Szeregi Taylora i Maclaurina
Definicja (Szeregu Taylora)
Niech funkcja f ma w punkcie x0 pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy
nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x0. Jeżeli x0=0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f.
Uwaga
Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji f wynika, że jego suma jest równa tej funkcji.
Twierdzenie (O rozwijaniu funkcji w szereg Taylora).
Jeżeli:
funkcja f ma w otoczeniu U(x0) pochodne dowolnego rzędu,
dla każdego x∈U(x0)
, gdzie
oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f.
Wówczas:
dla każdego x∈U(x0).
Uwaga
Zamiast założenia (20 można przyjąć:
(2') wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone, tzn.
Twierdzenie (O jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)
Jeżeli
dla każdego x z pewnego otoczenia U(x0), to
dla n=0,1,2,…
Ciągi i szeregi ortogonalne
Niech V={f:[a,b]→R; f-całkowalna w sensie Riemanna na [a,b]}. V jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych z dodawaniem funkcji i mnożeniem funkcji przez liczbę. W przestrzeni V określamy iloczyn skalarny następująco:
;
oraz określamy normę kwadratową funkcji f:
.
Definicja
Ciąg funkcyjny {fn}n∈N nazywamy ortogonalnym na [a,b], jeżeli (fn,fm)=0 dla n≠m i
dla wszystkich n.
Definicja
Jeżeli {cn}n∈N jest ciągiem liczbowym, zaś {fn}n∈N jest ciągiem funkcyjnym ortogonalnym w przedziale [a,b], to szereg funkcyjny
nazywamy szeregiem ortogonalnym.
Twierdzenie (O szeregu ortogonalnym)
Jeżeli szereg ortogonalny
jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w przedziale [a,b] i funkcja ta jest całkowalna na [a,b], to współczynniki cn wyrażają się wzorami:
Uwaga
Dla każdego ciągu ortogonalnego w przedziale [a,b] i funkcji f całkowalnej w tym przedziale istnieje więc co najwyżej jeden taki szeteg ortogonalny, który jest jednocześnie zbieżny w tym przedziale do funkcji f. Jeżeli taki szereg istnieje, to jest nim szereg
, gdzie
.
Liczby cn określone powyższymi wzorami nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji f względem ciągu {fn}n∈N.