1. Zdefiniowac punkt materialny i ciało sztywne -Punkt materialny - punkt któremu przypisana jest pewna masa. Ciało sztywne -(Bryla materialna)- obszar wypełniony w sposób ciągły i jednolity punktami materialnymi (odległości tych pun. są stałe).
2. Dokonać podziału wektorów(sił) i ich układów. Dzielimy wektory na: równoległe, równe, równoważne, przeciwne i zerowe
układ zbieżny , równoległy i płaski.
3 Wymienic przekształcenia elementarne układu wektorów.
Przez przekształcenia elementarne α rozumiemy usunięcie lub dodanie do układu sił(A) układu złożonego z dwu wektorów przeciwnych leżących na jednej prostej. Przez przekształcenia elementarne typu β rozumiemy usunięcie lub dodanie do układu sił(A) układu złożonego z kilku wektorów o wspólnym punkcie zaczepienia i o sumie równej wektorowi zerowemu.

4. Określić kierunek i wartość działania wypadkowej zbieżnego układu wektorów: Układ sił (A) jest w równoważny wypadkowej
gdy a≠0. wartość wypadkowej równa jest sumie wektorów zbieżnych. Układ zbieżny wektorów jest to układ gdzie wszystkie linie działania wektorów przecinają się w jednym punkcie (środek układu zbieżnego)gdy a=0 to układ redukuje się do układu zerowego (A)≡ (0).

6. Określić momenty siły względem osi i punktu Moment siły
względem osi „l” nazywamy wektor

=
który jest momentem rzutu wektora a na płaszczyznę prostopadłą do osi „l” obliczamy względem bieguna Q który jest punktem przebicia płaszczyzny π z osią „l”.
Przez moment siły
względem punktu Q, zwanego biegunem rozumiemy wektor:

=

8. Do jakiego układu można zredukować dowolny przestrzenny układ sił: układ sił jest równoważny wtw.
- skrętnikowi -R≠0
- wypadkowej - R=0, a≠0

- parze sił - R=0, a=0, M≠0
- układowi zerowemu - R=0, a=0 , M=0

9. Podać analityczne warunki równowagi płaskiego układu sił.

,
,
,

10. Jaka jest różnica pomiędzy geometrycznie niezmiennym

układem ciał sztywnych a mechanizmem. Mechanizm pod

działaniem sił czynnych przemieszcza się a układ ciał sztywnych nie

porusza się pod wpływem sił.
11. Omówić sposób wyznaczenia reakcji w układzie

mechanicznym. Co to są reakcje wewnętrzne?
Reakcje wyznaczamy zauważając że układ mechaniczny możemy

traktować jako niezależny zbiór ciał sztywnych na które działają

siły czynne. Reakcje wewnętrzne, reakcje zewnętrzne

.
reakcje wewnętrzne są to siły wzajemnego oddziaływania ciał,

jako takie tworzą układ sił przeciwnych leżących na jednej prostej.
12. Kiedy układ 2 sił jest w równowadze?

Układ jest w równowadze gdy suma (wektor główny) i moment

względem dowolnego bieguna były równe wektorowi zerowemu.

,

13. Podać wartośc wektora głównego i momentu głównego

dowolnego układu sił. wektor główny - jest to suma układu sił

moment główny

14. Podać analityczne równania równowagi dowolnego układu sił:

15. Omówić wyznaczenie sił w kratownicach: Wyznaczamy reakcje

zewnętrze (zakładając że kratownica tworzy układ sztywny) za

pomocą rzutów na osie x, y oraz mom. x, y.Następnie w określonej

kolejności rozważamy równowagę węzłów (kolejność ustalamy aby

w kolejnym węźle były 2 niewiadome. Gdy chcemy obliczyć jedynie

kilka sił możemy skorzystać z metody Rittera.

16. Podać warunki geometrycznej niezmienności (sztywności) i

statycznej wyznaczalności kratownicy.

P- liczba prętów W- liczba węzłów muszą spełniać zależność

P= 2*W-3 W wykładzie jest: W- liczba prętów P.M

P- liczba prętów 2W=P => GN.SW

17. W węźle w kratownicy schodzą się trzy pręty WA, WB, WC

W(0,0,2d) A(
,
,0) B(
,
,0). Jakie są wartości sił

w prętach WA, WB, WC. Rozwiązujemy to 2 równania węzła W.

18. Na czym polega metoda Rittera rozwiązywania kratownic.

Polega na dokonaniu przekroju przez 3 nie równoległe, nie

przecinające się w jednym punkcie. Więzy: każde ciało pozostaje w

równowadze więc korzystając z rzutów na osie obliczamy wartość

sił reakcji wewnętrznych w węzłach.

19. Jak wyznaczyć położenie środka dowolnej liczby sił

równoległych. Środek ten nosi nazwę „środka masy” Obliczamy go

z sposobu:

Lub z rzutów na osie:

20. Określić pojęcie środka ciężkości.

Środek ciężkości jest to punkt niekoniecznie należący do ciała,

przez który przechodzi wypadkowa sił ciężkości działających na

poszczególne punkty ciała.

21.Zdefiniować moment statyczny figury płaskiej względem osi.

Moment statyczny figury względem osi jest równy iloczynowi

powierzchni tej figury i odległości jej środka od osi.

22. Zdefiniować moment bezwładności figury płaskiej,

wyrażenie

23.Co nazywamy głównymi momentami figury płaskiej.

Wartości momentów głównych
oblicza się jako wartości

własne macierzy
lub

24. Co nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności

figury płaskiej. Jeżeli figura ma oś symetrii to jest ona jedną z

głównych osi bezwładności tej figury. Na osi tej leży też środek

geometryczny - jest wiec oś symetrii główna centralna osią

bezwładności.

25. Który z momentów bezwładności może być ujemny lub równy

zero. Jedynym momentem bezwładności jest moment dewiacji
.

26. Podać istotę twierdzenia Steinera oraz korzyści z niego

płynące. Przy równoległym przesunięciu osi centralnej moment

bezwładności wzrasta o iloczyn powierzchni i kwadratu odległości

między nimi.

1. Kombinacja liniowa: …wektorów a i b nazywamy wektor

c^ = k₁*a^*k2*b^ gdzie k1 i k2 należy do R. Kombinacja liniowa

wektorow a1^ ,a2^,…an^ nzw.wyrazenie

λ1a1^+ λ2a2^+… λnan^=Σ λkak^ gdzie λ1,… λn naleza do R.

Jeżeli V1,V2 …Vk stanowia układ n-wymiarowy wektorow, to

wektor b= λ1V1+ λ2V2+… λkVk, gdzie λi, i=1,2…k sa liczbami R,

nazywa się kombinacja linowa układu wektorow V1,V2…Vk.

2. Mnogośćią 1-wymiarową nazywamy zbior wszystkich

wektorow || do jednej prostej, wektory te nosza nazwe

wektorow kolinearnych i sa wektorami zaleznymi. W mnogości tej

istnieje jeden wektor niezależny(bazowy).

Mnogością 2-wymiarową-nazywamy zbior wszystkich

wektorow || do jednej płaszczyzny, wektory te sa komplanarne.

W mnogości 2-wymiarowej każdy wektor da się przedstawic przez

2 niekolinearne wektory tej mnogości a1 i a2, które tworza baze.

Mnogością 3-wymiarową-tworza wektory nierownolegle do jednej

płaszczyzny. W mnogości tej istnieja 3-wektory niemalezne (mogą

nie być kazde 3 niekomplenarne wektory). Każdy wektor

c^ mnogości 3-wymiarowej mnożone w jeden i tylko jeden sposób

wyrazic przez wektory podstawowe (bazowe) a1^,a2^,a3^. ( rys.2 )

3.Ile wynosi liczba liniowo niezależnych wektorów w mnogościach

M1,M2,M3?Maksymalna liczba wektorów niezależnych w

przestrzeni n-wymiarowej wynosi n, zatem w mnogości

1-wymiarowej istnieje jeden wektor niezależny (bazowy),

w mnogości 2-wymiarowej istnieja, 2 wektory niezależne

(niekolinearne-nie rownolegle do jednej prostej), a w mnogości

3-wymiarowej istnieja 3 niezalezne wektory ( sa nimi każde 3

niekompenarne - nierownolegle do jedenj płaszczyzny wektory ).

4.Co nazywamy wektorami bazowymi w 3-wymiarowej mnogości

wektorów. Wektorami bazowymi mnogości 3-wymiarowej

nazywamy 3 niezalezne wektory, przez które da się wyrazić jeden i

tylko jeden sposób każdy wektor c^ mnogości 3-wymiarowej.

Wektory te tworzą bazę. Są nimi każde 3 niekomplanarne wektory

5. Sprawdź czy wektory a={ax,ay,az}i b={bx,by,bz} c={cx,cy,cz}

mogą być wektorami bazowymi w M3. Zbior n- wymiarowych

wektorów a1,a2,…an tworzą bazę n- wymiarowej przestrzeni gdy:

- liczba wektorow ai w danym układzie wektorow jest identyczna z

wymiarem przestrzeni, z której pochodzą te wektory (k=n),

- układ wektorow ai jest liniowo niezależne czyli rząd macierzy jest

równy m, a gdy m=n to wyznacznik ma być różny od zera.

Pierwszy warunek jest spełniony bo mamy 3 wektory i … mnogość

3-wymiarowa. Sprawdzamy czy wyznacznik jest różny od zera

6.Jaką wartość ma praca L=Pq jeżeli P={Px,Py,Pz}[N] i wektora

q o współrzędnych {qx,qy,qz} [m]?. Iloczyn skalarny wektorow

a^ i b^ jest równy sumie iloczynów jednoimiennych ich

współrzędnych: przedstawiając wektory a^=axi+ayj+azj i

b^=bxi+byj+bzk obliczamy

a*b=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk)=axbx+ayby+azbz jest to iloczyn

skalarny wyrazony przez współrzędne wektorow. Na podstawie tego

wzoru obliczamy prace L=P*q =Pxqx+Pyqy+Pzqz.

7 Jaki kąt tworzą ze sobą wektory z poprzedniego zadani ?

Iloczynem skalarnym dwóch wektorow a^ i b^ nazywamy skalar „c”

taki ze : c=| a^| * |b^| * cos α ,α kat zawarty miedzy wektorami a i b.

Długość wektora określamy wzorem |a^|=√ax²+ay²+az². Iloczyn

skalarny wyrazamy przez wspolzedne na postac :

a*b=axbx+ayby+azbz. Na podstawie powyższych wzorow można

obliczyc kat pomiedzy wektorami P i q : L=P^*q^=|P|*|q|*cos α;

L=P^*q^=Pxqx+Pyqy+Pzqz ;

|P^|=√Px²+Py²+Pz ² |q^|=√qx²+qy²+qz² ;

|P^|*|q^|*cosα=Pxqx+Pyqy+Pzqz, stad

cosα=Pxqx+Pyqy+Pzqz/√Px²+Py²+Pz² * √qx²+qy²+qz².

8. Czy wykonując na ukladzie (A) =(ai Ai) wektorow

przekształcenia elementarne α i β zmienione zostaja : wektor

sumy układu (A) i wektor momentu tego układu. Wykonując na

układzie (A) =(ai Ai) przekształcenie elementarne typu α i β nie

zmieniamy wektora sumy i wektora momentu tego układu ponieważ:

Tw. Wektor sumy i wektor momentu sa nie zmiennikami względem

przekształceń elementarnych . Moment układów tworzących

przekształcenie α i β jest =0

9.Twierdzenie podstawowe o równoważności ukladów (A) I (B).

Definicja podstawowa rownowaznosi układów: 2 uklady nazywamy

równoważnymi wtedy i tylko wtedy jeżeli wykonując na układzie (A)

skonczona liczbe przeksztalcen elementarnych typu α i β w wyniku

otrzymamy układ (B). Jest także: relacja zwrotna- (A) równoważne

(B), relacja symetryczna- (A) równoważne (B) to (B) równoważne

(A), i przechodnia- (A) równoważeń (B), (B) równoważne (C) to

(A) równoważne (C). Tw: Układu (A) i (B) sa równoważnymi wtedy

i tylko wtedy gdy wektor sumy układu (A) jest rowny wektorowi

sumy układu (B), oraz wektory momentu względem tego samego

bieguna układu (A) i (B) sa sobie rowne. (A) równoważne

(B) <=> s^(A) = s^(B), a^=b^. Moment układu (A) = momentowi

układu (B).

10. Kiedy układy (A) i (B) wektorow są sobie równoważne. Podaj

2 Tw związane z równoważnością układów Tw.1 warunkiem

koniecznym i wystarczającym na to aby układy (A) i (B) były

równoważnymi jest aby ich sumy oraz momenty względem tego

samego punktu były miedzy soba rowne. (A) równoważne (B) <=>

gdy s^(A) = s^(B), Ma(A) = Ma(B). Tw. 2 Warunkiem koniecznym

i wystarczającym na to aby 2 uklady sil (A) i (B) były równoważnymi

jest aby ich momenty względem 3 nie lezacych na jednej prostej

biegunow (punktow) były sobie odpowiednio rowne.

11. Kiedy o układzie (A)wektorow mówimy, ze jest w równowadze

Uklad (A) wektorow jest w równowadze jeśli (A)=

Def.O układzie sil dzilajacych na układy sztywne mowimy ze jest w

równowadze jeśli ciało pod jego działaniem może być w równowadze

czyli pozostaje w spoczynku. WKW a to aby układ sił działających

na cialo sztywne był w równowadze jest aby uład ten miał sumę

(wektor głowny) i moment względem dowolnego bieguna (moment

głowny) rowne wektorom zerowym:s^(A)=0^,M(A)^=0

12. Dla układu (A) wektorów a=0,M0(A)=0. czy istnieje dla tego

Układu oś zerowa. Dla danego układu wektor sumy jest różny od

zera i wektor momentow jest różny od zera. A ^różne od 0 M0(A)

rozne od 0. Oś środkowa jest to miejsce geometryczne punktow

względem których wektor momentu jest równoległy do wektora sumy

lub rowna się 0.Os srodkowa opisana jest równaniem

r ^ =a ^x Ma(A)/α² +λ α ^.Os środkowa istnieje jeżeli wektor sumy

układu jest różny od 0 ponieważ ponieważ naszym przypadku

warunek ten jest spełniony układ posiada os środkowa

13. Jeżeli punkt Q należy do osi środkowej układu (A) i Mq(A)=0

To jaka jest najprostsza postać do której układ ten można

zredukować. Punkt Q należy do osi środkowej układu (A) i

Mq(A)=0. Os srodkowa istnieje jeśli wektor sumy układu jest różny

od 0.Stad wiemy ze a^rozne od 0.Majac dane a^=0 i Mq(a)=0

mozemy obliczyc parametr układu R=a^*Mq^(A), R=0.Jezeli

parametr układu jest =0 a suma układu jest rozna od 0 to najprostsza

postacia do jakiej można zredukowac dany układ (A) jest wypadkowa

14. Jaka postać maja wektorowe i skalarne podstawowe równania

rownowagi układu (A) w zagadnieniach przestrzennych. Na

podstawie twierdzenia :WKW na to aby układ sil dzilajacych na

cialo sztywne był w równowadze jest aby układ ten miał sume

(wektor glowny) i moment względem dowolnego bieguna (moment

glowny) rowne wektorom zerowym. Mamy dwa wektorowe równania

równowagi ( )=ΣPi^=0^ i Mq^(A)=0^ które wymagaja spełnienia 6

rownan skalarnych ΣPix=0,ΣPiy=0,ΣPiz=0. ΣMix=0,ΣMiy=0,ΣMiz=0

Sumy momentów sil względem osi Ox,Oy,Oz musza być =0 oraz

sumy momentow sil na poszczególne osie Ox,Oy,Oz musza być =0

15. Kiedy układ tarcz sztywnych jest układem geometrycznie

niezmiennym WKW dla układów 2, 3-tarczowych

Warunkiem koniecznym i wystarczającym geometrycznej

niezmienności układu dwutarczowego jest:V<=0 stopień

geometryczne niezmienność V=3t-p-2b-z-3 musi być <=0 oraz pręty

nie przecinają się w jednym punkcie czyli nie sa również do siebie

równoległe(gdyby były równoległe posiadały by wspólny punkt

nieskończoność -niewłaściwy).warunkiem koniecznym i

wystarczającym geometrycznej niezmienności układu trzech tarcz

jest:V<=0 oraz punkty przeciec kierunków par prętów miedzy

tarczami (przeguby 0,12,0,23,0,31)nie moga lezec na jednej prostej

16.Co nazywamy nieswobodnym układem ciał sztywnych

Nieswobodny układ cial sztywnych jest jest układem mechanicznym

cial sztywnych nazywamy geometrycznie niezmienny względem

siebie lub względem ostoi układ skończonej liczby tarcz (ciał

sztywnych)połączonych miedzy sobą za pomoca więzów

wewnętrznych a z ostoja wiezami podporowymi. Układ nazywamy

nieswobodnym gdy ruch i przemieszczenie układu jest ograniczony

tzw. Wiezami.

17.Co nazywamy węzłem dwustronnym skleronomicznym. Jaki

jest jego model fizyczny Więzem skleronomicznym dwustronnym

nazywamy wiez opisany równaniem F(xi)=0 w którym nie wystepuje

w sposób jawny parametr czasu (jest to wiez stacjonarny0. Każdy

wiez stacjonarny odbiera układowi tarcz jeden stopien swobody.

Podstawowym rodzajem wiezu podstawowego stacjonarnego

dwustronnego jest wachacz -fizycznie pret ustalający odległość

miedzy dwoma punktami dwóch roznych tarcz .Przy jego pomocy

można modelowac inne rozbudowane rodzaje więzów miedzy

tarczami oraz tarczami a ostoja(połączenia przegubowe, utwierdzenia)

18. Postulat o więzach Ruch i polozenie ciala nieswobodnego nie

zmieniaja się jeżeli jego wiezy usuniemy ich oddziaływanie

zastapimy odpowiednio dobranymi reakcjami

AKSJOMAT STATYKI- POSTULAT O WIEZACH: kazde cialo

sztywne nieswobodne można myślowo oswobodzic od więzów, pod

warunkiem ze usunięte wiezy zostana zastapione odpowiednimi

silami przenoszonymi przez wiezy, zwanymi reakcjami więzów.

ZAŁOZNENIA O REAKCJACH: 1.Reakcje zaczepione są punktach

w których rozwazane cialo styka się z wiezami 2.Jesli wiezem jest

gladka powierzchnia to kierunek reakcji jest prostopadly do tej

powierzchni 3.Jesli wiezem jest gladka krzywa, to kierunek reakcji

lezy w płaszczyźnie prostopadlej do tej krzywej.

19.Tw. o równowadze ciał sztywnych Układ ciał sztywnych (układ

mechaniczny) jest w równowadze jeżeli każde z ciał tego układu

pozostaje w równowadze.(Stosując postulat o więzach zauważymy ze

układ ciał sztywnych możemy traktować jako niezależny zbiór ciał

sztywnych na które działają siły czynne, reakcje zewnętrzne i reakcje

wewnętrzne ;są to siły wzajemnego oddziaływania ciał jako takie

tworzą układ sil przeciwnych lezących na jednej prostej.)

20, Równanie równowagi nieswobodnego ciala sztywnego D3.

Aby ciało sztywne nieswobodne było w równowadze, suma sil

czynnych i reakcyjnych musi byc wektorem zerowym oraz moment

układu sil czynnych i reakcyjnych musi być wektorem zerowym

(albo momenty wszystkich sil czynnych i reakcyjnych względem 3

biegunów były wektorami zerowymi).

M0^(R)+M0^(F)=0, S^(R)+S^(F)=0, czyli suma momentow sil

ΣPox=0, ΣPoy=0, ΣPoz=0 i momenty ΣMox=0, ΣMoy=0, ΣMoz=0.

M01(F)+M01(R)=0, M02(F)+M02(R)=0, M03(F)+M03(R)=0.

22.Co nazywamy przekrojem, co punktem Rittera dla siły Ni.

Przekrojem Rittera nazywamy przekroj α-α przechodzący przez 3 nie

rownolegle i nie przecinające się w jednym punkcie prety (wiezy) w

których chcemy wyznaczyc sily osiwe. Ni- sa to sily osiowe sily

reakcji jakimi prety oddzialywuja na węzły (rekcje więzów d=const

na punkt materialny) Przekroj rittera może przechodzic przez

wieksza liczbe pretow ale pozostale prety musza być przecięte

parzysta liczbe razy. Kierunki pozostalych pretow musza przecinac

się w jednym punkcie. Sily w pozostałych pretach (oprocz 3) musza

być znane. Punktem Rittera dla sily osiowej w precie - Ni nazywamy

punkt w którym przecinaja się kierunki pozostałych 2 pretow

rozciętych przekrojem rittera który obieramy za biegun w warunkach

momentow z równania ΣMrg=0. Obliczamy jedna niewiadoma

równania jaka jest szukana sila Ni

---