IS Matematyka C S 02 zbiory

background image

Materiały przygotowane w ramach projektu „Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00











Wprowadzenie do matematyki




Materiały do zajęć (2):


Teoria mnogości.





Definicje działań na zbiorach, ich własności i przykłady.

Działania uogólnione.

Iloczyn kartezjański zbiorów.


background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

22

6. Definicje działań na zbiorach, ich własności i przykłady.










Niech

X

B

A

,

.


Powiemy, że:

a)

B

x

A

x

B

A

x

,

b)

B

x

A

x

B

A

x

,

c)

B

x

A

x

B

A

x

\

,

d)

A

x

X

x

A

x

.


Zgodnie z definicją dopełnienia zbioru A w przestrzeni X:

X

A

A

i

A

A

.

Zbiory

X

B

A

,

takie, że

B

A

nazywamy rozłącznymi.


Przykład.
Niech

}

3

2

:

{

x

x

x

A

R

oraz

}

1

4

:

{

x

x

x

B

R

.

Wyznaczyć zbiory:

B

A

A

B

B

A

B

A

B

A

,

,

\

,

\

,

,

.

Odpowiedź:



Definicja.
Dwa zbiory

X

B

A

,

równe

)

(

B

A

wtedy i tylko wtedy, gdy

B

x

A

x

x

.

Definicja.
Zbiór A zawiera się w zbiorze B

)

(

B

A

wtedy i tylko wtedy, gdy

B

x

A

x

x

.

Definicja.

a) Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór:

}

:

{

B

x

A

x

X

x

B

A

.

b) Iloczynem zbiorów A i B nazywamy zbiór:

}

:

{

B

x

A

x

X

x

B

A

.

c) Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór:

}

:

{

\

B

x

A

x

X

x

B

A

.

d) Dopełnieniem zbioru A (do przestrzeni X) nazywamy zbiór

A

X

A

\

.

background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

23







Niech

X

C

B

A

,

,

.


Przykład.
Niech

X

B

A

,

. Wykazać:

a)

)

(

)

(

A

B

B

A

,

b)

B

A

B

A

)

(

.




















Własności działań na zbiorach:

przemienność sumy zbiorów:

A

B

B

A

,

łączność sumy zbiorów:

C

B

A

C

B

A

)

(

)

(

,

A

A

,

przemienność iloczynu zbiorów:

A

B

B

A

,

łączność iloczynu zbiorów:

C

B

A

C

B

A

)

(

)

(

,

A

=

,

rozdzielność iloczynu zbiorów względem sumy:

)

(

)

(

)

(

C

B

C

A

C

B

A

,

rozdzielność sumy zbiorów względem iloczynu:

)

(

)

(

)

(

C

B

C

A

C

B

A

,

Prawa de Morgana dla zbiorów:

dopełnienie sumy zbiorów:

B

A

B

A

)

(

,

dopełnienie iloczynu zbiorów:

B

A

B

A

)

(

.

background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

24

7. Działania uogólnione.

Niech

X

.


W ogólnym przypadku

t

T

t

t

A

x

T

t

A

x

oraz

t

T

t

t

A

x

T

t

A

x

.

Element x należy do zbioru

T

t

t

A

wtedy i tylko wtedy, gdy należy on przynajmniej do

jednego ze zbiorów

t

A dla

T

t

. Z kolei element x należy do zbioru

T

t

t

A

wtedy i tylko

wtedy, gdy należy on do każdego ze zbiorów

t

A dla

T

t

.


Przykład.

Niech

N

n

n

x

n

x

A

n

,

1

1

1

:

R

. Wyznaczyć

N

n

n

A

oraz

N

n

n

A

.


Odpowiedź:








Definicja.
Iloczynem uogólnionym zbiorów

X

A

n

,

N

n

nazywamy zbiór:

n

n

n

n

A

x

n

X

x

A

A

A

A

N

N

:

.....

.....

2

1

.

Definicja.
Sumą uogólnioną zbiorów

X

A

n

,

N

n

nazywamy zbiór:

n

n

n

n

A

x

n

X

x

A

A

A

A

N

N

:

.....

.....

2

1

.

Wybrane własności działań uogólnionych.

T

t

T

t

t

T

t

t

t

t

B

A

B

A

)

(

,

T

t

t

T

t

t

T

t

t

t

B

A

B

A

)

(

,

T

t

t

t

T

t

t

T

t

t

B

A

B

A

)

(

,

T

t

t

T

t

t

T

t

t

t

B

A

B

A

)

(

background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

25


8. Iloczyn kartezjański zbiorów.


Jest to zbiór uporządkowanych par

)

,

( b

a

. Powiemy, że para

B

A

b

a

)

,

(

A

a

(

)

B

b

.

Zbiór

2

A

A

A

.


Przykład.
Zbiór

}

:

)

,

{(

2

R

R

R

R

R

y

x

y

x

jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny.

Zbiór

}

:

)

,

,

{(

3

R

R

R

R

R

R

R

z

y

x

z

y

x

jest zbiorem wszystkich punktów

przestrzeni 3-wymiarowej.
Zbiór

}

},

.....,

,

1

{

dla

:

)

.....,

,

,

(

{

2

1

N

R

R

n

n

i

x

x

x

x

x

i

n

n

jest zbiorem wszystkich

ciągów n elementowych o wyrazach rzeczywistych.

Przykład.
Wyznaczyć zbiory:

2

,

,

A

A

B

B

A

gdy:

a)

2

,

1

,

0

A

,

}

1

,

1

{

B

,

b)

)

2

,

(



A

,

R

B

,

c)

)

3

,

1

[

A

,

N

B

.









Prawa de Morgana:

T

t

t

T

t

t

A

A





,

T

t

t

T

t

t

A

A





.

Iloczyn kartezjański zbiorów nie jest działaniem przemiennym, tzn. jeśli

B

A

, to:

A

B

B

A

.

Definicja.
Niech

B

A,

. Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór

B

b

A

a

b

a

B

A

:

)

,

(

.

background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

26














Przykład.
Wykazać:

)

(

)

(

B

C

D

A

B

A

D

B

C

A

.


Rozwiązanie:















Podstawowe własności iloczynu kartezjańskiego dla zbiorów

C

B

A ,

,

:

Rozdzielność iloczynu kartezjańskiego zbiorów względem sumy mnogościowej:

a)

)

(

)

(

)

(

C

A

B

A

C

B

A

,

b)

)

(

)

(

)

(

A

C

A

B

A

C

B

.

Rozdzielność iloczynu kartezjańskiego zbiorów względem iloczynu mnogościowego:

c)

)

(

)

(

)

(

C

A

B

A

C

B

A

,

d)

)

(

)

(

)

(

A

C

A

B

A

C

B

.

Rozdzielność iloczynu kartezjańskiego zbiorów względem różnicy mnogościowej:

e)

)

(

\

)

(

)

\

(

C

A

B

A

C

B

A

,

f)

)

(

\

)

(

)

\

(

A

C

A

B

A

C

B

.

Łączność iloczynu kartezjańskiego zbiorów:

g)

C

B

A

C

B

A

)

(

)

(

.

background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

27

Zadania


zad. 1) Niech:

a)

 

x

x

x

x

A

1

2

3

2

:

R

,

4

2

:

x

x

B

R

,

b)

0

15

2

:

2

x

x

x

A

R

,

0

6

:

2

x

x

x

B

R

,

c)

0

4

5

:

2

x

x

x

A

R

,

2

6

:

x

x

x

B

R

.

Wyznaczyć:

'

,

'

,

\

,

\

,

,

B

A

A

B

B

A

B

A

B

A

.


zad. 2) Wykazać, że:

a)

'

\

A

B

A

B

,

b)

B

A

A

B

A

\

.


zad. 3) Wyznaczyć uogólnione sumy i iloczyny zbiorów:

a)





n

n

A

n

1

4

,

1

3

,

b)

n

n

B

n

,

1

.


Odpowiedź:

a)

 

4

,

3

N

n

n

A

,

2

7

N

n

n

A

,

b)

,

0

N

n

n

B

,

N

n

n

B

Ø.


zad. 4) Wyznaczyć i narysować:

a)

B

A

,

'

B

A

,

jeżeli

 

5

2

1

2

:

x

x

x

x

x

A

R

,

6

2

:

y

y

y

B

R

,

b)

2

A ,

N

A

,

jeżeli

0

4

:

2

x

x

x

A

R

,

c)

B

A

,

'

B

A

,

A

Z

,


zad. 5) Wykazać ,że:

a)

 

A

C

A

B

A

C

B

,

b)

 

 

C

A

B

A

C

B

A

,

c)

 

C

B

C

A

C

B

A

\

\

.







background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

28

Zadania do samodzielnego rozwiązania


zad. 1) Niech:

a)

  

6

,

3

3

,

6

A

,

  

4

,

0

1

,

5

B

,

b)

4

,

3

:

2

x

x

x

A

R

,

19

,

7

4

3

:

x

x

B

R

.

Wyznaczyć:

'

,

'

,

\

,

\

,

,

B

A

A

B

B

A

B

A

B

A

.


Odpowiedź:

a)

 

6

,

0

1

,

6

B

A

,

 

4

,

3

3

,

5

B

A

,

  

6

,

4

5

,

6

\

B

A

,

  

3

,

0

1

,

3

\

A

B

,

 

 

,

6

3

,

3

6

,

'

A

,

 

 

,

4

0

,

1

5

,

'

B

b)







2

5

,

4

B

A

,

1

,

4

B

A

,

 

4

\

B

A

,

A

B \

Ø,

 

,

1

4

,

'

A

,

,

2

5

4

,

'

B

.


zad. 2) Wykazać, że:

a)

 

 

C

A

B

A

C

B

A

,

b)

'

'

'

B

A

B

A

.


zad. 3) Wyznaczyć uogólnione sumy i iloczyny zbiorów:

a)





n

n

A

n

1

1

,

1

1

,

b)

 

n

x

x

B

n

cos

:

R

,

c)

n

n

C

n

1

1

,

1

.


Odpowiedź:

a)

 

2

,

0

N

n

n

A

,

 

1

N

n

n

A

,

b)

1

,

1

N

n

n

B

,

N

n

n

B

Ø,

c)

2

,

1

N

n

n

C

,

 

1

,

0

N

n

n

C

.


zad. 4) Wyznaczyć i narysować:

a)

B

A

,

2

A ,

B

Z

,

jeżeli

4

,

0

3

,

A

,

 

7

,

4

3

2

,

1

B

.

b)

B

A

,

'

B

A

,

B

A

'

,

2

B ,

jeżeli



0

4

3

:

x

x

x

A

R

,



0

3

2

:

x

x

y

B

R

.




background image

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki


© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

29

Odpowiedź:

a)

 

 

7

,

4

3

2

,

1

4

,

0

3

,

:

,

2

y

x

y

x

B

A

R

,

 

4

,

0

3

,

4

,

0

3

,

:

,

2

2

y

x

y

x

A

R

,

 

 

7

,

4

3

2

,

1

:

,

2

y

x

y

x

B

Z

R

Z

,

b)

 

2

,

3

3

,

4

:

,

2

y

x

y

x

B

A

R

,

 

,

2

3

,

3

,

4

:

,

'

2

y

x

y

x

B

A

R

,

 

 

2

,

3

,

3

4

,

:

,

'

2

y

x

y

x

B

A

R

;

2

2

2

,

3

B

.


zad. 5) Wykazać ,że:

a)

 

 

C

A

B

A

C

B

A

,

b)

 

 

C

A

B

A

C

B

A

\

\

.







Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
IS Matematyka C S 02 zbiory
(eBook PL,matura, kompedium, nauka ) Matematyka liczby i zbiory maturalne kompedium fragmid 1287
02 zbiory
IS Matematyka C S 05 wielomiany f wymierna
MATEMATYKA 02 11 a
I termin egzaminu z matematyki 02-02-2012 a
(ebook www zlotemysli pl) matematyka liczby i zbiory fragment SND7V2NOR73QD3JRQ75UWH4XKVNLOJUPK2O5
I termin egzaminu z matematyki 02-02-2012 b, Barbasze IMiR mibm
Złote Myśli Matematyka liczby i zbiory
Matematyka liczby i zbiory Maturalne repetytorium z matematyki MATURA
Matematyka liczby i zbiory fragment
Matematyka liczby i zbiory fragment
IS Matematyka C S 06 f trygonometryczne
MATEMATYKA - 3B - zbiory, matematyka
Matematyka liczby i zbiory fragment
I termin egzaminu z matematyki 02-02-2012 c
I termin egzaminu z matematyki 02-02-2012, Barbasze IMiR mibm
Matematyka liczby i zbiory
Maturalne repetytorium z matematyki liczby i zbiory fragment

więcej podobnych podstron