Nierówności wymierne

Nierównością wymierną nazywamy nierówność postaci:

gdzie W(x) i G(x) są wielomianami i G(x) nie jest wielomianem zerowym.

Dziedziną nierówności:

jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zbioru pierwiastków wielomianu G(x).

Rozwiązać nierówność wymierną to znaczy wyznaczyć wszystkie liczby należące do dziedziny nierówności spełniające tę nierówność.

PRZYKŁAD 1

Rozwiąż nierówność


Dziedziną nierówności jest zbiór D=R \ {-2}.

I sposób

Często przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych korzystamy z następujących własności:

Korzystając z własności 2, otrzymujemy alternatywę dwóch układów nierówności:

Stąd rozwiązaniem nierówności jest zbiór (-2,3). Mówimy też, że rozwiązaniem nierówności jest każda liczba rzeczywista z przedziału (-2,3).

II sposób
Korzystając z własności 4, otrzymujemy:


Analizujemy szkic wykresu funkcji y = (x-3)(x+2)

Stąd otrzymujemy:

III sposób (siatka znaków)

Wyznaczone x dzielą nam oś x na trzy przedziały liczbowe (-∞; -2), (-2; 3), (3; +∞). Zapisujemy je jako nagłówki kolumn. W kolejnych wierszach pierwszej kolumny zapisujemy poszczególne czynniki iloczynu, który otrzymaliśmy po zastosowaniu odpowiedniej własności. By wypełnić tak powstałą tabelę odpowiednimi znakami, z każdego przedziału wybieramy jedną wartość i podstawiamy w miejsce x do wyrażeń znajdujących się w pierwszej kolumnie, a znak otrzymanego wyrażenia zapisujemy na przecięciu danego wiersza i kolumny.

Np. z przedziału wybieramy liczbę -3. Podstawiając ją do wyrażenia z pierwszego wiersza x + 2 otrzymujemy wartość ujemną (-1) zatem w odpowiedniej komórce tabeli wpisujemy znak „-„.

Podobnie postępujemy z pozostałymi komórkami tabeli.

W ostatnim wierszu tabeli znajdują się znaki, jaki powstają z „iloczynu znaków” znajdujących się w danej kolumnie (gdy mnożymy dwie wartości ujemne - czyli minusy- otrzymujemy wartość dodatnią, czyli „+”).

Ponieważ według nierówności szukamy tych argumentów, dla których funkcja występująca w nierówności jest ujemna, więc z tabeli wybieramy te przedziały liczbowe dla których w ostatnim wierszu pojawił się znak „-„.

Z powyższej tabelki (siatki znaków) odczytujemy, że nierówność jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy x∈ (-2; 3).

Odpowiedź

PRZYKŁAD 2

Rozwiąż nierówność

Dziedzina

2x² + 5x - 3 ≠ 0

Δ = 25 + 24 = 49

x + 3 ≠ 0

x ≠ -3

-3 jest pierwiastkiem podwójnym

Dziedziną nierówności jest zbiór D=R \ {-3,
}.

Sprowadzam elementy nierówność do wspólnego mianownika

Korzystamy z własności 3 i otrzymujemy

2x(x + 3)2(x + 3)(x -
) ≥ 0

4x(x + 3)²(x -
) ≥ 0

Wyznaczamy miejsca zerowe równania

4x(x + 3)²(x -
) = 0

4x = 0 (x + 3)² = 0 x -
= 0

x = 0 x = -3 x =

pierwiastek

dwukrotny

Szkicujemy wykres (zaznaczamy na osi x wyznaczone miejsca zerowe otrzymane z równania i tworzymy siatkę znaków, na podstawie której szkicujemy krzywą)

x	(-∞; -3)	(-3; 0)	(0; )	( ; +∞)
4x	-	-	+	+
(x + 3)^2	+	+	+	+
x -	-	-	-	+
4x(x + 3)^2(x - )	+	+	-	+

-3 0

Ponieważ liczba -3 jest pierwiastkiem podwójnym, więc w tym miejscu krzywa nie „przebija” osi x , lecz następuje „odbicie” krzywej. Taki wygląd krzywej uzasadnia również tabela znaków.

Ponieważ x = -3 nie należy do dziedziny nierówności, musimy „wyrzucić” tę wartość z rozwiązania.

Odp. Rozwiązaniem są x ∈ (-∞; -3)∪(-3; 0> ∪(
; +∞)

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania 1- 4 str. 33 - 34 z podręcznika.

---