Laboratorium Fizyki	Numer ćw M 10	Data ćw: 16-III-98		Grupa: 11M	Politechnika Świętokrzyska w Kielcach
Temat ćwiczenia: WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA
Wykonał: Kiniorski Rafał			Ocena:			Data:	Podpis:

1. Cel ćwiczenia

Program ćwiczenia obejmuje pomiar, oraz wyznaczenie modułu Younga metodami:

• bezpośrednią z pomiaru strzałki ugięcia zginanej belki

• pośrednią za pomocą tensometrów naklejonych na zginanej belce.

2. Wiadomości wstępne

Jeśli na jakieś nieruchome ciało wywierana jest pewna siła, to znaczy jeśli doznaje ono pewnego ciśnienia p., to w ciele tym występują odkształcenia, czyli deformacje. Deformacje mogą być związane ze zmianami objętości ciała - mówimy wtedy o odkształceniach objętościowych - lub też ze zmianami kształtu ciała - mówimy wtedy o odkształceniach postaci. W praktyce zwykle jeden rodzaj odkształcenia występuje obok drugiego, przy czym może się zaznaczyć wyraźna przewaga jednego z nich, co w rozważaniach przybliżonych upoważnia do zaniedbania drugiego.

Odkształcająca ciało siła zewnętrzna powoduje zmianę odległości międzycząsteczkowych. Tej zmianie przeciwstawiają się siły międzycząsteczkowe ciała, dzięki którym powstaje tzw. Opór sprężysty albo siła sprężystości; siła ta jest skierowana przeciwnie względem siły odkształcającej, a co do wartości jest jej równa. Siła oporu sprężystego jest tym większa, im większe jest odkształcenie; rośnie ona liniowo wraz z odkształceniem. Ilościowo ujmuje tę zależność prawo Hooke'a, które wyraża się równaniem:

p=k

gdzie: p - ciśnienie,

k - współczynnik proporcjonalności zwany modułem sprężystości, który ma dla

danego materiału wartość stałą zeleżną od rodzaju odkształcenia.

 - oznacza odkształcenie względne,

Z chwilą gdy ustaje działanie zewnętrznej siły odkształcającej, ciało powraca do pierwotnego stanu; siły napięć sprężystych, które powstały we wnętrzu ciała, sprawiają, że cząsteczki powracają do pierwotnych położeń. Oczywiście następuje to tylko wówczas, gdy

siła odkształcająca nie przekracza granicy sprężystości, w przeciwnym bowiem razie doznane odkształcenia ciała nie ustępują z chwilą zniknięcia siły zewnętrznej. Takie odkształcenia nazywamy plastycznymi. Prawo Hooke'a jest słuszne jedynie w odniesieniu do odkształceń sprężystych, a więc znikających wraz z działaniem siły zewnętrznej. Zależnie od rodzaju odkształcenia mamy dla danego materiału różne moduły sprężystości: przy odkształceniu postaci polegającym na rozciąganiu względnie kurczeniu pręta występuje moduł wydłużenia, przy skręcaniu pręta mamy moduł skręcenia itp. Każdy moduł sprężystości wyraża się

w jednostkach ciśnienia, tzn. N/m² lub kg/cm² , częściej kg/mm². Z poniższego wzoru wynika bowiem, że moduł sprężystości określa stosunek.

Odkształcenie względne
wyraża się stosunkiem odkształcenia bezwzględnego do początkowych wymiarów ciała i jest wobec tego liczbą oderwaną.

Największe znaczenie praktyczne ma moduł sprężystości na wydłużenie. Nosi on nazwę modułu Younga i oznaczany jest symbolem E .

Z wyrażenia tego łatwo odczytać sens fizyczny modułu Younga: jest to takie ciśnienie, które spowodowało by odkształcenie względne równe jedności ( oczywiście przy nie przekraczaniu granicy sprężystości ). W przypadku prostego wydłużenia .

będzie równe jedności, gdy
, to znaczy, gdy pręt zostanie rozciągnięty do podwójnej długości. W praktyce rzadko można osiągnąć takie odkształcenia bez przekroczenia granicy sprężystości ( wyjątek stanowi np. guma ).

3. Wyznaczani modułu Younga metodą bezpośrednią:

Metoda ta wykorzystuje zależność na strzałkę ugięcia” f „ zginanej belki:

gdzie: P- siła gnąca belkę

E - moduł Younga

J - moment bezwładności pola przekroju względem osi obojętnej

k ,L₁- wymiary belki (k=100mm, L₁=200mm)

Momentem bezwładności pola przekroju względem osi obojętnej nazywamy sumę iloczynów elementarnych pól tego przekroju przez kwadraty odległości tych pól od danej osi. Powyższy wzór zachowuje swoją ważność dla naprężeń nie przekraczających granicy sprężystości materiału zginanej belki. Po przekształceniu tego wzoru otrzymamy:

4. Wyznaczanie modułu Younga za pomocą tensometrów:

W metodzie tej wykorzystuje się zjawisko zmiany rezystancji cienkich drucików tensometru pod wpływem wydłużania lub skracania. Zmiana rezystancji jest wprost proporcjonalna do jednostkowego wydłużenia bądź skrócenia.

gdzie:

K - stała tensometrów

R - rezystancja tensometru

L - długość bazy tensometru

R/R - jednostkowa zmiana rezystancji tensometru

L/L = - jednostkowe wydłużenie lub skrócenie drucików tensometru

Zależność między modułem Younga E, jednostkowym wydłużeniem lub skróceniem skrajnych włókien belki z naklejonymi tensometrami a naprężeniem ujmuje zależność:

gdzie:

δ - naprężenie w przekroju

gdzie:

M_g- moment zginający

W_g- wskaźnik przekroju

5. Przeprowadzenie ćwiczenia:

Po ustawieniu belki na podporach i wstępnym obciążeniiu , ustawiam czujnik tak, aby głowica pomiarowa dotykała do belki . wartość wskazania notuję jako zerową n₀ w trakci obciążania belki i-tym obciążnikiem notuję wartość n_i na czujniku. Wartość strzałki ugięcia f_i przy i-tym obciążeniu wynosi:

f_i =n_i - n₀

Jednocześnie odczytuje wartość z potencjometru „równoważenie” podłączonego do tensometra , który z kolei przyklejony jest do belki. Wartość
R dla obciążenia i-tym obciążnikiem , należy policzyć z zależności:

gdzie: m_i- wartość odczytana z potencjometru „równoważenie”

0,002
- zmiana rezystancji tensometru odpowiadająca jednej działce potencjometru.

Pomiary przeprowadzam dwukrotnie tj. przy normalnym położeniu belki i po jej obróceniu o kąt 180⁰. Wyniki pomiarów zamieszczam w tabeli:

Belka w położeniu „normalnym”				Belka odwrócona o kąt 180^0.				Średnia strzałka ugięcia fśr		Średnia wartość R
Masa odważników [kg]	Strzałka ugięcia f[mm]	R [ ]		Masa odważników [kg]	Strzałka ugięcia f[mm]	R [ ]
0,5	0,74	0,036		0,5	0,71	0,03		0,725		0,033
1	1,54	0,076			1	1,47	0,06		1,505		0,068
1,5	2,22	0,108			1,5	2,28	0,092		2,25		0,1
2	3,06	0,14			2	3	0,128		3,03		0,134
2,5	3,87	0,18			2,5	3,77	0,16		3,82		0,17
3	4,46	0,208			3	4,52	0,204		4,49		0,206
3,5	5,31	0,248			3,5	5,12	0,232		5,215		0,240
4	6,09	0,284			4	5,96	0,268		6,025		0,276
4,5	6,83	0,32			4,5	6,64	0,3		6,735		0,31
5	7,53	0,356			5	7,35	0,323		7,44		0,3395

6. Na podstawie obliczonych wartości rysuję wykres zależności strzałki ugięcia i przyrostu rezystancji od przyłożonego obciążenia:

Jak widać z wykresu zależności strzałki ugięcia i przyrostu rezystancji od przyłożonego obciążenia

są liniowe.

7. Obliczenia błędów:

Wartość błędów obliczam metodą najmniejszych kwadratów. Ograniczę się do zbadania przypadku , gdy pomiędzy wielkościami x i y istnieje związek:

gdzie: x- wartość strzałki ugięcia

y- wartość obciążenia

stosując metodę najmniejszych kwadratów poszukuję takich wartości współczynników a i b, aby suma kwadratów różnic
y_i pomiędzy wartościami y_i znalezionymi doświadczalnie i y_i=a+bx_i obliczonymi ze wzoru

osiągnęła minimum:

z warunku na minimum funkcji dwu zmiennych (a i b) mamy;

stąd po rozwiązaniu układu dwu równań , otrzymujemy następujące wyrażenia na a i b :

podstawiając odpowiednie wartości otrzymałem wyniki: a=-88,805 b=22,203

I

IV

Średnia wartość
R [
]

Średnia wartość strzałki ugięcia f [mm]

---