Rozszerzony wzor Somigliany, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów


Rozszerzony wzór Somigliany

Na podstawie wzorów Somigliany można wyznaczyć przemieszczenie u wewnątrz ciała, przy znajomości przemieszczeń i obciążeń na powierzchni ciała oraz przy znajomości rozwiązania podstawowego dla przestrzeni nieskończonej.

Rozpatrzmy ciało zajmujące obszar V, ograniczony powierzchnią A. Niech na ciało to działają siły masowe, a na powierzchni A niech będą zadane przemieszczenia 0x01 graphic
. Przyjmijmy ponadto, że warunki początkowe dla przemieszczeń będą jednorodne.

Punktem wyjścia rozważań będzie równanie o wzajemności

0x01 graphic
0x01 graphic
(1)

Jest to równanie(13) z punktu 9.9, uproszczone wskutek założenia jednorodności warunków początkowych.

Siły masowe 0x01 graphic
, przemieszczenia 0x01 graphic
odnoszą się do ciała ograniczonego. Dążymy do wyznaczenia przemieszczenia 0x01 graphic
w punkcie 0x01 graphic
, wyrażając je przez warunki brzegowe i odpowiedni dobrane przemieszczenia 0x01 graphic
. Te ostatnie funkcje dobieramy w następujący sposób.

Zakładamy, że funkcje 0x01 graphic
wywołane są działaniem skupionej i chwilowej siły 0x01 graphic
przyłożonej do punktu 0x01 graphic
i skierowanej równolegle do osi 0x01 graphic
. Siła ta działa w punkcie 0x01 graphic
nieskończonej przestrzeni sprężystej i wywołuje przemieszczenia 0x01 graphic
.

Przemieszczenia te otrzymamy z rozwiązania układu równań:

0x01 graphic
(2)

W przestrzeni nieskończonej. Zakładamy, że przemieszczenia te są znane. Dodać należy, że przy rozwiązaniu układu równań (2) założyć trzeba również jednorodność warunków początkowych.

Dalej wyznaczamy przynależne przemieszczeniom 0x01 graphic
naprężenia 0x01 graphic
oraz konstruujemy wektor naprężenia na powierzchni A

0x01 graphic
(3)

Wstawiając 0x01 graphic
; do równania (1) oraz biorąc pod uwagę, że

0x01 graphic

otrzymamy następujący związek:

0x01 graphic
0x01 graphic
(4)

Powyższy wzór stanowi uogólnienie wzoru Somigliany na zagadnienia elastokinetyki. Znając rozkład sił masowych 0x01 graphic
przemieszczenia 0x01 graphic
na A oraz wektor naprężenia na A wyznaczyć możemy wektor przemieszczenia w punkcie 0x01 graphic
i chwili t. Wzór (4) słuszny jest tak długo, jak długo 0x01 graphic
leży wewnątrz ciała.

Wzór (4) ma znaczenie jedynie teoretyczne. Wynika to stąd, że na powierzchni A są zadane(a więc znane) albo przemieszczenia, albo obciążenia, a więc jeden tylko typ warunków brzegowych na A. Gdyby jednak dobrać przemieszczenie 0x01 graphic
w ten sposób, aby odpowiadało polu przemieszczeń wywołanemu działaniem sił 0x01 graphic
w ciele ograniczonym (zajmującym objętość V ograniczoną powierzchnią A) i na A zupełnie utwierdzonym, wówczas wyznaczenie przemieszczenia 0x01 graphic
miałoby sens praktyczny. Niech pole przemieszczeń 0x01 graphic
spełnia układ równań

0x01 graphic
(5)

z warunkami brzegowymi

0x01 graphic

i jednorodnymi warunkami początkowymi.

Zakładając, że pole przemieszczeń 0x01 graphic
jest znane, wyznaczamy wektor naprężenia 0x01 graphic
ze wzoru (3). Wstawienie funkcji 0x01 graphic
do równania (1) prowadzi do wzoru

0x01 graphic
(6)

z którego wyznaczyć można już przemieszczenie 0x01 graphic
.Wzór (6) stanowi rozwiązanie pierwszego zagadnienia brzegowego elastokinetyki.

POLITECHNIKA ŚLĄSKA

W GLIWICACH

MECHANIKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

Temat: Rozszerzony wzór Somigliany

Witold Konopka

Wydział:MT

Kierunek:AiR

Semestr:V

Grupa:I



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Newton jest jak Herkules z bajki, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
PLYNY4~1, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
Podstawowe charakterystyki temperatury powietrza, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika G
ruch laminarny2, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
POLITE~2, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
PLYNY44, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
Koral 13, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
Koral 14, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
OBLICZ~1, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
4 9 OK, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
Pyny 1 termin, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
ruch laminarny, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
PLYNY4~1(1), Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
lab 4 3, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
lab.płyny.4.13.R, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów

więcej podobnych podstron