IS Matematyka C S 05 wielomiany f wymierna

background image

Materiały przygotowane w ramach projektu „Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00











Wprowadzenie do matematyki




Materiały do zajęć (5):


Funkcje elementarne.





Wielomiany.

Funkcja wymierna.

Funkcja homograficzna.

Funkcja potęgowa.


background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

46

5. Wielomiany.


Dziedziną funkcji wielomianowej jest zbiór R.
Stałe

n

a

a

a

...,

,

,

1

0

nazywamy współczynnikami wielomianu,

0

a jest wyrazem wolnym.

Liczbę

N

n

nazywamy stopniem wielomianu W.

Dwa niezerowe wielomiany W oraz Q są równe wtedy i tylko wtedy, gdy

)

(

)

(

x

Q

x

W

dla każdego

x R. Oznacza to, że wielomiany W oraz Q są tego samego stopnia

i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

















Przykład.
Podzielić wielomian

1

5

12

5

)

(

2

3

4

x

x

x

x

x

W

przez dwumian

1

)

(

x

x

P

oraz

rozwiązać nierówność

0

1

5

12

5

2

3

4

x

x

x

x

.

Definicja.
Wielomianem stopnia

N

n

nazywamy funkcję określoną wzorem:

0

1

1

1

.....

)

(

a

x

a

x

a

x

a

x

W

n

n

n

n

, gdzie

n

a

a

a

...,

,

,

1

0

R,

0

n

a

,

x R.



Definicja.
Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy liczbę

0

x , dla której

0

)

(

0

x

W

.

Twierdzenie Bézout.
Liczba

0

x jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest

podzielny przez dwumian

)

(

0

x

x

.

background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

47


Przykład.

Sprowadzić do najprostszej postaci wyrażenie

9

7

4

3

8

)

(

x

x

x

x

.

Rozwiązanie:












Wzory skróconego mnożenia:

2

2

2

2

)

(

b

ab

a

b

a

,

2

2

2

2

)

(

b

ab

a

b

a

,

)

)(

(

2

2

b

a

b

a

b

a

,

3

2

2

3

3

3

3

)

(

b

ab

b

a

a

b

a

,

3

2

2

3

3

3

3

)

(

b

ab

b

a

a

b

a

,

)

)(

(

2

2

3

3

b

ab

a

b

a

b

a

,

)

)(

(

2

2

3

3

b

ab

a

b

a

b

a

.


Działania na potęgach:

dla

0

x

i

n N:

n

n

x

x

1

,

dla

0

x

oraz

n N i

1

n

:

n

n

x

x

1

,

dla

0

x

,

m Z oraz

n N i

1

n

:

n

m

n

m

x

x

,

dla dowolnych liczb

0

,

y

x

oraz

n

m,

R (lub

0

,

y

x

i

n

m,

Z) prawdziwe są

zależności:

a)

n

m

n

m

x

x

x

,

b)

n

m

n

m

x

x

x

,

c)

 

n

m

n

m

x

x

,

d)

n

n

n

y

x

y

x

)

(

,

e)

n

n

n

y

x

y

x





.

background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

48

6. Funkcja wymierna.

Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych takich, że

0

)

(

x

P

,

}

0

)

(

:

{

x

P

x

D

f

R

.










Przykład.

Wyznaczyć dziedzinę i miejsca zerowe funkcji

4

3

2

)

(

2

4

2

3

x

x

x

x

x

x

f

.











Przykład.

Rozwiązać:

0

4

3

2

2

4

2

3

x

x

x

x

x

.





Definicja.
Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci:

)

(

)

(

)

(

x

P

x

W

x

f

, gdzie W oraz P są wielomianami i

0

)

(

x

P

.

Wartości funkcji wymiernej

)

(

)

(

)

(

x

P

x

W

x

f

dla

0

)

(

x

P

:

f przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy

0

)

(

)

(

x

P

x

W

;

f przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy

0

)

(

)

(

x

P

x

W

.

background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

49

7. Funkcja homograficzna.

Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór



c

d

\

R

, zbiorem wartości

c

a

\

R

.

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola o asymptotach

c

d

x

(asymptota

pionowa),

c

a

y

(asymptota pozioma). Hiperbola jest symetryczna względem punktu



c

a

c

d

,

.


Przykład.

Wyznaczyć dziedzinę, zbiór wartości i asymptoty wykresu funkcji

2

5

3

)

(

x

x

x

f

.








Definicja.
Funkcją homograficzną nazywamy funkcję wymierną określoną wzorem:

d

cx

b

ax

x

f

)

(

,

0

bc

ad

i

0

c

.


background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

50













Położenie hiperboli w układzie współrzędnych zależy od znaku liczby

0

s

. Dla

0

s

wykres funkcji

x

s

x

g

)

(

znajduje się w I i III ćwiartce układu współrzędnych, dla

0

s

w ćwiartce II i IV.

Przykład.

Narysować wykres funkcji

2

5

3

)

(

x

x

x

f

.

Przedziały monotoniczności funkcji homograficznej

0

,

)

(

s

q

p

x

s

x

f

zależą od

znaku współczynnika s:












8. Funkcja potęgowa.


Własności funkcji potęgowej zależą od wykładnika potęgi

R

a

.

Wzór każdej funkcji homograficznej można zapisać w postaci:

0

,

)

(

s

q

p

x

s

x

f

.

Definicja.
Funkcją potęgową nazywamy funkcję postaci

R

a

x

x

f

a

,

)

(

background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

51

Przykład.
Określić dziedzinę funkcji:

a)

3

)

(

x

x

f

,

f

D

…………………………………………………………………………………………………………………

b)

2

2

1

)

(

x

x

x

f

,

f

D

………………………………………………………………………………………………………

c)

x

x

x

f

2

1

)

(

,

f

D

……………………………………………………………………………………………………….

d)

7

5

7

5

)

(

x

x

x

f

,

f

D

………………………………………………………………………………………………………

e)

8

3

8

3

)

(

x

x

x

f

,

f

D

……………………………………………………………………………………………………..

f)

5

3

5

3

1

)

(

x

x

x

f

,

f

D

……………………………………………………………………………………………………

g)

4

4

1

1

)

(

x

x

x

f

,

f

D

……………………………………………………………………………………………………..


background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

52

Zadania


Wielomiany

zad. 1) Obliczyć:

a)

 

0

3

2

5

,

1

1

1500

27

9

5

,

1

9

,

b)

 



7

3

7

3

7

7

5

5

7

5

4

,

1

5

,

1

5

,

1

2

1

2

1

2

1

2

1

5

5

,

c)

   

3

3

2

1

2

1

2

2

3

a

ab

b

a

dla

2

2

a

i

3

2

1

b

.


zad. 2) Dany jest wielomian

8

)

(

2

3

4

nx

mx

x

x

W

, wartość tego wielomianu dla

2

x

jest taka sama jak dla

2

x

. Natomiast

82

)

3

(

W

. Wyznaczyć wartość liczb

m i

n .


zad. 3) Wiedząc, że wielomian

10

9

)

(

2

3

x

bx

ax

x

W

jest podzielny przez dwumian

2

x

i przez dwumian

1

x

znaleźć współczynniki a i

b

.

zad. 4) Rozłożyć wielomiany na czynniki i podać ich pierwiastki:

a)

6

9

2

3

)

(

2

3

x

x

x

x

W

,

b)

7

9

2

)

(

2

4

x

x

x

P

,

c)

2

4

2

)

(

x

x

x

Q

,

d)

6

4

)

(

2

3

x

x

x

x

S

.


zad. 5) Dany jest wielomian

2

4

10

2

4

)

(

2

3

x

x

x

x

W

.

a) Obliczyć

)

2

(

W

,

b) Ile różnych pierwiastków ma wielomian W ?
c) Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian

2

)

(

x

x

P

.


zad. 6) Dla jakich wartości parametru k równanie

0

1

2

1

2

3

5

x

k

x

k

x

ma

dokładnie trzy pierwiastki?


zad. 7) Rozwiązać nierówności:

a)



0

3

1

3

2

x

x

x

,

b)



0

7

4

2

2

x

x

,

c)

0

16

4

x

,

d)

1

1

2

2

2

x

x

,

e)

0

15

3

5

2

3

x

x

x

,

f)

x

x

x

3

3

,

g)

0

2

7

2

3

x

x

.

background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

53

Funkcja wymierna

zad. 8) Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

a)

x

x

x

x

x

x

f

3

7

2

)

(

2

3

2

,

b)

2

3

2

1

)

(

2

2

x

x

x

x

f

,

c)

2

16

2

7

)

(

x

x

x

f

.


zad. 9) Rozwiązać równania:

a)

2

1

7

2

x

x

,

b)

4

4

2

2

2

x

x

x

,

c)

x

x

x

2

2

1

1

,

d)

0

1

2

4

2

2

x

x

x

.


zad. 10) Rozwiązać nierówności:

a)

2

1

3

1

5

x

x

x

x

,

b)

0

4

3

4

2

2

x

x

,

c)

0

1

1

2

2

x

x

x

x

,

d)

1

1

2

2

x

x

.

zad. 11) Dana jest funkcja

8

2

3

6

)

(

x

x

x

f

a) zapisać wzór funkcji

f w postaci kanonicznej,

b) wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji

f ,

c) wyznaczyć miejsca zerowe funkcji

f ,

d) wyznaczyć asymptoty funkcji f ,
e) wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji

f ,

f) narysować wykres funkcji

f .


background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

54

Zadania do samodzielnego rozwiązania


zad. 1) Obliczyć:

a)

2

3

1

3

75

,

0

125

,

0

3

2

1

:

625

81

,

b)

2

4

1

3

3

81

16

3

9

375

,

0





,

c)

 

 

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2



a

x

a

x

a

x

a

x

dla

2

1

2

2

2





mn

n

m

a

x

,

0

,

0

m

n

a

.


Odpowiedź:

a) 4,

b)

2

1

10 ,

c)

2

2

n

m

.


zad. 2) Wykonać dzielenie wielomianu W przez wielomian P:

a)

4

2

2

3

)

(

2

3

4

x

x

x

x

x

W

,

1

)

(

x

x

P

,

b)

10

7

4

2

)

(

2

3

x

x

x

x

W

,

2

)

(

x

x

P

.


Odpowiedź:

a)

4

3

5

3

2

3

x

x

x

,

b)

2

4

7

2

2

x

x

.


zad. 3) Wielomian W przy dzieleniu przez

)

5

(

x

daje resztę 1, a przy dzieleniu przez

)

3

(

x

daje resztę

)

7

(

. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian

15

2

)

(

2

x

x

x

P

.


Odpowiedź:

4

)

(

x

x

R

.


zad. 4) Dla jakich wartości parametru

R

m

reszta z dzielenia wielomianu

m

x

x

m

x

W

5

8

)

(

3

6

2

przez dwumian

)

1

(

x

jest równa 2?


Odpowiedź:

}

2

,

3

{

m

.



background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

55

zad. 5) Rozłożyć na czynniki wielomiany i podać ich pierwiastki:

a)

1

)

(

4

2

x

x

x

W

,

b)

6

13

2

)

(

2

4

x

x

x

W

,

c)

x

x

x

x

W

36

7

)

(

2

2

3

,

d)

2

3

2

3

)

(

4

5

x

x

x

x

W

.


Odpowiedź:

a)





1

2

1

)

(

2

3

4

2

2

5

1

2

5

1

x

x

x

x

x

x

x

x

W

,

2

5

1

2

5

1

,

x

,

b)





6

6

2

)

(

2

2

2

2

x

x

x

x

x

W

,

6

,

,

,

6

2

2

2

2

x

,

c)

)

3

)(

3

)(

2

)(

2

)(

1

)(

1

(

)

(

x

x

x

x

x

x

x

x

W

,

}

3

,

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

3

{

x

,

d)

)

2

3

)(

1

(

)

(

4

x

x

x

W

,

 

3

2

x

.


zad. 6) Rozwiązać nierówności:

a)

0

)

2

(

)

3

)(

5

(

2

3

x

x

x

,

b)

0

12

8

2

3

4

x

x

x

,

c)

0

3

7

4

3

x

x

,

d)

0

4

3

x

x

,

e)

0

2

4

2

2

3

x

x

,

f)

x

x

x

x

4

4

3

3

.


Odpowiedź:

a)

)

,

3

[

}

2

{

]

5

,

(



x

,

b)

 

 

,

0

0

,

2

6

,

x

,

c)

1

,

2

1

2

3

,

x

,

d)

)

,

2

(

)

2

,

(



x

,

e)

]

6

,

2

[

x

,

f)

)

2

,

0

(

)

2

,

(



x

.


zad. 7) Wyznaczyć dziedzinę oraz miejsca zerowe funkcji:

a)

9

6

4

)

(

2

x

x

x

x

f

,

b)

x

x

x

x

x

x

f

6

5

6

2

)

(

2

3

2

.


Odpowiedź:

a)

}

3

{

\

R

f

D

, miejsce zerowe

4

x

,

b)

}

3

,

2

,

0

{

\

R

f

D

, funkcja nie ma miejsc zerowych.



background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

56

zad. 8) Rozwiązać równania:

a)

x

x

x

5

2

5

5

,

b)

1

1

2

2

1

x

x

,

c)

2

3

1

2

x

x

x

.


Odpowiedź:

a)

2

5

5

,

2

5

5

x

,

b)

x

,

c)

}

2

,

1

{

x

.


zad. 9) Rozwiązać równania:

a)

1

3

2

3

x

,

b)

2

1

1

3

x

.


Odpowiedź:

a)

 

3

,

0

x

,

b)



2

7

,

2

3

x

.


zad. 10) Rozwiązać nierówności:

a)

0

9

6

5

2

2

x

x

x

,

b)

2

3

x

,

c)

x

x

1

9

,

d)

2

2

3

4

5

x

x

.


Odpowiedź:

a)

)

,

3

(

)

3

,

2

[

)

3

,

(



x

,

b)

)

,

0

(

]

5

,

1

;

(



x

,

c)

3

1

,

0

3

1

,

x

,

d)

3

2

,

0

x

.

background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

57

zad. 11) Wyznaczyć dziedzinę, zbiór wartości, asymptoty oraz określić przedziały

monotoniczności funkcji:

a)

1

2

3

)

(

x

x

f

,

b)

1

3

2

)

(

x

x

x

f

,

c)

3

4

3

)

(

x

x

x

f

.


Odpowiedź:

a)

}

2

{

\

R

f

D

,

}

1

{

\

1

R

f

D

, asymptoty:

1

,

2

y

x

, funkcja jest malejąca

w przedziałach:

)

,

2

(

),

2

,

(



,

b)

}

1

{

\

R

f

D

,

}

2

{

\

1

R

f

D

, asymptoty:

2

,

1

y

x

, funkcja jest rosnąca

w przedziałach:

)

,

1

(

),

1

,

(



,

c)

}

3

{

\

R

f

D

,

}

3

{

\

1

R

f

D

, asymptoty:

3

,

3

y

x

, funkcja jest rosnąca

w przedziałach:

)

,

3

(

),

3

,

(



.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
IS Matematyka C S 05 wielomiany f wymierna
05 FUNKCJA WIELOMIANOWA I WYMIERNA, szkola technikum, matma, mata, zadania z liceum
wielomiany.f.wymierne
03 Wielomiany i wymierne
IS Matematyka C S 06 f trygonometryczne
Zestaw3 wielomiany wymierne potegowe
IS Matematyka C S 02 zbiory
03 Wielomiany i wymierneid 4524
IS Matematyka W S 4 rownania rozniczkowe
IS Matematyka C S 01 logika
(3606) funkcja wielomianowa i wymierna
IS Matematyka C S 03 f liniowa wartosc bezwzgledna
IS Matematyka C S 04 f kwadratowa
(2385) matematyka3 calki funkcji wymiernych
IS Matematyka C S 01 logika
IS Matematyka C S 02 zbiory
IS Matematyka C S 04 f kwadratowa
zadania wielomiany&wymierne
magazyn is numer 05

więcej podobnych podstron