8. Zasady dynamiki dla ruchu postępowego i obrotowego

Bardzo ważnymi są równania dynamiki wiążące siłę albo moment siły odpowiednio ze zmianami pędu albo momentu pędu:

,

.

Pierwsze z nich prowadzi do zasad dynamiki dla ruchu postępowego.

Pierwsza zasada dynamiki dla ruchu postępowego mówi, że jeśli na ciało (układ ciał) nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą (wypadkowa siła równa jest 0 i powyższa pochodna = 0) to pęd ciała (układu ciał) jest stały. Jeśli założymy stałość masy to można powiedzieć, że ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (prędkość jest stała).

Druga zasada dynamiki dla ruchu postępowego mówi, że jeśli na ciało (układ ciał) działa niezrównoważona siła zewnętrzna (wypadkowa sił jest różna od zera) to ciało zmienia swój pęd wprost proporcjonalnie do działającej siły. Mówimy też, że zmiana pędu ciała jest równa popędowi działającej siły.

Jeśli założymy stałość masy otrzymamy:

.

Można więc wtedy sformułować tą zasadę w postaci: jeśli na ciało działa niezrównoważona siła zewnętrzna to porusza się ono z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do działającej siły a współczynnikiem proporcjonalności jest odwrotność masy.

Trzecia zasada dynamiki dla ruchu postępowego mówi, że jeśli na ciało (układ ciał) nie działają żadne siły lub wypadkowa sił zewnętrznych jest równa 0 to suma sił wewnętrznych jest równa 0. W przypadku dwóch ciał powiemy, że w układzie izolowanym jeśli ciało A działa na ciało B siłą
to ciało B działa na ciało A siłą
o tej samej wartości i tym samym kierunku lecz przeciwnym zwrocie (siły te różnią się oczywiście również punktami zaczepienia).

Ruch obrotowy opisujemy podobnie jak postępowy zastępując odpowiednie wielkości kinematyczne (dynamiczne) jednego odpowiednikami drugiego ruchu (tabela 3). Proponuję czytelnikowi sformułowanie zasad dynamiki dla ruchu obrotowego.

ruch postępowy	Ruch obrotowy
masa - m	moment bezwładności - I
wektor położenia -	kąt skierowany -
prędkość liniowa -	Prędkość kątowa -
przyspieszenie liniowe -	Przyspieszenie kątowe -
pęd -	moment pędu -
siła -	moment siły -

Tabela 3 Odpowiedniki kinematyczne i dynamiczne ruchu postępowego i obrotowego

Poniżej przedstawiono przykład uświadamiający niezrozumienie zasad dynamiki (przewaga błędnych odpowiedzi). Przy omawianiu siły tarcia statycznego podawany jest często wzór:

T = f_st N,

gdzie: T wartość siła tarcia, f_st współczynnik tarcia statycznego a N nacisk na podłoże. Można zadać pytanie: jaka będzie wartość siły tarcia przy nacisku równym 100N, współczynniku 0,5 i działającej poziomo sile F o wartości 20N (rysunek 31)?

Rys.31. Ilustracja do wyznaczenia siły tarcia statycznego.

Najczęściej podawana jest odpowiedź 50N. Oznacza to, że działamy w prawo siłą 20N a w lewo działa siła 50N. Wypadkowa siła skierowana w lewo nadaje, zgodnie z II zasadą dynamiki przyspieszenie w przeciwnym kierunku do przyłożonej siły zewnętrznej. To kompletny absurd. Poprawna analiza prowadzi do wniosku, że wartość siły tarcia jest równa 20N i równoważy siłę zewnętrzną. Wartość wypadkowej siły jest wtedy równa 0 i zgodnie z I zasadą dynamiki ciało pozostaje w spoczynku. Oznacza to, że powyższy wzór na siłę tarcia statycznego dotyczy jej maksymalnej wartości, przy której następuje zerwanie statycznego wiązania z podłożem.

T_max = f_st N

4.5. Warunki statyki

W mechanice ważnymi z punktu widzenia warunków konstrukcji maszyn lub budowli są warunki statyki wynikające z warunków równowagi (dla prędkości = 0). Podajemy je z punktu widzenia braku ruchu zarówno postępowego jak i obrotowego.

Najprostszym przykładem zastosowania obu tych warunków jest dźwignia jednostronna.

Rys.32. Dźwignia jednostronna

Z warunków równowagi otrzymujemy równania:

Ponieważ ostatni moment siły jest równy zero (r=0) a pierwsze dwa są przeciwne stąd:

aQ-lF=0,

czyli działająca siła

.

Wynika stąd wniosek, że dla odchylenia takiej belki wystarczy siła tyle razy mniejsza ile razy większe ma ona ramię od ramienia siły
.

Drugi przykład przedstawia bloczek nieruchomy o masie m i promieniu r z zawieszonymi ciężarkami o masach M₁ i M₂ (rysunek33).

Rys.33. Bloczek nieruchomy

Przy rozwiązywaniu tego typu problemów postępujemy zgodnie z umownym algorytmem:

1. zaznaczamy wszystkie siły działające na poszczególne ciała nie zapominając o naciągach, które zaznaczamy parami w punktach styczności linki z najbliższymi ciałami (zawsze w kierunku linki),

2. zaznaczamy obieg dodatni (znak + na rysunku),

3. zapisujemy równania ruchu postępowego wstawiając siły ze znakiem + jeśli są zgodne z wybranym obiegiem i - gdy są przeciwne,

4. zapisujemy równania ruchu obrotowego wstawiając momenty sił ze znakiem + jeśli są zgodne z wybranym obiegiem i - gdy są przeciwne,

5. uzupełniamy układ równań o równanie wiążące przyspieszenia w ruchu postępowym i obrotowym oraz równania na moment bezwładności krążka i ciężary ciał,

6. sprawdzamy liczbę niewiadomych i liczbę niezależnych równań i rozwiązujemy układ równań.

ruch postępowy - M₁ : N₁ - Q₁ = M₁ a

M₂ : Q₂ - N₂ = M₂ a

Ruch obrotowy - rN₂ - rN₁ = Iε

Moment bezwładności - I =
mr²

Związek między przyspieszeniami - ε =

Ciężary - Q₁ = M₁ g

Q₂ = M₂ g

Otrzymaliśmy układ 7 równań na 7 niewiadomych (N₁, N₂, Q₁, Q₂, a, I, ε), z którego możemy obliczyć np. przyspieszenie liniowe układu.

---