DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH

Dla liczb naturalnych m i n oraz liczb rzeczywistych a≥0 i b≥0 prawdziwe są następujące wzory:

Przykład:
Przykłady zastosowania pierwszego wzoru:


Powyższe wynika bezpośrednio z definicji pierwiastkowania jako działania odwrotnego do potęgowania.

Przykłady zastosowania drugiego wzoru:



Przykłady zastosowania trzeciego wzoru:



Przykłady zastosowania czwartego wzoru:



Przykłady zastosowania piątego wzoru:

WYŁĄCZANIE CZYNNIKA PRZED PIERWIASTEK

Bardzo duże znaczenie praktyczne ma tak zwane wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Z własności działań na pierwiastkach mamy:

Należy więc liczbę pod pierwiastkiem sprowadzić do postaci: a ⁿ∙b
Przyjrzyjmy się zatem przykładom:

Przykład:

Powyższe przykłady dotyczą małych liczb. Co zrobić, gdy mamy do czynienia z dużymi liczbami pod pierwiastkiem? Korzystamy wówczas z rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Następnie zakreślamy po tyle samo liczb pierwszych (najlepiej w różny sposób kolejne grupy) ile wynosi stopień pierwiastka i mnożymy przez siebie po jednej z każdej grupy otrzymując w ten sposób liczbę a ze wzoru a ⁿ∙b. Liczbę b stanowi iloczyn niezakreślonych liczb pierwszych.
Opisany wyżej sposób ilustruje przykład:

Przykład:
Obliczamy
.


Rozkładamy więc liczbę 1296 na czynniki pierwsze i ponieważ obliczamy pierwiastek trzeciego stopnia zaznaczamy grupy takich samych liczb po 3 tak, jak to ilustruje rysunek.
Zgodnie z powyższą procedurą mamy a = 2 ∙ 3 = 6 (z zakreślonych liczb) oraz b = 2 ∙ 3 = 6 (z pozostałych niezakreślonych liczb). Zatem 1296 = 6 ³ ∙ 6. Z tego
.

Powyższa procedura jest prosta, ale ma jedną wadę - trzeba ją pamiętać.
Można więc po prostu skorzystać z prostego rachunku, aby uzyskać ten sam wynik.
Z rozkładu na czynniki pierwsze oraz z działań na potęgach wiemy: 1296=2∙2∙2∙2∙3∙3∙3∙3=2³∙2∙3³∙3=6³∙6


Warto poćwiczyć wyłączanie czynnika przed pierwiastek, ponieważ spotkasz się z tym praktycznie na każdym kroku podczas rozwiązywania zadań. Proponuję aby wyjąć czynnik przed pierwiastek stopnia drugiego, trzeciego, czwartego i piątego dowolnej liczby z zakresu od 10 do 10000 i sprawdzić wynik w tablicach w niniejszym portalu.

---