii potencjalnej nazywamy jamą (studnią) potencjału. Upraszczając gdy U0 niesk. (nieskończona studnia potencjału) Wtedy dla dowolnej energii E cząstka nie może opuścić jamy potencjału, albo innymi słowy prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajduje się poza obszarem [0,l] jest równe zero. W obszarze [0,l] równanie Schroedingera ma postać taką jak dla cząstki swobodnej (gdyż U(x)=0 ) : ( -h2 d2 / 2m dx2 )(x) = E(x) Ponieważ cząstka jest „uwięziona” w jamie potencjału to odpoiadająca jej fala de Broglie'a będzie sumą zarówno fali biegnącej w prawo, Ae+i kx ,jak i w lewo -Be-i kx (A i B stałe). Rozwiązaniem równania Schroedingera jest więc funkcja mająca postać (x) = Csin(kx+) ,gdzie C jest amplitudą, a fazą początkową . Ponieważ otrzymana funkcja falowa musi być funkcją ciągłą, a z drugiej strony jej wartość poza jamą potencjału jest równa zeru, to muszą być spełnione warunki (0)=0 oraz (l)=0 .Warunek pierwszy daje, że =0 ,a drugi kl=n ,gdzie n=+-1,+-2 ... .Podstawiając tak otrzymane wartości k do wzoru na energie E=h2k2 / 2m. otrzymujemy dyskretne wartości energii En dozwolonych stanów cząstki w nieskończonej studni potencjału. Amplitudę C otrzymujemy z warunku normalizacji funkcji falowej. XIII.KWANTOWY OSYLATOR HARMONICZNY : Oscylatorem harmonicznym nazywamy czątkę o masie m. która pod działaniem siły sprężystej wykonuje drgania o częstotliwości kątowej własnej 0 wzdłuż pewnego kierunku. .* Klasycznie oscylatorem harmonicznym nazywamy cząstkę o masie m. wykonującą jednowymiarowy ruch pod wpływem sprężystej siły F=-kx ,gdzie k jest współczynnikiem sprężystości. Energia potencjalna cząstki ma wtedy postać U(x)= kx2 / 2 = m2x2 / 2 ,gdzie jest częstością kołową drgań. W mechanice kwantowej zagadnienie drgań oscylatora harmonicznego otrzymujemy rozwiązując równanie Schroedingera, w którym energię potencjalną wstawiamy U(x)= m2x2 / 2 ,czyli : -(h2d2 / 2m. dx2) + (m2x2 / 2) = E Rozwiązując powyższe równianie otrzymujemy energie dozwolonych poziomów energetycznych E=En . W odróżnieniu od cząstki w studni potencjału, odległości miedzy dozwolonymi poziomami energii są stałe i wynoszą h = hv . Najmniejsza możliwa wartość energii oscylatora (np.atomu w sieci krystalicznej) jest różna od zera i wynosi E0=1/2 hv XIV. EFEKT TUNELOWY (przejście cząstki przez barierę potencjału ) : Jest to zjawisko w którym ujawnia się falowa natura cząstki. Potencjał pola U(x) w jest w postaci tzw. bariery energetycznej (zwanej też barierą potencjału) Ma ona charakter prostokątny o wysokości U i szerokości L U(x) = { 0 dla x<0 ; U dla 0=<x<L ; 0 dla x>= L ; Cząstka (np.elektron) zbliża się do bariery z lewej strony. W przypadku klasycznym, jeżeli energia całkowita cząstki E jest mniejsza niż U cząstka odbija się od bariery i będzie poruszać się z powrotem w kierunku, z którego przybyła. Według mechaniki kwantowej istnieje skończone prawdopodobieństwo tego, że cząstka pojawi się z drugiej strony bariery i będzie kontynuować ruch w prawo. Poprawny opis tunelowania cząstki otrzymuje się z rozwiązania równania Schroedingera z przedstawionym potencjałem U(x). Otrzymana, z rozwiązania równania funkcja falowa służy następnie do wyznaczenia gęstości prawdopodobieństwa znajdowania się cząstki w danym miejscu na osi OX . Gestość prawdopodobieństwa jest równa kwadratowi modułu funkcji falowej ||2 .Taką a nie inną zależność gęstości prawdopodob. Znalezienia cząstki przed, wewnątrz i za barierą możemy intuicyjnie zrozumiec mając na uwadze jej własności falowe. Z lewej strony bariery (x<0), mamy falę poruszającą się w prawo i falę o nieco mniejszym natężeniu poruszającą się w lewo. Te dwie fale (padająca i odbita) nakładają się dając obraz interferencyjny. Z prawej strony bariery (x>L), mamy jedynie falę poruszającą się w prawo o amplitudzie mniejszej niż fala padająca na barierę. Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki za barierą jest stała, taka jak dla cząstki swobodnej.