Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Wydział Inżynierii Kształtowania Środowiska i Geodezji

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

Ćwiczenie nr 1

Ewa Lesińska

Budownictwo

Rok I

Rok akademicki 2013/2014

Dane:

Dla płyty zginanej walcowo wyznaczyć przemieszczenie metodą różnic skończonych

L = 20 m

n = 20

h = L/n = 1,0 m

α = 1,5

q = 2,0 kN/m

P = 6 kN

D₉ = 0 ( sztywność przegubu)

D₁ = 1EI

D₂ = αD₁ = 1,5 D₁

D1-2 =	2D1D2
		D1+D2

D_1-2= [(2*1*1,5)/(1+1,5)] = 1,2EI

Równania

- przy stałej sztywności

d^4w(xk)	=	1	(wk-2 - 4wk-1 + 6wk - 4wk+1 + wk+2)
dx^4				h^4

- przy zmiennej sztywności

d^2		[D(xk)	d^2w(xk)	]
dx^2					dx^2
=	1	[Dk-1 wk-2 - 2(Dk-1+Dk)wk-1 + (Dk-1 + 4Dk + Dk+1) wk -2(Dk + Dk+1) wk+1 + Dk+1 w k+2]
						h^4

Warunki brzegowe

w₀ = 0 ; w₂₀ = 0

ϕ = 0 ; w_i-1 - w_i+1 = 0 ⇒ w_-1 = w_1; w₁₉ = - w₂₁

M = 0 ; w_i-1 - 2 w_i + w_i+1 = 0

T = 0 ; w_i-2+2w_i-1-2w_i+1+w_i+2 = 0

Równania dla punktów charakterystycznych

k = 1 ⇒ (D₁/h⁴)(w_-1- 4w₀+6w₁ - 4w₂ +w₃) = 2 kN

k = 2 ⇒ (D₁/h⁴)(w₀- 4w₁+6w₂ - 4w₃ +w₄) = 2 kN

k = 3 ⇒ (D₁/h⁴)(w₁- 4w₂+6w₃ - 4w₄ +w₅) = 2 kN

k = 4 ⇒ (D₁/h⁴)(w₂- 4w₃+6w₄ - 4w₅ +w₆) = 1 kN

k = 5 ⇒ (D₁/h⁴)(w₃- 4w₄+6w₅ - 4w₆ +w₇) = 0 kN

k = 6 ⇒ (D₁/h⁴)(w₄- 4w₅+6w₆ - 4w₇ +w₈) = 0 kN

k = 7 ⇒ (D₁/h⁴)(w₅- 4w₆+6w₇ - 4w₈ +w₉) = 0 kN

k = 8 ⇒ (1/h⁴)(D₁w₆- 2(D₁+ D₁)w₇+(D₁+4D₁+D₉)w₈ -2(D₁+D₉)w₉ +D₉w₁₀) = 0 kN

k = 9 ⇒ (1/h⁴)(D₁w₇- 2(D₁+ D₉)w₈+(D₁+4D₉+D₁)w₉ -2(D₉+D₁)w₁₀ +D₁w₁₁) = 0 kN

k = 10 ⇒ (1/h⁴)(D₉w₈- 2(D₉+ D₁)w₉+(D₉+4D₁+D₁)w₁₀ -2(D₁+D₁)w₁₁ +D₁w₁₂) = 0 kN

k = 11 ⇒ (1/h⁴)(D₁w₉- 2(D₁+ D₁)w₁₀+(D₁+4D₁+D_1-2)w₁₁ -2(D₁+D_1-2)w₁₂ +D_1-2w₁₃) = 0 kN

k = 12 ⇒ (1/h⁴)(D₁w₁₀- 2(D₁+ D_1-2)w₁₁+(D₁+4D_1-2+D₂)w₁₂ -2(D_1-2+D₂)w₁₃ +D₂w₁₄) = 0 kN

k = 13 ⇒ (1/h⁴)(D_1-2w₁₁- 2(D_1-2+ D₂)w₁₂+(D_1-2+4D₂+D₂)w₁₃ -2(D₂+D₂)w₁₄ +D₂w₁₅) = 0 kN

k = 14 ⇒ (D₂/h⁴)(w₁₂- 4w₁₃+6w₁₄ - 4w₁₅ +w₁₆) = 0 kN

k = 15 ⇒ (D₂/h⁴)(w₁₃- 4w₁₄+6w₁₅ - 4w₁₆ +w₁₇) = 0 kN

k = 16 ⇒ (D₂/h⁴)(w₁₄- 4w₁₅+6w₁₆ - 4w₁₇ +w₁₈) = 6 kN

k = 17 ⇒ (D₂/h⁴)(w₁₅- 4w₁₆+6w₁₇ - 4w₁₈ +w₁₉) = 0 kN

k = 18 ⇒ (D₂/h⁴)(w₁₆- 4w₁₇+6w₁₈ - 4w₁₉ +w₂₀) = 0 kN

k = 19 ⇒ (D₂/h⁴)(w₁₇- 4w₁₈+6w₁₉ - 4w₂₀ +w₂₁) = 0 kN

Podstawienie

k = 1 ⇒ (1EI/1⁴)(w_-1- 4w₀+6w₁ - 4w₂ +w₃) = 2 kN

k = 2 ⇒ (1EI /1⁴)(w₀- 4w₁+6w₂ - 4w₃ +w₄) = 2 kN

k = 3 ⇒ (1EI /1⁴)(w₁- 4w₂+6w₃ - 4w₄ +w₅) = 2 kN

k = 4 ⇒ (1EI /1⁴)(w₂- 4w₃+6w₄ - 4w₅ +w₆) = 1 kN

k = 5 ⇒ (1EI /1⁴)(w₃- 4w₄+6w₅ - 4w₆ +w₇) = 0 kN

k = 6 ⇒ (1EI /1⁴)(w₄- 4w₅+6w₆ - 4w₇ +w₈) = 0 kN

k = 7 ⇒ (1EI /1⁴)(w₅- 4w₆+6w₇ - 4w₈ +w₉) = 0 kN

k = 8 ⇒ (1EI /1⁴)(1EI*w₆- 2(1+ 1)EIw₇+(1+4*1+0)EIw₈ -2(1+0)EIw₉ +0*w₁₀) = 0 kN

k = 9 ⇒ (1EI /1⁴)(1EI*w₇- 2(1+ 0)EIw₈+(1+4*0+1)EIw₉ -2(0+1)EIw₁₀ +1EI*w₁₁) = 0 kN

k = 10 ⇒ (1EI/1⁴)(0*w₈- 2(0+ 1)EIw₉+(0+4*1+1)EIw₁₀ -2(1+1)EIw₁₁ +1EI*w₁₂) = 0 kN

k = 11 ⇒ (1EI/1⁴)(1EI*w₉- 2(1+ 1)EI*w₁₀+(1+4*1+1,2)EI*w₁₁ -2(1+1,2)EI*w₁₂ +1,2EI*w₁₃) = 0 kN

k = 12 ⇒ (1EI/1⁴)(1EIw₁₀- 2(1+ 1,2)EIw₁₁+(1+4*1,2+1,5)EIw₁₂ -2(1,2+1,5)EIw₁₃ +1,5EI*w₁₄) = 0 kN

k = 13 ⇒ (1EI/1⁴)(1,2EI*w₁₁- 2(1,2+ 1,5)EI*w₁₂+(1,2+41,5+1,5)EI*w₁₃ -2(1,5+1,5)EI*w₁₄ +1.5EI*w₁₅) = 0 kN

k = 14 ⇒ (1,5EI/1⁴)(w₁₂- 4w₁₃+6w₁₄ - 4w₁₅ +w₁₆) = 0 kN

k = 15 ⇒ (1,5EI/1⁴)(w₁₃- 4w₁₄+6w₁₅ - 4w₁₆ +w₁₇) = 0 kN

k = 16 ⇒ (1,5EI/1⁴)(w₁₄- 4w₁₅+6w₁₆ - 4w₁₇ +w₁₈) = 6 kN

k = 17 ⇒ (1,5EI/1⁴)(w₁₅- 4w₁₆+6w₁₇ - 4w₁₈ +w₁₉) = 0 kN

k = 18 ⇒ (1,5EI/1⁴)(w₁₆- 4w₁₇+6w₁₈ - 4w₁₉ +w₂₀) = 0 kN

k = 19 ⇒ (1,5EI/1⁴)(w₁₇- 4w₁₈+6w₁₉ - 4w₂₀ +w₂₁) = 0 kN

---