Introduction In order to understand and be able to manipulate the economy of a country or a region, one needs to come up with a certain model based on the various sectors of this economy. The Leontief model is an attempt in this direction. Based on the assumption that each industry in the economy has two types of demands: external demand (from outside the system) and internal demand (demand placed on one industry by another in the same system), the Leontief model represents the economy as a system of linear equations. The Leontief model was invented in the 30's by Professor Wassily Leontief (picture above) who developed an economic model of the United States economy by dividing it into 500 economic sectors. On October 18, 1973, Professor Leontief was awarded the Nobel Prize in economy for his effort.

Wprowadzenie Aby zrozumieć i być w stanie manipulować gospodarkę danego kraju lub regionu, trzeba wymyślić pewien model oparty na różne sektory tej gospodarki. Model Leontiefa jest próbą w tym kierunku. Opiera się na założeniu, że każdy przemysłu w gospodarce ma dwa rodzaje potrzeb: popyt zewnętrzny (spoza systemu) i popytu wewnętrznego (popyt umieszczone na jednej branży, przez inną w tym samym systemie), model Leontief reprezentuje gospodarki jako systemu równań liniowych. Model Leontiefa został wynaleziony w latach 30-tych przez prof Wassily Leontief (zdjęcie powyżej), który opracował model ekonomiczny gospodarki Stanów Zjednoczonych, dzieląc ją na 500 sektorów gospodarki. W dniu 18 października 1973 roku, profesor Leontief otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii za jego wysiłek.

The Leontief closed Model Consider an economy consisting of n interdependent industries (or sectors) S₁,…,S_n. That means that each industry consumes some of the goods produced by the other industries, including itself (for example, a power-generating plant uses some of its own power for production). We say that such an economy is closed if it satisfies its own needs; that is, no goods leave or enter the system. Let m_ij be the number of units produced by industry S_i and necessary to produce one unit of industry S_j. If p_k is  the production level of industry S_k, then m_ij p_j represents the number of units produced by industry S_i  and consumed by industry S_j . Then the total number of units produced by industry S_i is given by:

Leontief zamknięty model Rozważmy gospodarkę składającą się z n współzależne przemysłowa (lub sektorów) S1, ..., Sn. Oznacza to, że każdy przemysł zużywa niektórych towarów produkowanych przez innych branż, w tym samego siebie (np. zasilania elektrociepłowni wykorzystuje niektóre z jego własną moc do produkcji). Mówimy, że taka gospodarka jest zamknięta, jeśli spełnia swoje potrzeby, czyli nie towary opuszczają lub wejść do systemu. Niech Mij być liczba jednostek produkowanych przez przemysł Si i niezbędne do wyprodukowania jednej jednostki przemysłu Sj. Jeżeli pk jest poziom produkcji Sk przemysłu, a następnie Mij pj oznacza liczbę jednostek wyprodukowanych przez przemysł Si i zużywanej przez przemysł Sj. Następnie w ogólnej liczbie jednostek wyprodukowanych przez przemysł Si jest przez:

p₁m_i1+p₂m_i2+…+p_nm_in.

In order to have a balanced economy, the total production of each industry must be equal to its total consumption. This gives the linear system:

W celu zrównoważenia gospodarki, całkowita produkcja każdej branży musi być równa całkowitej konsumpcji. Dzięki temu system liniowy:

If

A is called the input-output matrix. / Nazywa wejścia-wyjścia matrycy.

We are then looking for a vector P satisfying AP=P and with nonnegative components, at least one of which is positive.

Jesteśmy następnie szuka P wektor spełniający AP = P i elementy nieujemne, co najmniej jeden z nich jest pozytywna.

Example  Suppose that the economy of a certain region depends on three industries: service, electricity and oil production. Monitoring the operations of these three industries over a period of one year, we were able to come up with the following observations:

1.      To produce 1 unit worth of service, the service industry must consume 0.3 units of its own production, 0.3 units of electricity and 0.3 units of oil to run its operations.

2.      To produce 1 unit of electricity, the power-generating plant must buy 0.4 units of service, 0.1 units of its own production, and 0.5 units of oil.

3.      Finally, the oil production company requires 0.3 units of service, 0.6 units of electricity and 0.2 units of its own production to produce 1 unit of oil. 

Przykład Załóżmy, że gospodarka danego regionu zależy od trzech branżach: produkcji usług, energii elektrycznej i oleju. Monitorowanie działania tych trzech branż w okresie jednego roku, byliśmy w stanie wymyślić następujące spostrzeżenia:

1. Do wyprodukowania 1 jednostki wartości usługi, przemysł usługowy musi zużywać 0,3 jednostki własnej produkcji, 0,3 jednostki energii elektrycznej i 0,3 jednostek oleju do uruchomienia działalności.

2. Do wyprodukowania 1 jednostki energii elektrycznej, zasilania elektrociepłowni musi kupić 0,4 jednostki służby, 0,1 jednostki własnej produkcji, a 0,5 jednostki oleju.

3. Wreszcie, przedsiębiorstwo produkcji ropy naftowej wymaga 0,3 jednostki obsługi, 0,6 jednostki energii elektrycznej i 0,2 jednostki własnej produkcji do wyprodukowania 1 jednostki ropy.

Find the production level of each of these industries in order to satisfy the external and the internal demands assuming that the above model is closed, that is, no goods leave or enter the system.

Znajdź poziomu produkcji każdego z tych branż w celu zaspokojenia potrzeb zewnętrznych i wewnętrznych wymagań przy założeniu, że powyższy model jest zamknięty, to znaczy nie towary opuszczają lub wejść do systemu.

Solution Consider the following variables:

1.      p₁= production level for the service industry

2.      p₂= production level for the power-generating plant (electricity)

3.      p₃= production level for the oil production company

Rozwiązanie Rozważmy następujące zmienne:

1. p1 = poziom produkcji w sektorze usług

2. p2 poziom produkcji = do zasilania elektrociepłowni (energii elektrycznej)

3. = poziom p3 produkcji dla spółki wydobycia ropy naftowej

Since the model is closed, the total consumption of each industry must equal its total production. This gives the following linear system:

Od modelu jest zamknięty, całkowita konsumpcja każdej branży musi być równa jego całkowitej produkcji. To daje następujące system liniowy:

The input-output matrix is / Wejścia-wyjścia matrycy

and the above system can be written as (A-I)P=0. Note that this homogeneous system has infinitely many solutions (and consequently a nontrivial solution) since each column in the coefficient matrix sums to 1.   The augmented matrix of this homogeneous system is

i wyżej systemu można zapisać jako (A-I) P = 0. Zauważ, że jednolity system ma nieskończenie wiele rozwiązań (aw konsekwencji nieszablonowe rozwiązania) od każdej kolumnie w kwotach macierz współczynników do 1. Macierz zwiększona tego jednolitego systemu jest

which can be reduced to / które mogą być zredukowane do

.

To solve the system, we let p₃=t (a parameter), then the general solution is / Aby rozwiązać ten system, to niech p3 = t (parametr), to rozwiązanie ogólne

and as we mentioned above, the values of the variables in this system must be nonnegative in order for the model to make sense; in other words, t≥0.  Taking t=100 for example would give the solution /

i jak wspomniano powyżej, wartości zmiennych w tym systemie nie może być ujemna, aby model sensu, innymi słowy, t ≥ 0. Biorąc t = 100 na przykład dałoby rozwiązanie

 
The Leontief open Model The first Leontief model treats the case where no goods leave or enter the economy, but in reality this does not happen very often. Usually, a certain economy has to satisfy an outside demand,  for example, from bodies like the government agencies. In this case, let d_i be the demand from the i^th outside industry, p_i, and m_ij be as in the closed model above, then

Leontief otwarty model Pierwszy model Leontief traktuje w przypadku, gdy nie towary opuszczają lub wprowadzić gospodarki, ale w rzeczywistości to nie zdarza się często. Zazwyczaj niektórych gospodarki w celu zaspokojenia popytu na zewnątrz, na przykład, z instytucjami, takimi jak agencje rządowe. W tym przypadku, niech di jest zapotrzebowanie ze strony przemysłu poza ego, pi, i Mij być w zamkniętym modelu powyżej, a następnie

for each i. This gives the following linear system (written in a matrix form):

dla każdego i. To daje następujące liniowym (napisany w formie macierzy):

where P  and A are as above and / gdzie P i A są jak wyżej i

is the demand vector. / jest wektorem popytu.

One way to solve this linear system is

/ Jednym ze sposobów rozwiązania tego układu liniowego jest

Of course, we require here that the matrix I-A be invertible, which might not be always the case. If, in addition, (I-A)^-1 has nonnegative entries, then the components of the vector P are nonnegative and therefore they are acceptable as solutions for this model. We say in this case that the matrix A is productive.

Oczywiście, wymaga tutaj, że macierz jest odwracalna IA, która nie może być zawsze. Jeśli, dodatkowo, (IA) -1 pozycje, nieujemna, to składowe wektora P są nieujemne, a zatem są one dopuszczalne jako rozwiązania dla tego modelu. Mówimy w tym przypadku, że macierz A jest produktywna.

Example Consider an open economy with three industries: coal-mining operation, electricity-generating plant and an auto-manufacturing plant. To produce $1 of coal, the mining operation must purchase $0.1 of its own production, $0.30 of electricity and $0.1 worth of automobile for its transportation. To produce $1 of electricity, it takes $0.25 of coal, $0.4 of electricity and $0.15 of automobile. Finally, to produce $1 worth of automobile, the auto-manufacturing plant must purchase $0.2 of coal, $0.5 of electricity and consume $0.1 of automobile. Assume also that during a period of one week, the economy has an exterior demand of  $50,000 worth of coal, $75,000 worth of electricity, and $125,000 worth of autos. Find the production level of each of the three industries in that period of one week in order to exactly satisfy both the internal and the external demands.

Przykład Rozważmy otwartej gospodarki z trzech branż: górnictwa węgla kamiennego pracy, wytwarzające energię elektryczną roślin i auto-produkcji roślin. Aby wyprodukować 1 $ węgla, kopalnia musi zakupić 0,1 dolarów z własnej produkcji, 0,30 dolarów energii elektrycznej i 0,1 dolarów wartość samochodu do jego transportu. Aby wyprodukować 1 dolar energii elektrycznej, zajmuje 0,25 dolarów węgla, 0,4 dolarów energii elektrycznej i 0,15 dolarów samochodowych. Wreszcie, do produkcji o wartości $ 1 samochód, auto-zakład produkcyjny musi zakupić 0,2 dolarów węgla, 0,5 dolarów energii elektrycznej i zużywają 0,1 dolarów samochodowych. Załóżmy również, że w okresie jednego tygodnia, gospodarka popytu zewnętrznego 50.000 dolarów warte węgla, 75.000 dolarów wartości energii elektrycznej, a 125.000 dolarów wartości aut. Znajdź poziomu produkcji każdego z trzech branż w tym okresie jednego tygodnia, aby dokładnie spełniać zarówno wewnętrzne i zewnętrzne potrzeby.

Solution The input-output matrix of this economy is / Rozwiązanie wejścia-wyjścia matrycy tej gospodarki jest

and the demand vector is / i wektor popytu

By equation (*) above, / Przez równanie (*) powyżej,

where / gdzie

Using the Gaussian-elimination technique (or the formula B^-1=(1/det(B))adj(B)), we find that / Korzystanie z eliminacji Gaussa technika (lub wzoru B-1 = (1/det (B)) przym (B)), stwierdzamy, że

which gives / co daje

So, the total output of the coal-mining operation must be $229921.59, the total output for the electricity-generating plant is $437795.27 and the total output for the auto-manufacturing plant is $237401.57.

Tak więc, w całkowitej produkcji górniczych operacja musi być 229.921,59 dolarów, całkowite wyjście wytwarzające energię elektryczną zakład 437795,27 dolarów i całkowitej produkcji dla auto-produkcji roślin 237.401,57 dolarów.

 

---