Bogdan Płachta

MATERIAŁY DO LABORATORIUM Z ELEKTROTECHNIKI TEORETYCZNEJ

1. BADANIE SYMETRYCZNYCH UKŁADÓW TRÓJFAZOWYCH. (ćw. 7)

Układem wielofazowym nazywamy zbiór obwodów elektrycznych, w których działają odpowiednio połączone (skojarzone) sinusoidalnie zmienne wymuszenia o jednakowej częstotliwości, przesunięte względem siebie w fazie. Z uwagi na jednakową częstotliwość wymuszenia wytwarzane są w jednym źródle energii zwanym prądnicą lub generatorem, a także w układach zwiększających liczbę obwodów np. transformator wielofazowy. Przy tym fazą nazywa się jeden obwód prądnicy czy też transformatora.

Wartości chwilowe napięć fazowych układu wielofazowego można zapisać w postaci równań:

W praktyce stosuje się tzw. układy symetryczne
fazowe, które spełniają dwa warunki:

o liczbie faz

Układy
fazowe budowane są na bazie generatorów i stosuje się je do wytwarzania, przesyłu a także do przetwarzania energii elektrycznej. Układy 6, 12, 24 − fazowe budowane są na bazie transformatorów i używane są do prostowania za pomocą układów energoelektroniki w układach zasilania trakcji kolejowej i tramwajowej. Z uwagi na szerokie zastosowanie w praktyce w dalszych rozważaniach zajmować się będziemy tylko układami trójfazowymi. Obwodem trójfazowym symetrycznym nazywa się układ trzech jednakowych wymuszeń o tej samej amplitudzie i częstotliwości przesuniętych w fazie o
okresu.

Do przesyłu energii w układzie nieskojarzonym wykorzystuje się 6 przewodów, natomiast w układzie skojarzonym (rys.7.1) 3 lub 4 przewody − 3 przewody fazowe i jeden neutralny. Napięcie między przewodem fazowym a przewodem neutralnym nazywa się napięciem fazowym, a napięcia między przewodami fazowymi nazywa się napięciami przewodowymi. Napięcie międzyfazowe jest o
razy większe od napięcia fazowego i wyprzedza w fazie napięcie fazowe o kąt
. Suma geometryczna napięć międzyfazowych jest równa zero. Jeżeli jeszcze odbiornik jest symetryczny to w przewodzie neutralnym nie płynie prąd i przewód neutralny jest niepotrzebny. W praktyce stosuje się układy trójprzewodowe w sieciach elektroenergetycznych.

Oprócz skojarzenia odbiornika w gwiazdę (rys.7.1) możliwe jest połączenie w trójkąt (rys.7.2). Prądy płynące w każdym z przewodów fazowych w układzie trój kątowym, zwane są prądami przewodowymi, a prądy płynące między fazami odbiornika nazywa się prądami fazowymi. Dla układu symetrycznego
połączonego w trójkąt suma geometryczna napięć międzyfazowych jest równa zero. Napięcia międzyfazowe są dla odbiornika napięciami fazowymi. Prąd przewodowy jest
razy większy od prądu fazowego o kąt
. Jeżeli odbiornik połączony jest w gwiazdę to
oraz
, gdzie:
napięcie i prąd przewodowy, P − moc czynna układu.

Jeśli odbiornik połączymy w trójkąt to
oraz
, gdzie:
napięcie i prąd fazowy, P − moc czynna układu.

Udział w przetwarzaniu mocy obydwu układów

.

2. BADANIE NIESYMETRYCZNYCH UKŁADÓW TRÓJFAZOWYCH. (ćw. 8)

W praktyce oprócz układów symetrycznych (ćw.7) spotkać można odbiorniki jednofazowe o różnych wartościach impedancji i charakterach przyłączone do sieci trójfazowej. W związku z tym prądy będące odpowiedziami będą miały różną wartość amplitudy i różnicę faz początkowych przebiegów różną od
, np. sieci elektroenergetyczne NN. Obwody źródła najczęściej połączone są w podwójną gwiazdę tzw. zygzak, a odbiornik w gwiazdę z przewodem neutralnym (rys.8.1) .

Analizę układu wygonie przeprowadzić stosując metodę potencjałów węzłowych, gdyż liczba równań względem niewiadomych jest najmniejsza i wynosi
. Dla porównania liczba równań z metody prądów oczkowych wynosi
.

Algorytm analizy:

wybrać węzeł odniesienia w punkcie neutralnym źródła N,obliczyć potencjał węzła neutralnego odbiornika N' ze wzoru
,

obliczyć napięcia fazowe na impedancjach odbiornika
dla
,

obliczyć prądy przewodowe
dla

obliczyć prąd w przewodzie neutralnym
lub
.

Jeżeli
to odbiornik jest odbiornikiem symetrycznym i wówczas napięcie
oraz prąd w przewodzie neutralnym
, stąd można zastosować układ trójprzewodowy.

Jeżeli
to odbiornik jest odbiornikiem niesymetrycznym i wówczas napięcie
oraz prąd w przewodzie neutralnym
. Asymetria impedancji odbiornika powoduje asymetrię napięć na odbiorniku. Za pomocą wykresu wskazowego możliwe jest wtedy graficzne wyznaczenie napięcia
wymagające zastosowania między innymi cyrkla rys.8.2. Punkt przecięcia trzech okręgów o promieniach odpowiadających napięciu na odbiorniku wyznacza koniec wskazu napięcia
.

Jeżeli
i
to
i napięcia na odbiorniku są symetryczne oraz
, jest to najbardziej praktyczny przypadek dla sieci czteroprzewodowej.

Jeżeli
i
to
i napięcia na odbiorniku są niesymetryczne oraz
, jest to przypadek dla sieci trójprzewodowej bez przewodu neutralnego. Przy braku fazowej impedancji odbiornika tzw. zwarciu przewodu fazowego z punktem neutralnym odbiornika napięcie
jest równe napięciu zasilającemu tę fazę.

3. ELEKTRYCZNE OBWODY Z ELEMENTAMI NIELINIOWYMI O WYMUSZENIU STAŁYM. (ćw. 9)

Elektryczny obwód nieliniowy albo ogólniej elektryczny układ nieliniowy zbudowany jest z elektrycznych elementów nieliniowych lub częściowo z elementów liniowych i elementów nieliniowych. W granicznym przypadku układ nieliniowy powinien posiadać przynajmniej jeden element nieliniowy tzn. taki element, którego charakterystyka
nie przedstawia linii prostej (rys.9.1).

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie charakterystyk napięciowo-prądowych elementów nieliniowych, także badanie obwodów elektrycznych z tymi elementami w różnych układach połączeń oraz stosowanie metod graficznych do rozwiązywania układów nieliniowych.

Wprowadza się dwa parametry charakteryzujące element nieliniowy w danym punkcie pracy:

a) parametr statyczny;

np. rezystancja statyczna dla elementu z rys.9.1

b) parametr dynamiczny;

np. rezystancja dynamiczna dla elementu z rys.9.1

gdzie: m_u - skala dla osi napięcia (u);

m_i - skala dla osi prądu (i).

Parametr statyczny jest zawsze wartością dodatnią, natomiast parametr dynamiczny może przyjmować wartości dodatnie, ujemne lub równe zero.

Jeżeli w obwodzie występuje element nieliniowy to w tym obwodzie nie jest spełniona zasada proporcjonalności i zasada superpozycji. Stosuje się wtedy metody przybliżone: analityczną, graficzną, graficzno-analityczną i numeryczną. Analizę prostych układów nieliniowych tzn. takich których liczba elementów nieliniowych jest niska łatwo przeprowadzić metodami graficznymi. Rozróżnia się przy tym metodę charakterystyki łącznej tzw. charakterystyki zastępczej (rys.9.3) a także metodę charakterystyki odwróconej tzw. metodę przecięcia charakterystyk (rys.9.3-4).

W obwodach złażonych należy postępowanie graficzne z rys. 9.3-4 stosować wielokrotnie.

4. BADANIE ZAWARTOŚCI HARMONICZNYCH W OKRESOWYM PRZEBIEGU PRĄDU DŁAWIKA. (ćw. 10)

Przebieg w czasie t wielkości obwodowej
zwanej przebiegiem wartości chwilowej, który dla dowolnej liczby naturalnej n i stałego przedziału czasu T zwanego okresem, spełnia warunek
nazywa się przebiegiem okresowym. Jeśli przebieg okresowy jest przebiegiem o kształcie innym niż przebieg sinusoidalny nazywa się przebiegiem odkształconym. Dowolny przebieg okresowy spełniający warunki Dirichleta można przedstawić w postaci nieskończonego szeregu Fouriera

gdzie:
- średnia wartość funkcji
w ciągu okresu tzw. składowa stała,

k - numer przebiegu sinusoidalnego o pulsacji k - razy większej od pulsacji podstawowej równej
tzw. rząd harmonicznej,

- amplitudy k-tych harmonicznych,

- składnik k-tej harmonicznej z sinusami,

- składnik k-tej harmonicznej z kosinusami,

- faza początkowa k-tej harmonicznej, z poprawką β wynikającą ze stosowania kalkulatorów, tablic itp.

Korzystając z rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera obliczenia ogranicza się do skończonej liczby wyrazów szeregu. Obliczenia można także ograniczyć w przypadku jeśli funkcja
wykazuje symetrię i tak jeżeli:

• 
  tzn.
  jest funkcją antysymetryczną, w szeregu Fouriera nie występują składowa stała i harmoniczne parzyste; tego typu przebiegi pojawiają się w odpowiedziach prądowych w obwodach zawierających elementy z ferromagnetykiem na napięciowe wymuszenie sinusoidalne np. około 90% przebiegów w elektroenergetyce,

• 
  tzn.
  jest funkcją parzystą tzn. funkcją symetryczną względem osi rzędnej, w szeregu Fouriera nie występują wyrazy z sinusami,

• 
  tzn.
  jest funkcją nieparzystą tzn. funkcją symetryczną względem początku układu współrzędnych, w szeregu Fouriera nie występują wyrazy z kosinusami.

Praktycznie interesujący jest przypadek, kiedy znany jest przebieg odkształcony np. z oscyloskopu a poszukiwane są współczynniki szeregu Fouriera. Do wyznaczenia współczynników trygonometrycznego szeregu Fouriera stosuje się metody pomiarowe i symulacyjne metody matematyczne.

Wśród metod matematycznych stosuje się numeryczne wyznaczenie powyższych całek wg metody Perri`ego i całego szeregu Fouriera zwaną interpolacją trygonometryczną. W tym celu należy wykonać równomierną dyskretyzację ciągłego przebiegu
w przedziale
. Dyskretyzacja polega na wyborze m i-tych punktów równoodległych od siebie w czasie o
i przyporządkowaniu wartości funkcji
w tych punktach, przy czym liczba m wynika z najwyższego numeru h spektrum harmonicznych
, oraz dla i-tej chwili czasowej
, wartość
odczytuje się np. z oscyloskopu dla
(rys. 10.1).

.

W numerycznej metodzie Perri'ego określania współczynników szeregu Fouriera, z uwagi na skończoną liczbę h obliczanych harmonicznych oraz postać dyskretną wartości funkcji
powyższe całki analityczne zastępuje się przybliżonymi wzorami algebraicznymi, a analityczny wzór szeregu Fouriera przybiera postać rekurencyjnego wzoru interpolacji trygonometrycznej o postaci

gdzie:

Oprócz metod matematycznych stosuje się także metody pomiarowe za pomocą urządzenia zwanego analizatorem harmonicznych, także pomiaru modułu harmonicznych napięcia na znanej rezystancji za pomocą selektywnego woltomierza. Prostą metodą pomiaru modułu k-tej harmonicznej jest metoda watomierza, przy czym obwód napięciowy zasilany jest z osobnego źródła napięcia, np. z elektronicznego generatora mocy, o regulowanej częstotliwości w zakresie wielokrotności harmonicznej podstawowej.

Wskazanie watomierza jest proporcjonalne do mocy czynnej k-tej harmonicznej
. Niech obwód napięciowy watomierza zasilany będzie nastawionym napięciem o równaniu
, a przez obwód prądowy watomierza płynie badany prąd odkształcony zawierający wyższe harmoniczne o równaniu dla k-tej harmonicznej
, przy czym
, to
. Niech błąd nastawy częstotliwości napięcia obwodu napięciowego watomierza z częstotliwością k-tej harmonicznej prądu będzie równy
i wiążącej się z tym błędem uchyb pulsacji
to wskazanie watomierza

jest proporcjonalne do mocy czynnej k-tej harmonicznej i bardzo wolno zmieniającej się w czasie funkcji
dającej ruch harmoniczny wskazówki watomierza. Chcąc wyznaczyć wartość skuteczną prądu k-tej harmonicznej należy brać pod uwagę maksymalne wskazania watomierza k-tej harmonicznej mocy pozornej, gdyż
tzn.
. Następnie można obliczyć wartość skuteczną k-tej harmonicznej w przebiegu prądu ze wzoru
.

Celem ćwiczenia jest analiza zawartości harmonicznych w odkształconym prądzie dławika z rdzeniem ferromagnetycznym metodą z watomierzem selektywnego pomiaru mocy oraz symulacyjną metodą Perry′ego. Celem ćwiczenia jest także obserwacja na ekranie oscyloskopu pętli histerezy pakietu rdzenia dławika wykonanego z blach transformatorowych.(Patrz wprowadzenie do ćw. 15).

Obserwacja pętli histerezy materiałów ferromagnetycznych rdzeni dławików, rdzeni transformatorów i rdzeni przetworników elektromaszynowych wymaga zastosowania w układzie pomiarowym oscyloskopu układu całkującego RC (rys. 10.2).

Rys. 10.2. Schemat pomiarowy do obserwacji histerezy.

Niech uzwojenie pierwotne transformatora pobudzane jest z sinusoidalnego źródła napięcia o stałej w czasie wartości skutecznej powodującej nasycanie się rdzenia ferromagnetycznego. Na zaciski wejściowe oscyloskopu dwukanałowego XY podawane są napięcia, u z rezystora R₁ oraz u_C z kondensatora C. Okazuje się że dołączone na wejście X oscyloskopu napięcie u jest proporcjonalne do natężenia pola magnetycznego wewnątrz magnetowodu rdzenia transformatora zgodnie z zależnością

.

gdzie:
- liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i uzwojenia wtórnego transformatora,

l - zastępcza długość linii sił pola magnetycznego równa zastępczej długości rdzenia,

- stała zależna od konstrukcji transformatora i elementów obwodu pierwotnego i wtórnego dla
.

Natomiast dołączone na wejście Y oscyloskopu napięcie u_C proporcjonalne jest do indukcji magnetycznej B wewnątrz magnetowodu rdzenia transformatora wg zależności

gdzie: ψ - strumień magnetyczny skojarzony z uzwojeniem wtórnym transformatora,

S - pole przekroju poprzecznego rdzenia ferromagnetycznego transformatora,

- stała zależna od konstrukcji transformatora i elementów całkującego obwodu wtórnego.

Na ekranie oscyloskopu pojawia się obraz zależności
w postaci krzywej zamkniętej proporcjonalny do kształtu krzywej histerezy ferromagnetyka rdzenia
(rys. 10.3).

Dysponując obrazem z oscyloskopu krzywej
można dokonać następującego przeliczenia na postać krzywej magnesowania

- odczyt dla osi rzędnej

- odczyt dla osi odciętej

gdzie:
- stałe wzmocnienia kanałów X i Y oscyloskopu w
,

- szerokość i wysokość obrazu w
dla osi H i dla osi B,

- stałe osi H i osi B wynikające ze zamiany współrzędnych napięcia na współrzędne natężenie pola H i indukcji B obliczane według zależności wyżej.

9

U

B

V

W

A

C

L1

L2

L3

e_A

e_B

e_C

Z_A

Z_B

Z_C

N

N'

e_A=E_m sin ωt

e_B=E_m sin (ωt−120°)

e_C=E_m sin (ωt+120°)

Rys. 7.1. Układ trójfazowy symetryczny

Z_A=Z_B=Z_C=Z

Z_AB

Z_BC

A

B

C

U

U_f

I_f

I

Rys.7.2. Trójfazowy układ skojarzony w trójkąt.

Z_CA

U

B

V

W

A

C

L1

L2

L3

E_A

E_B

E_C

Z_A

Z_B

Z_C

N

N'

Rys. 8.1. Układ trójfazowy czteroprzewodowy.

Z_N

I_A

I_B

I_C

I_N

E_A

E_B

E_C

U_A

U_C

U_B

U_N'N

I_A

I_B

I_C

I_N'N

Rys.8.2.Wykres topograficzny trójfazowego układu czteroprzewodowego dla . Punkt przecięcia okręów o promieniach odpowiadających napięciu na impedancjach odbiornika wyznacza koniec wskazu U_N'N. względem początku układu współrzędnych.

u

i

U₀

I₀

P_pr.(A , B)

0

E_m

J_m

Rys.9.1. Przykładowa charakterystyka elementu nieliniowego.

u

R

0

Rys. 9.2. Charakterystyka parametru np. rezystancji R elementu nieliniowego z rys. 9.1.

I₁=f₁(U₁)

I

I=f (U₁+U₂)

I₂=f₂(U₂)

U

0

U₁

U₂

E

I

I₁=f₁(U₁)

I

I=f (U₁+U₂)

I₂=f₂(U₂)

U

0

U₁

U₂

E

I

a)

I₂=f₂ (E-U₁)

I₁=f₁(U₁)

I

U

0

U₁

E-U₁

E

I

b)

I₂=f₂ (-U₂)

Rys. 9.3. Metody graficzne dla połączenia szeregowego dwóch elementów nieliniowych:

a) charakterystyki łącznej,

b) charakterystyki odwróconej.

I₁=f₁(U₁)

I

I₁+I₂=f (U)

I₂=f₂(U₂)

U

0

U

I₂

I₁

J

I₁=f₁(U₁)

I

J-I₂=J-f (U)

I₂=f₂(U₂)

U

0

U

J-1₁

I₁

J

-I₂=-f (U)

Rys. 9.4. Metody graficzne dla połączenia równoległego dwóch elementów nieliniowych:

a) charakterystyki łącznej,

b) charakterystyki odwróconej.

T

t

1

2

k

m

i

0

Rys.10.1.

Przykład dyskretyzacji jednego okresu zmian ciągłego przebiegu np. prądu dławika przy napięciowym wymuszeniu sinusoidalnym.

Y

X

u_C

C

u_R

u₂

R

R₁

u

u₁

i₁

i₂

Rys. 10.3. Obraz na ekranie oscyloskopu histerezy magnetycznej rdzenia wykonanego z blach ferromagnetycznych.

---