sciaga egzamin 2, IT PJWSTK GD, Semestr II, AM I


  1. Szeregi Taylora i Maclaurina

Definicja (Szeregu Taylora)

Niech funkcja f ma w punkcie x0 pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy

0x01 graphic

nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x0. Jeżeli x0=0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f.

Uwaga

Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji f wynika, że jego suma jest równa tej funkcji.

Twierdzenie (O rozwijaniu funkcji w szereg Taylora).

Jeżeli:

  1. funkcja f ma w otoczeniu U(x0) pochodne dowolnego rzędu,

  2. dla każdego x∈U(x0) 0x01 graphic
    , gdzie

0x01 graphic

oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f.

Wówczas:

0x01 graphic
dla każdego x∈U(x0).

Uwaga

Zamiast założenia (20 można przyjąć:

(2') wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone, tzn.

0x01 graphic

Twierdzenie (O jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)

Jeżeli 0x01 graphic
dla każdego x z pewnego otoczenia U(x0), to 0x01 graphic
dla n=0,1,2,…

  1. Ciągi i szeregi ortogonalne

Niech V={f:[a,b]→R; f-całkowalna w sensie Riemanna na [a,b]}. V jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych z dodawaniem funkcji i mnożeniem funkcji przez liczbę. W przestrzeni V określamy iloczyn skalarny następująco:

0x01 graphic
;

oraz określamy normę kwadratową funkcji f:

0x01 graphic
.

Definicja

Ciąg funkcyjny {fn}nN nazywamy ortogonalnym na [a,b], jeżeli (fn,fm)=0 dla n≠m i 0x01 graphic
dla wszystkich n.

Definicja

Jeżeli {cn}nN jest ciągiem liczbowym, zaś {fn}nN jest ciągiem funkcyjnym ortogonalnym w przedziale [a,b], to szereg funkcyjny 0x01 graphic
nazywamy szeregiem ortogonalnym.

Twierdzenie (O szeregu ortogonalnym)

Jeżeli szereg ortogonalny 0x01 graphic
jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w przedziale [a,b] i funkcja ta jest całkowalna na [a,b], to współczynniki cn wyrażają się wzorami:

0x01 graphic

Uwaga

Dla każdego ciągu ortogonalnego w przedziale [a,b] i funkcji f całkowalnej w tym przedziale istnieje więc co najwyżej jeden taki szeteg ortogonalny, który jest jednocześnie zbieżny w tym przedziale do funkcji f. Jeżeli taki szereg istnieje, to jest nim szereg 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

Liczby cn określone powyższymi wzorami nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji f względem ciągu {fn}nN.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
sciaga egzamin 1, IT PJWSTK GD, Semestr II, AM I
ściąga 2 egzamin, Notatki UTP - Zarządzanie, Semestr II, Technologie informacyjne
ściąga 1 egzamin, Notatki UTP - Zarządzanie, Semestr II, Technologie informacyjne
ściąga 3 egzamin, Notatki UTP - Zarządzanie, Semestr II, Technologie informacyjne
egzamin - sciaga 22- teoria, STUDIA budownictwo, SEMESTR II, materiały budowlane
egzamin - sciaga 22- teoria, STUDIA budownictwo, SEMESTR II, materiały budowlane
sciaga pugp, Gospodarka Przestrzenna, GP semestr II
sciaga na lab.ps, STUDIA, SEMESTR II, Materiały Metalowe, mm
Biogeografia - ściaga egzamin, ochrona środowiska UJ, I semestr SUM, biogeografia
PYTANIA EGZAMINACYJNE 2, Prywatne, psychologia wsfiz, semestr II, Negocjacje wykłady
egzamin - testy1, STUDIA budownictwo, SEMESTR II, materiały budowlane
egzamin - promocja zdrowia, administracja semestr II, promocja zdrowia
sciaga odlewanie, Politechnika Poznańska (ETI), Semestr I i II, Metalurgia I Odlewnictwo
sciaga www.przeklej.pl, MiBM, semestr II, Odlewnictwo, INNe
EGZAMIN BIOCHEMIA, Zootechnika SGGW, semestr II, biochemia
Ekologia - egzamin(, Studia UR OŚ, semestr II, ekologia
ściąga stata, Notatki UTP - Zarządzanie, Semestr II, Statystyka

więcej podobnych podstron