Materiały przygotowane w ramach projektu „Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00
Wprowadzenie do matematyki
Materiały do zajęć (3, 4):
Funkcje elementarne.
Funkcja kwadratowa.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
40
4. Funkcja kwadratowa.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o równaniu
c
bx
ax
y
2
,
c
b
a
,
,
R i
0
a
. Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego nazywamy liczbę:
ac
b
4
2
.
Współrzędne wierzchołka paraboli:
)
,
( q
p
W
, gdzie
)
(
4
,
2
p
f
a
q
a
b
p
.
Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej zależą od znaku współczynnika a :
dla
0
a
funkcja jest malejąca w przedziale
)
,
(
p
i rosnąca w przedziale
)
,
(
p
,
dla
0
a
funkcja jest rosnąca w przedziale
)
,
(
p
i malejąca w przedziale
)
,
(
p
.
x
a<0
Δ<0
– – –
x
x
0
a<0
Δ=0
– – –
– – –
– –
x
x
1
x
2
a<0
Δ>0
+ + +
– – –
– – –
x
a>0
Δ<0
+ + +
x
x
0
a>0
Δ=0
+ + +
+ + +
+ +
x
x
2
x
1
a>0
Δ>0
+ + +
+ + +
– – –
Definicja.
Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję postaci:
c
bx
ax
x
f
2
)
(
,
a R
c
b,
},
0
{
\
R,
x R.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
41
Przykład.
Narysować wykresy funkcji:
a)
3
2
)
(
2
x
x
x
f
,
b)
3
5
2
)
(
2
x
x
x
f
,
c)
x
x
x
f
3
2
1
)
(
2
,
d)
1
3
)
(
2
x
x
f
.
Wyznaczyć miejsca zerowe i podać zbiór wartości.
Przykład.
Wyznaczyć współczynniki
b
i c trójmianu kwadratowego
c
bx
x
x
f
2
)
(
wiedząc, że
jego miejsca zerowe
2
1
, x
x
spełniają warunki:
24
,
6
2
1
1
x
x
x
.
Rozwiązanie:
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej są rozwiązaniami równania
0
2
c
bx
ax
i ich
ilość zależy od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego:
dla
0
są dwa miejsca zerowe:
a
b
x
2
1
,
a
b
x
2
2
,
dla
0
jest jedno miejsce zerowe:
a
b
p
x
2
0
,
dla
0
miejsca zerowe nie istnieją.
Różne postacie trójmianu kwadratowego:
niech
a R
c
b,
},
0
{
\
R,
x R.
postać ogólna:
c
bx
ax
x
f
2
)
(
,
postać kanoniczna:
q
p
x
a
x
f
2
)
(
)
(
,
postać iloczynowa (tylko dla
)
0
:
dla
0
:
)
)(
(
)
(
2
1
x
x
x
x
a
x
f
, gdzie
a
b
x
2
1
,
a
b
x
2
2
,
dla
0
:
2
)
(
)
(
p
x
a
x
f
.
Wzory Viete’a.
Jeśli równanie
0
2
c
bx
ax
)
0
(
a
ma dwa rozwiązania (
)
,
2
1
x
x
, to:
a
b
x
x
2
1
oraz
a
c
x
x
2
1
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
42
Zadania
zad. 1) Funkcja f określona jest wzorem
3
2
)
(
2
x
x
x
f
a) określić zbiór wartości funkcji f ,
b) określić jej przedziały monotoniczności,
c) znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale
2
,
3
,
d) zapisać wzór funkcji f w postaci kanonicznej i iloczynowej (o ile jest to
możliwe).
zad. 2) Rozwiązać równania:
a)
0
9
4
2
x
,
b)
0
7
2
2
x
x
,
c)
0
5
3
2
x
x
.
zad. 3) Rozwiązać nierówności:
a)
0
16
2
x
,
b)
0
9
12
4
2
x
x
,
c)
0
3
2
2
x
x
.
zad. 4) Funkcje
f i g określone są wzorami
c
x
x
x
f
6
2
)
(
2
i
25
)
(
2
bx
x
x
g
.
Funkcja
f ma jedno miejsce zerowe, zaś funkcja g osiąga największą wartość dla
argumentu
5
. Wyznaczyć współczynniki
b
i c oraz rozwiązać nierówność
0
)
(
4
)
(
x
g
x
f
.
zad. 5) Dane jest równanie
0
1
7
1
2
2
m
m
x
m
x
m
z niewiadomą x . Sporządzić
wykres funkcji
)
(m
f
m
, gdzie
)
(m
f
oznacza liczbę pierwiastków danego
równania.
zad. 6) Dla jakich wartości parametru p równanie
0
2
2
2
p
x
px
ma dwa pierwiastki
mniejsze od 1 ?
zad. 7) Wyznaczyć
te
wartości
parametru
x ,
dla
których
nierówność
0
1
2
2
2
x
p
x
p
x
nie ma rozwiązań.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
43
Zadania do samodzielnego rozwiązania
zad. 1) Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji:
a)
5
3
2
)
(
2
x
x
x
f
,
b)
x
x
x
f
2
6
)
(
,
c)
1
9
)
(
2
x
x
f
,
d)
32
2
)
(
2
x
x
f
.
Odpowiedź:
a)
}
1
;
5
,
2
{
x
,
b)
0
,
6
1
x
,
c)
3
1
,
3
1
x
,
d)
x
.
zad. 2) Zapisać wzór funkcji f w postaci kanonicznej i iloczynowej (o ile jest to możliwe),
wyznaczyć jej miejsca zerowe oraz podać współrzędne wierzchołka paraboli:
a)
3
2
)
(
2
x
x
x
f
,
b)
3
8
2
)
(
2
x
x
x
f
,
c)
x
x
x
f
3
2
1
)
(
2
,
d)
1
3
)
(
2
x
x
f
.
Odpowiedź:
a)
2
)
1
(
)
(
2
x
x
f
,
)
2
,
1
(
W
, barak miejsc zerowych,
b)
)
5
,
2
(
W
; postać kanoniczna:
5
)
2
(
2
)
(
2
x
x
f
, miejsca zerowe:
2
10
4
1
x
oraz
2
10
4
2
x
; postać iloczynowa:
)
(x
f
=
2
10
4
2
10
4
x
x
;
c) Postać iloczynowa:
)
6
(
2
1
)
(
x
x
x
f
; miejsca zerowe:
0
x
oraz
6
x
;
)
5
,
4
;
3
(
W
; postać kanoniczna:
5
,
4
)
3
(
5
,
0
)
(
2
x
x
f
,
d)
)
1
,
0
(
W
; postać kanoniczna:
1
3
)
(
2
x
x
f
; brak miejsc zerowych.
zad. 3) Określić zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności funkcji f określonej
wzorem:
a)
5
2
)
(
2
x
x
f
,
b)
15
8
)
(
2
x
x
x
f
,
c)
4
)
1
(
2
)
(
2
x
x
f
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
44
Odpowiedź:
a)
)
0
,
(
1
f
D
; funkcja jest rosnąca w przedziale
)
0
,
(
i malejąca w przedziale
)
,
0
(
,
b)
]
1
,
(
1
f
D
; funkcja jest rosnąca dla
)
4
,
(
x
i malejąca dla
)
,
4
(
x
,
c)
)
,
4
[
1
f
D
, funkcja jest rosnąca w przedziale
)
,
1
(
i malejąca w przedziale
)
1
,
(
.
zad. 4) Podać wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej wiedząc, że
k
m
x
x
f
2
)
(
)
(
oraz dla argumentu 3 funkcja osiąga wartość największą równą 4.
Odpowiedź:
5
6
)
(
2
x
x
x
f
.
zad. 5) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w podanym przedziale:
a)
]
3
,
0
[
,
5
2
)
(
2
x
x
x
x
f
,
b)
]
1
,
2
[
,
2
)
(
2
x
x
x
f
,
c)
]
3
,
1
[
,
3
)
(
2
x
x
x
x
f
.
Odpowiedź:
a)
6
)
1
(
max
f
f
;
2
)
3
(
min
f
f
,
b)
2
)
2
(
max
f
f
;
1
)
1
(
min
f
f
,
c)
0
)
3
(
max
f
f
;
4
9
2
3
min
f
f
.
zad. 6) Wyznaczyć współczynniki
b
i c trójmianu kwadratowego
c
bx
x
x
f
2
)
(
wiedząc, że jego miejsca zerowe
2
1
, x
x
spełniają warunki:
a)
6
,
3
2
1
2
x
x
x
,
b)
5
,
1
,
5
,
2
2
1
2
x
x
x
.
Odpowiedź:
a)
,
6
1
c
b
b)
.
10
5
,
1
c
b
zad. 7) Rozwiązać równania:
a)
0
12
5
2
2
x
x
,
b)
0
15
5
2
x
x
,
c)
0
2
1
3
1
2
x
x
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
45
Odpowiedź:
a)
5
,
1
4
2
x
x
,
b) brak rozwiązań,
c)
2
3
,
0
x
.
zad. 8) Rozwiązać nierówności:
a)
0
2
2
1
2
x
x
,
b)
0
3
2
2
x
x
,
c)
0
1
4
4
2
x
x
,
d)
0
49
14
2
x
x
,
e)
0
1
5
2
x
.
Odpowiedź:
a)
]
4
,
0
[
x
,
b)
)
,
1
(
)
3
,
(
x
,
c)
}
5
,
0
{
x
,
d)
}
7
{
\
R
x
,
e)
R
x
.
zad. 9) Wyznaczyć współczynniki a i
b
trójmianu kwadratowego
10
)
(
2
bx
ax
x
f
wiedząc, że do jego wykresu należy punkt
)
6
,
1
(
, a jednym z jego miejsc zerowych
jest liczba 2. Dla jakich argumentów funkcja
f przyjmuje wartości dodatnie?
Odpowiedź:
3
,
1
b
a
; funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
)
2
,
5
(
x
.
zad. 10) Dana jest funkcja
1
)
(
2
mx
mx
x
f
. Wyznaczyć wszystkie wartości
m R, dla
których:
a) funkcja
f przyjmuje tylko wartości ujemne,
b) zbiorem wartości funkcji
f jest przedział
)
,
3
[
.
Odpowiedź:
a)
)
0
,
4
(
m
,
b)
}
8
{
m
.