1.Wstęp teoretyczny
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie rezonansu akustycznego. Realizujemy go używając kamertonu i monochordu, czyli drewnianego pudła na którym znajduje się struna podparta w punktach A i B dwoma ruchomymi progami; struna jest naprężona za pomocą zawieszonego na niej ciężarka P.
A B P
Rezonans wyznaczamy opierając drgający kamerton na pudle i zmieniając rozstawienie podpór aż do chwili znalezienia rezonansu. Istnienie rezonansu ustalamy optycznie tzn. zawieszając na strunie skrawki papieru w kształcie litery V i obserwując ich zachowanie podczas przesuwania podpór. Gdy skrawki papieru spadają możemy mieć pewność, że mamy do czynienia z rezonansem. Bardzo ważne jest żeby skrawki były zawieszone w środku odcinka struny pomiędzy podporami, należy też pamiętać by podpory przesuwać symetrycznie. Istnieje jeszcze jeden sposób wyznaczania rezonansu zwany słuchowym (realizowany przez zesrtojenie struny z kamertonem) nie jest on jednak stosowany w tym ćwiczeniu.
Podczas rezonansu częstotliwości drgań struny i kamertonu są sobie równe. Wyraża to wzór:
k F
ν =
2l S ⋅ r
Aby lepiej zrozumieć powyższy wzór przyjrzyjmy się procesom zachodzącym w odkształconej strunie, naprężonej siłą F. Jeśli założymy, że odkształcenie jest niewielkie, wtedy możemy też założyć,
że siły sprężystości, w porównaniu z siłą F, są tak niewielkie, że możemy je zaniedbać. W takim przypadku naprężoną strunę traktujemy jako strunę niesprężystą zachowującą się jak sprężysty pręt o module sztywności :
F
G =
S
Prędkość fal poprzecznych w sprężystym pręcie wyraża się wzorem :
G
V =
r
Podstawiając do powyższego wyrażenia G otrzymamy wzór na prędkość fali poprzecznej w naprężonej strunie:
F
V=
S ⋅ r
Aby spełniony został warunek rezonansowy długość struny l musi zostać tak dobrana żeby stanowiła całkowitą wielokrotność połowy długości fali λ.
D = l = kλ
λ
l = k
2
Z powyższego wzoru wynika, że w strunie mogą powstać fale stojące o długościach spełniających warunek:
2l
λ =
k
Częstotliwość ν drgań ośrodka w którym rozchodzi się z prędkością V fala o długości λ wynosi:
V
ν =
λ
Korzystając z powyższych zależności otrzymujemy nas wzór:
k F
ν =
2l S ⋅ ρ
3.Obliczenia
Podczas obliczania częstotliwości korzystaliśmy z wzoru:
1 m g l
ν =
2L m1
gdzie:
L - odległość pomiędzy podporami w chwili rezonansu
m - masa obciążenia
m1 - ciężar struny
g - przyśpieszenie ziemskie
l - długość struny
Poniżej przedstawiam przykładowe obliczenie częstotliwości dla struny 1 obciążonej ciężarkiem o masie 3 kg. W tym przypadku rozstaw podpór jest równy 0,125 m. Masa struny jest stała i wynosi 0,0019 kg , stała jest również jej długość wynosząca 1,02 m. Wszystkie te wartości podstawiamy do powyższego wzoru i obliczamy częstotliwość drgań.
ν = 1 3 ⋅ 9,81 ⋅ 1,02
2 ⋅ 1,125 0,0019 ν = 1 30,01 0,25 0,0019 ν = 4 ⋅ 15794,74 ν = 4 ⋅ 125,68
ν = 502,7 [s-1]
Dla pozostałych konfiguracji obliczenia wyglądają podobnie, w związku z tym nie będę ich tutaj przytaczał. Wszystkie obliczenia i wyniki zestawione są w tabeli na poprzedniej stronie w rozdziale wyniki pomiarów. 4.Wnioski
Podczas wykonywania ćwiczenia zaobserwowaliśmy, że prawidłowe wyznaczenie rezonansu zależy od symetrycznego rozsuwania podpór. W przeciwnym wypadku nawet jeśli uda nam się wyznaczyć rezonans to nie będziemy mogli tego zaobserwować.
Zauważyliśmy też, że wielkość skrawków papieru wpływa na poprawność przeprowadzonego ćwiczenia, a więc także na dokładność wyników. Mniejsze papierki są równocześnie lżejsze w związku z tym łatwiej je wprawić w drgania oraz strącić, nie zawsze w warunkach rezonansu.
Wymiary struny poważnie wpływają na szybkość wyznaczenia rezonansu. Im struna jest cieńsza tym trudniej znaleźć idealny rozstaw podpór. W przypadku cieńszej struny nawet niewielkie przesunięcie diametralnie wpływa na zachowanie się skrawków papieru. To z kolei utrudnia znalezienie idealnego rozstawu podpór.
Na zachowanie się skrawków papieru wpływa także siła drgań kamertonu. Podczas wykonywania ćwiczenia mogliśmy się przekonać, że przy tym samym rozstawie podpór słabnące drgania kamertonu ledwie poruszały skrawki papieru podczas gdy silne drgania potrafiły je nawet strącić.