Moduł sztywności

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie modułu sztywności niektórych metali .

Metoda opiera się na pomiarze okresu drgań skrętnych.

Moduł sztywności wyrażony jest w postaci : G = τ / γ . We wzorze tym τ jest naprężeniem stycznym natomiast γ jest odkształceniem postaci jak na rys.1 .

Skorzystanie ze zjawiska skręcenia pręta jest wygodne ponieważ jego skręcenie

zależy tylko od jego modułu sztywności G oraz gabarytów pręta . Skręcenie następuje pod wpływem działania pary jednakowych sił , a jego wymiary pozo-

stają nie zmienione.Weźmy odcinek pręta jak na rys.1.Promień OB obróci się do

położenia OB` o kąt który oznaczymy jako ϕ .Odcinki AB i DC na powierzchni zewnętrznej pochylą się o kąt γ` tak , że kwadrat ABCD przekształci się w romb

AB`C`D.Możemy więc przyjąć że kąt γ` będzie nam wyrażał odkształcenie pręta .

Jego wielkość jest proporcjonalna do odległości od osi badanego pręta .

Całkowity moment siły liczymy przez scałkowanie sił cząstkowych dF pochodzących od pierścieni o promieniu x i grubości dx (rys.2) .

Obserwując całą długość pręta zauważamy , że odkształcenie postaci materiału pierścienia

wynosi : γ = (ϕ * x)/l

Stosując prawo Hooke`a wartość naprężenia wynosi τ = G * γ = (G * ϕ * x) / l , natomiast

dF = τ * dS , czyli dF = [(G * ϕ *x) / l] * 2πxdx

Stąd każdy pierścień jest żródłem momentu dM = dFx . Po scałkowaniu otrzymujemy :

_r

M = ∫ dM = [(πGr⁴ ) / 2l] * ϕ

⁰

Ponieważ pomiar tych wielkości statycznych jest niewygodny , posłużymy się metodą dynamiczną , umożliwiającą uzyskanie potrzebnych danych . Przymocowując do końca

pręta masę o momencie bezwładności I₀ mierzymy okres drgań pręta . Czynności te są

fizycznie łatwiejsze do zrealizowania . Jak łatwo zauważyć nasze wahadło będzie miało

samo w sobie moment bezwładności . Aby uniknąć potrzeby wyznaczania go wykonujemy

dwie serie pomiarów . Pierwszą przy wahadle nie obciążonym , drugą przy wahadle obciążonym masą o łatwym do wyznaczenia momencie bezwładności .

Definiując D = M / ϕ = (πGr⁴) / 2l (1) jako stałą skręcenia otrzymujemy wzory na okresy

drgań wahadła :

T₁ = 2π I_x / D , T₂ = 2π (I_x + I₀) / D

Wyliczając z powyższych wzorów D nie zależne od I_x oraz podstawiając wyliczone D

do wzoru (1) , po uprzednich przekształceniach otrzymujemy ostateczny wzór na moduł

sztywności :

8πI₀l

G =

r ⁴ (T₂² - T₁²)

Rodzaj Średnica Czas drg. T₀ okr. Czas drg. T₁[s] Masa Odleg. Moduł

pręta pręta 2r wibratora drgań wibratora okres obc. masy sztywn.

[mm] nieobc. obc. drgań m[g] od osi G

t₀[s] t₁[s] obrotu [N/m²]

R[mm]

Rodzaj Średnica Czas drg. T₀ okr. Czas drg. T₁[s] Masa Odleg. Moduł

pręta pręta 2r wibratora drgań wibratora okres obc. masy sztywn.

[mm] nieobc. obc. drgań m[g] od osi G

t₀[s] t₁[s] obrotu [N/m²]

R[mm]

---