Wyrażenia wymierne

Wyrażenie w postaci
, gdzie W(x), Q(x) to wielomiany stopnia wyższego niż zero oraz Q(x) ≠0 nazywamy wyrażeniem wymiernym zmiennej x.

Przykłady wyrażeń wymiernych:

a)
,

b)
,

c)

W wyrażeniu wymiernym zmienna może być oczywiście oznaczona dowolną literą.

Przykład 1:

Oblicz wartość wyrażenia
dla x = -1.

Aby obliczyć wartość wyrażenia wymiernego dla x = -1 należy do tego wyrażenia w miejsce zmiennej wartość -1.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jednej zmiennej nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wartość wielomianu Q jest różna od zera (zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których można określić wartość wyrażenia
).

By wyznaczyć dziedzinę danego wyrażenia wymiernego, należy wyznaczyć miejsca zerowe wielomianu znajdującego się w mianowniku wyrażenia (rozwiązać równanie Q(x) = 0), a następnie wyłączyć je ze zbioru liczb rzeczywistych.

Przykład 2:

Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Rozwiązania:

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem miejsc zerowych wielomianu znajdującego się w mianowniku.

a)

2x - 3 = 0

2x = 3 /: 2

x =

Otrzymaną wartość „wyrzucamy” ze zbioru liczb rzeczywistych otrzymując dziedzinę danego wyrażenia.

Odp.: Dziedziną wyrażenia jest R\{
}.

b)

= 0

Korzystając z zależności a⋅ b = 0⇔ a = 0 lub b = 0

otrzymujemy 2t - 1 = 0 lub t + 5 = 0.

Stąd 2t = 1/:2 lub t = -5

t =
lub t = -5.

Odp. : Dziedziną wyrażenia jest R\{-5,
}.

c)

= 0 (równanie kwadratowe)

a = 3 b = 5 c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = 5² - 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 25 - 24 = 1

Zatem są dwa rozwiązania tego równania x₁
i x₂
.

x₁
i x₂

x₁ =
x₂ =

x₁ = -1 x₂ =

Odp. : Dziedziną wyrażenia jest R\{-1,
}.

d)

x³ - 100x = 0 (równanie wielomianowe 3 - go stopnia)

Rozkładamy wielomian na czynniki wyłączając zmienna przed nawias

x(x² - 100) = 0

x = 0 lub x² - 100 = 0

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia rozkładamy wyrażenie x² - 100 na czynniki i otrzymujemy równanie

(x - 10)(x + 10) = 0

x - 10 = 0 lub x + 10 = 0

x = 10 lub x = -10

Odp. : Dziedziną wyrażenia jest R\{-10, 0, 10}.

e)

= 0 (równanie wielomianowe 4 - go stopnia)

3x³ (5x - 2) = 0

3x³ = 0 lub 5x - 2 = 0

x = 0 lub 5x = 2/:5

x =

Odp. : Dziedziną wyrażenia jest R\{0,
}.

f)

(x² - 4)(4x - 12) = 0

x² - 4 = 0 lub 4x - 12 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0 lub 4x - 12 = 0

x - 2 = 0 lub x + 2 = 0 lub 4x - 12 = 0

x = 2 lub x = - 2 lub 4x = 12 /:4

x = 3

Odp. : Dziedziną wyrażenia jest R\{-2, 2,3}.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania 1, 2 str. 19-20 z podręcznika.

Na wyrażeniach wymiernych (tak jak na ułamkach) można wykonywać podstawowe działania, czyli dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie (w przypadku dzielenia ważna jest dziedzina).

Przy wykonywaniu jakichkolwiek działań na wyrażeniach wymiernych należy pamiętać o wyznaczeniu dziedziny wyrażenia.

Przykład 3:

Wykonaj działania, wynik przedstaw w jak najprostszej postaci.

a)

b)

c)

d)

e)

Rozwiązania:

a)

Dziedzina: x = 0 i x² = 0

D = R \ {0)

Aby wykonać działania dodawania i odejmowania na wyrażeniach wymiernych należy te wyrażenia (tak jak ułamki) sprowadzić do wspólnego mianownika.

b)

Dziedzina: x² + 2x = 0 i x + 2 = 0

x(x + 2) = 0 i x = -2

x = 0 i x + 2 = 0 i x = -2

x = 0 i x = -2

D = R \ {-2, 0}

c)

Dziedzina: 10x - 5 = 0 i 2x⁴ = 0

10x = 5/:10 i x = 0

x =

x =

D = R \ {0,
}

d)

Dziedzina: x² + x - 6 = 0 i 10x² - 2x³ = 0

a = 1 b = 1 c = -6 i 2x²(5 - x) = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = 1² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-6) = 1 + 24 = 25

x₁
i x₂
.

x₁
i x₂

x₁ =
x₂ =

x₁ = -3 x₂ = 2

D = R \{-3, 2}

Rozkładam wielomian na czynniki W(x) = x² + 2x - 3

a = 1 b = 2 c = -3

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-3) = 4 + 12 = 16

x₁
i x₂
.

x₁
i x₂

x₁ =
x₂ =

x₁ = -3 x₂ =

x² + 2x - 3 = (x+3)(x-
)

e)

Dziedzina: 2x - 1 = 0 i 3x = 0 i x + 1 = 0

2x = 1/:2 i x = 0 i x = -1

x =
i x = 0 i x = -1

D = R \ {-1, 0,
}

Ćwiczenie 2

Rozwiąż zadania 4, 5, 6 str. 20 i 8, 9 str. 21 z podręcznika.

Przykład 4:

Jakie liczby należy wstawić w miejsce liter a i b, aby zachodziła podana równość wyrażeń?

Skoro mianowniki są takie same, to by wyrażenia były sobie równe muszą być również równe liczniki.

ax + b(5x-2) = 4

ax + 5bx - 2b = 4

x(a + 5b) - 2b = 4

Aby lewa strona była równej prawej współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x musza być takie same.

x(a + 5b) - 2b = x⋅0 + 4

Ćwiczenie 3

Rozwiąż zadanie 10 str. 21 z podręcznika.

---