Materiały przygotowane w ramach projektu „Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00

Wprowadzenie do matematyki

Materiały do zajęć (3, 4):

Funkcje elementarne.



Funkcja kwadratowa.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

40

4. Funkcja kwadratowa.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o równaniu

c

bx

ax

y







2

,



c

b

a

,

,

R i

0



a

. Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego nazywamy liczbę:

ac

b

4

2







.

Współrzędne wierzchołka paraboli:

)

,

( q

p

W

, gdzie

)

(

4

,

2

p

f

a

q

a

b

p













.

Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej zależą od znaku współczynnika a :



dla

0



a

funkcja jest malejąca w przedziale

)

,

(

p



i rosnąca w przedziale

)

,

(





p

,



dla

0



a

funkcja jest rosnąca w przedziale

)

,

(

p



i malejąca w przedziale

)

,

(





p

.

x

a<0
Δ<0

– – –

x

x

0

a<0
Δ=0

– – –

– – –

– –

x

x

1

x

2

a<0
Δ>0

+ + +

– – –

– – –

x

a>0
Δ<0

+ + +

x

x

0

a>0
Δ=0

+ + +

+ + +

+ +

x

x

2

x

1

a>0
Δ>0

+ + +

+ + +

– – –

Definicja.
Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję postaci:

c

bx

ax

x

f







2

)

(

,



a R



c

b,

},

0

{

\

R,



x R.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

41

Przykład.
Narysować wykresy funkcji:
a)

3

2

)

(

2







x

x

x

f

,

b)

3

5

2

)

(

2







x

x

x

f

,

c)

x

x

x

f

3

2

1

)

(

2







,

d)

1

3

)

(

2





x

x

f

.

Wyznaczyć miejsca zerowe i podać zbiór wartości.

Przykład.
Wyznaczyć współczynniki

b

i c trójmianu kwadratowego

c

bx

x

x

f







2

)

(

wiedząc, że

jego miejsca zerowe

2

1

, x

x

spełniają warunki:

24

,

6

2

1

1









x

x

x

.

Rozwiązanie:

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej są rozwiązaniami równania

0

2







c

bx

ax

i ich

ilość zależy od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego:



dla

0





są dwa miejsca zerowe:

a

b

x

2

1









,

a

b

x

2

2









,



dla

0





jest jedno miejsce zerowe:

a

b

p

x

2

0







,



dla

0





miejsca zerowe nie istnieją.

Różne postacie trójmianu kwadratowego:
niech



a R



c

b,

},

0

{

\

R,



x R.



postać ogólna:

c

bx

ax

x

f







2

)

(

,



postać kanoniczna:

q

p

x

a

x

f







2

)

(

)

(

,



postać iloczynowa (tylko dla

)

0





:

dla

0





:

)

)(

(

)

(

2

1

x

x

x

x

a

x

f







, gdzie

a

b

x

2

1









,

a

b

x

2

2









,

dla

0





:

2

)

(

)

(

p

x

a

x

f





.

Wzory Viete’a.
Jeśli równanie

0

2







c

bx

ax

)

0

(



a

ma dwa rozwiązania (

)

,

2

1

x

x

, to:

a

b

x

x







2

1

oraz

a

c

x

x





2

1

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

42

Zadania

zad. 1) Funkcja f określona jest wzorem

3

2

)

(

2







x

x

x

f

a) określić zbiór wartości funkcji f ,
b) określić jej przedziały monotoniczności,
c) znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale





2

,

3



,

d) zapisać wzór funkcji f w postaci kanonicznej i iloczynowej (o ile jest to

możliwe).

zad. 2) Rozwiązać równania:

a)

0

9

4

2





x

,

b)

0

7

2

2





x

x

,

c)

0

5

3

2









x

x

.

zad. 3) Rozwiązać nierówności:

a)

0

16

2





x

,

b)

0

9

12

4

2







x

x

,

c)

0

3

2

2









x

x

.

zad. 4) Funkcje

f i g określone są wzorami

c

x

x

x

f







6

2

)

(

2

i

25

)

(

2









bx

x

x

g

.

Funkcja

f ma jedno miejsce zerowe, zaś funkcja g osiąga największą wartość dla

argumentu

5

. Wyznaczyć współczynniki

b

i c oraz rozwiązać nierówność

0

)

(

4

)

(







x

g

x

f

.

zad. 5) Dane jest równanie





0

1

7

1

2

2













m

m

x

m

x

m

z niewiadomą x . Sporządzić

wykres funkcji

)

(m

f

m



, gdzie

)

(m

f

oznacza liczbę pierwiastków danego

równania.

zad. 6) Dla jakich wartości parametru p równanie

0

2

2

2









p

x

px

ma dwa pierwiastki

mniejsze od 1 ?

zad. 7) Wyznaczyć

te

wartości

parametru

x ,

dla

których

nierówność









0

1

2

2

2













x

p

x

p

x

nie ma rozwiązań.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

43

Zadania do samodzielnego rozwiązania

zad. 1) Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji:

a)

5

3

2

)

(

2







x

x

x

f

,

b)

x

x

x

f





2

6

)

(

,

c)

1

9

)

(

2





x

x

f

,

d)

32

2

)

(

2





x

x

f

.

Odpowiedź:

a)

}

1

;

5

,

2

{





x

,

b)















0

,

6

1

x

,

c)















3

1

,

3

1

x

,

d)



x



.

zad. 2) Zapisać wzór funkcji f w postaci kanonicznej i iloczynowej (o ile jest to możliwe),

wyznaczyć jej miejsca zerowe oraz podać współrzędne wierzchołka paraboli:

a)

3

2

)

(

2







x

x

x

f

,

b)

3

8

2

)

(

2







x

x

x

f

,

c)

x

x

x

f

3

2

1

)

(

2







,

d)

1

3

)

(

2





x

x

f

.

Odpowiedź:

a)

2

)

1

(

)

(

2







x

x

f

,

)

2

,

1

(

W

, barak miejsc zerowych,

b)

)

5

,

2

(





W

; postać kanoniczna:

5

)

2

(

2

)

(

2







x

x

f

, miejsca zerowe:

2

10

4

1







x

oraz

2

10

4

2







x

; postać iloczynowa:

)

(x

f

=

































2

10

4

2

10

4

x

x

;

c) Postać iloczynowa:

)

6

(

2

1

)

(







x

x

x

f

; miejsca zerowe:

0



x

oraz

6





x

;

)

5

,

4

;

3

(



W

; postać kanoniczna:

5

,

4

)

3

(

5

,

0

)

(

2









x

x

f

,

d)

)

1

,

0

(

W

; postać kanoniczna:

1

3

)

(

2





x

x

f

; brak miejsc zerowych.

zad. 3) Określić zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności funkcji f określonej

wzorem:
a)

5

2

)

(

2







x

x

f

,

b)

15

8

)

(

2









x

x

x

f

,

c)

4

)

1

(

2

)

(

2







x

x

f

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

44

Odpowiedź:

a)

)

0

,

(

1







f

D

; funkcja jest rosnąca w przedziale

)

0

,

(



i malejąca w przedziale

)

,

0

(





,

b)

]

1

,

(

1







f

D

; funkcja jest rosnąca dla

)

4

,

(





x

i malejąca dla

)

,

4

(







x

,

c)

)

,

4

[

1









f

D

, funkcja jest rosnąca w przedziale

)

,

1

(





i malejąca w przedziale

)

1

,

(



.

zad. 4) Podać wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej wiedząc, że

k

m

x

x

f









2

)

(

)

(

oraz dla argumentu 3 funkcja osiąga wartość największą równą 4.

Odpowiedź:

5

6

)

(

2









x

x

x

f

.

zad. 5) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w podanym przedziale:

a)

]

3

,

0

[

,

5

2

)

(

2











x

x

x

x

f

,

b)

]

1

,

2

[

,

2

)

(

2











x

x

x

f

,

c)

]

3

,

1

[

,

3

)

(

2







x

x

x

x

f

.

Odpowiedź:

a)

6

)

1

(

max





f

f

;

2

)

3

(

min





f

f

,

b)

2

)

2

(

max







f

f

;

1

)

1

(

min









f

f

,

c)

0

)

3

(

max





f

f

;

4

9

2

3

min



















f

f

.

zad. 6) Wyznaczyć współczynniki

b

i c trójmianu kwadratowego

c

bx

x

x

f







2

)

(

wiedząc, że jego miejsca zerowe

2

1

, x

x

spełniają warunki:

a)

6

,

3

2

1

2









x

x

x

,

b)

5

,

1

,

5

,

2

2

1

2









x

x

x

.

Odpowiedź:

a)















,

6

1

c

b

b)













.

10

5

,

1

c

b

zad. 7) Rozwiązać równania:

a)

0

12

5

2

2







x

x

,

b)

0

15

5

2









x

x

,

c)

0

2

1

3

1

2





x

x

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

45

Odpowiedź:

a)

5

,

1

4

2









x

x

,

b) brak rozwiązań,

c)















2

3

,

0

x

.

zad. 8) Rozwiązać nierówności:

a)

0

2

2

1

2







x

x

,

b)

0

3

2

2







x

x

,

c)

0

1

4

4

2







x

x

,

d)

0

49

14

2









x

x

,

e)

0

1

5

2







x

.

Odpowiedź:

a)

]

4

,

0

[



x

,

b)

)

,

1

(

)

3

,

(













x

,

c)

}

5

,

0

{





x

,

d)

}

7

{

\

R



x

,

e)

R



x

.

zad. 9) Wyznaczyć współczynniki a i

b

trójmianu kwadratowego

10

)

(

2







bx

ax

x

f

wiedząc, że do jego wykresu należy punkt

)

6

,

1

(

, a jednym z jego miejsc zerowych

jest liczba 2. Dla jakich argumentów funkcja

f przyjmuje wartości dodatnie?

Odpowiedź:

3

,

1









b

a

; funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla

)

2

,

5

(





x

.

zad. 10) Dana jest funkcja

1

)

(

2







mx

mx

x

f

. Wyznaczyć wszystkie wartości



m R, dla

których:
a) funkcja

f przyjmuje tylko wartości ujemne,

b) zbiorem wartości funkcji

f jest przedział

)

,

3

[







.

Odpowiedź:

a)

)

0

,

4

(





m

,

b)

}

8

{



m

.