Tematy 2006/2007

1. Elementy teorii błędów.

Oznaczenia : x,y,z, .... oraz *x, *y, *z, .... - wielkości przybliżone oraz oszacowania błędu bezwzględnego tych wielkości.

1. Wyjaśnić pojęcia związane z błędem: liczba przybliżona, błąd bezwzględny i błąd względny.

2. Wyprowadzić wzory na błąd bezwzględny i błąd względny wartości funkcji jednej i wielu zmiennych.

3. Wyprowadzić wzory na błąd bezwzględny i błąd względny działań arytmetycznych: sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu.

4. Obliczyć błąd bezwzględny i błąd względny wartości funkcji f, gdy np. f(x) = xy² oraz x =1, y =2 oraz *x=0.1, *y=0.05.

5. Obliczyć błąd bezwzględny i błąd względny objętości prostopadłościanu o bokach x=2 cm, y=3 cm i z=2 cm, jeżeli błąd przyrządu pomiarowego użytego do pomiarów boków wynosi 0.01 cm.

6. Wyjaśnić pojęcia: uwarunkowanie zadania numerycznego oraz wskaźnik uwarunkowania zadania numerycznego.

7. Podać wskaźnik uwarunkowania dla zadania obliczania wartości funkcji jednej zmiennej y = f(x). Obliczyć ten wskaźnik, gdy f(x) = exp(-x).

8. 
   Podać wskaźnik uwarunkowania dla zadania rozwiązywania układu równań liniowych Ax = b. Obliczyć ten wskaźnik, gdy

2. Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów.

Rozważamy zadanie znajdowania pierwiastków rzeczywistych

a) równania skalarnego f(x) = 0, a*x*b,

b) układu F(x) = 0.

2.1 Na czym polegają metody iteracyjne rozwiązywania rozważanego obecnie zadania numerycznego (dla

przypadku skalarnego). Zdefiniować wykładnik zbieżności takich metod. Podać ten wykładnik dla metody:

siecznych, stycznych, bisekcji.

2.2 Dla równania skalarnego, omówić metodę

a) siecznych, b) stycznych, c) bisekcji.

2.3 Podać założenia dotyczące

a) funkcji f, b) przedziału [a,b], c) punktów (punktu) startowych,

zapewniające zbieżność do pierwiastka ciągu generowanego przez metodę: siecznych, stycznych, bisekcji.

2.4 Wyznaczyć pierwsze przybliżenie:

np. w metodzie stycznych, gdy f(x) = 2x⁴-x² i punkt startowy x₀ = 1.

2.5 Czy można stosować metodę

np. stycznych, gdy f(x) = e^x-x-1 i punkt startowy x₀ = 0 ?

3. Interpolacja.

Funkcja przybliżana f zadana jest na zbiorze dyskretnym punktów {x₀,x₁, .... ,x_n} - znane są jej wartości y_i = f(x_i) w punktach x_i (i=0,1,....,n).

3.1 Sformułować zadanie interpolacyjne Lagrange'a.

3.2 Sformułować i udowodnić twierdzenie o jednoznaczności rozwiązania zadania interpolacyjnego Lagrange'a.

3.3 Podać wielomian interpolacyjny w postaci Lagrange'a dla funkcji f określonej następująco:

np. f(1) = 2, f(2) = 3, f(4) = 2.

3.4 Zdefiniować iloraz różnicowy 1-go rzędu, 2-go rzędu i ogólnie k-go rzędu.

Wyznaczyć tablicę ilorazów różnicowych dla funkcji f określonej następująco:

np. f(0) = 1, f(1) = 3, f(3) = 2.

3.5 Podać wielomian interpolacyjny w postaci Newtona dla funkcji f określonej następująco:

np. f(0) = 1, f(2) = 3, f(3) = 2.

3.6 Podać definicję funkcji sklejanej stopnia trzeciego.

3.7 Sformułować zadanie interpolacji przy pomocy funkcji sklejanych stopnia trzeciego. Czym są dodatkowe

warunki ?

3.8 Narysować bazę funkcji sklejanych stopnia trzeciego , gdy liczba węzłów równoodległych wynosi np. 7.

4. Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna.

Funkcja przybliżana f zadana jest na zbiorze dyskretnym punktów {x₀,x₁, .... ,x_n} - znane są jej wartości y_i = f(x_i) w punktach x_i (i=0,1,....,n).

4.1 Sformułować zadanie aproksymacji średniokwadratowej dyskretnej.

Rozważyć przypadki aproksymacji typu wielomianowego i trygonometrycznego.

4.2 Wyprowadzić układ równań normalnych, gdy funkcja przybliżająca F jest postaci np.

F(x) = a₀,

F(x) = a₀+a₁x,

F(x) = a₀+a₁x+a₂x²,

F(x) = a₀+a₁sin(x)+a₂cos(x).

4.3 Przyjmując, że G=M^TM jest macierzą Grama, podać postać macierzy M., gdy np.

a) 2, x, x², 2^x są funkcjami bazowymi,

2. aproksymacji dokonujemy na zbiorze {-1,0,2,3}.

4.4 Omówić problem uwarunkowania zadania rozwiązywania układu równań normalnych.

5. Całkowanie numeryczne.

Rozważamy zadanie obliczania całki

gdzie p jest funkcją wagową.

5.1 Co to jest kwadratura ? Omówić rolę funkcji wagowej p.

5.2 Podać definicję rzędu kwadratury. Wykazać, że

np. kwadratura postaci S(f) = 2f(0), gdy a = -1, b = 1 oraz p(x) = 1, jest dokładna dla wielomianów

pierwszego stopnia.

5.3 Omówić prosty i złożony wzór trapezów.

5.4 Omówić prosty i złożony wzór parabol.

5.5 Omówić błąd złożonego wzoru trapezów i złożonego wzoru parabol.

5.6 Omówić 2 - punktową prostą i złożoną kwadraturę Gaussa-Legendre'a.

6. Rozwiązywanie zagadnień początkowych dla równań różniczkowych zwyczajnych.

6.1 Omówić metodę rozwijania rozwiązania w szereg potęgowy.

6.2. Omówić metody dyskretne. Wyjaśnić pojęcia: zbieżność i rząd metody dyskretnej.

6.3 Omówić jawną i niejawną metodę Eulera.

6.4 Dane jest zagadnienie początkowe y' = y + x, y(0) = 1. Za pomocą jawnej metody Eulera obliczyć y₁ oraz

y₂, gdy krok całkowania h = 0.1.

6.5 Dane jest zagadnienie początkowe y' = 2y + x, y(1) = 1 oraz metoda dyskretna (metoda Heuna rzędu 2-go)

gdzie f_i = f(x_i,y_i). Obliczyć y₁, gdy krok całkowania h = 0.2.

6.6 Wyznaczyć trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia w szereg potęgowy rozwiązania y = y(x) zagadnienia

początkowego y ' = 3y² +x, y(1) = 0.

---