1

Zbiory. Funkcja kwadratowa. Wzory Viete’a. R´

ownania i

nier´

owno´

sci stopnia drugiego z parametrem.

Przygotowa la Izabela Wardach

1

ZBIORY. Definicje:
Zbi´

or - poj¸

ecie pierwotne. Je˙zeli a ∈ A to a nazywamy elementem zbioru A. Symbolem

{a

1

, a

2

, ..., a

n

} , a

i

6= a

j

dla i 6= j, oznaczamy zbi´

or o n elementach: a

1

,a

2

,...,a

n

.

Jest to

zbi´

or sko´

nczony, n-elementowy. Zbi´

or jednoelementowy, oznaczany jako {a}, zbi´

or,

do kt´

orego nale˙zy dok ladnie jeden element a. Zbi´

or pusty - ∅ - zbi´

or, do kt´

orego nie nale˙zy

˙zaden element.

R´

owno´

s´

c zbior´

ow A = B

A = B ⇒ ∧

x

(x ∈ A ⇔ x ∈ B)

(1)

Suma zbior´

ow A ∪ B

[a ∈ (A ∪ B) ⇒ [(a ∈ A ∨ a ∈ B)]

(2)

Iloczyn zbior´

ow A ∩ B

[a ∈ (A ∩ B) ⇒ [(a ∈ A ∧ a ∈ B)]

(3)

R´

o˙znica zbior´

ow A − B

[a ∈ (A − B) ⇒ [(a ∈ A ∧ a /

∈ B)]

(4)

Inkluzja A ⊂ B

A ⊂ B ⇔ ∧

x

[x ∈ A ⇒ x ∈ B]

(5)

Dope lnienie A’ zbioru A przestrzeni X

a ∈ A’ ⇔ [(a ∈ X) ∧ (a /

∈ A)]

(6)

Przyk lady praw rachunku zbior´

ow:

1. przemienno´

s´

c dodawania

A ∪ B = B ∪ A

2. przemienno´

s´

c mno˙zenia

A ∩ B = B ∩ A

3. l¸

aczno´

s´

c dodawania

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

4. l¸

aczno´

s´

c mno˙zenia

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

1

na podstawie:

1. W.Leksi´

nski, B.Macukow, W. ˙

Zakowski Matematyka dla maturzyst´

ow - definicje, twierdzenia, wzory,

przyk lady, WNT, Warszawa 1994.

2. W. ˙

Zakowski Matematyka dla kandydat´

ow na wy˙zsze uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT,

Warszawa 1994.

1

5. rozdzie lno´

s´

c mno˙zenia wzgl¸

edem dodawania

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

6. rozdzie lno´

s´

c dodawania wzgl¸

edem mno˙zenia

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

7. prawa de Morgana dla zbior´

ow

(A ∪ B)

0

= A

0

∩ B

0

(A ∩ B)

0

= A

0

∪ B

0

FUNKCJA KWADRATOWA.
Funkcj¸

e

y = ax

2

+ bx + c,

x ∈ R,

a 6= 0,

b, c − dane

(7)

nazywamy funkcj¸

a kwadratow¸

a tak˙ze funkcj¸

a drugiego stopnia lub tr´

ojmianem kwadra-

towym.

Rozwi¸

azania r´

ownania kwadratowego:

ax

2

+ bx + c = 0,

(a 6= 0)

Wyr´

o˙znik tr´

ojmianu kwadratowego: ∆ = b

2

− 4ac

• ∆ > 0 dwa rozwi¸

azania:

x

1

=

−b−

√

∆

2a

,

x

2

=

−b+

√

∆

2a

,

• ∆ = 0 jedno rozwi¸azanie:

x

0

=

−b

2a

,

• ∆ < 0 brak rozwi¸

aza´

n.

Posta´

c iloczynowa tr´

ojmianu kwadratowego:

• je´sli tr´

ojmian ma dwa pierwiastki x

1

i x

2

, to:

y = a(x − x

1

)(x − x

1

),

• je´sli tr´

ojmian ma jeden pierwiastek x

0

, to:

y = a(x − x

0

)

2

,

• je´sli tr´

ojmian nie ma pierwiastk´

ow, to nie mo˙zna go zapisa´

c w postaci iloczynowej.

Posta´

c kanoniczna tr´

ojmianu kwadratowego:

• y = a(x − p)

2

+ q

p =

−b

2a

,

q =

−∆

4a

.

Uwaga: Wykres funkcji y = a(x − p)

2

+ q otrzymamy rysuj¸

ac wykres y = ax

2

i przesuwaj¸

ac

go nast¸epnie o wektor ~

u = [p, q]

Wzory Viete’a:
je´

sli r´

ownanie ax

2

+ bx + c = 0 (a 6= 0) ma dwa rozwi¸

azania x

1

i x

2

, to:

2

x

1

+ x

2

=

−b

a

,

x

1

x

2

=

c

a

.

Nier´

ownano´

sci kwadratowe z jedn¸

a niewiadom¸

a (nier´

owno´

sci II-go stopnia)

ax

2

+ bx + c < 0,

ax

2

+ bx + c > 0,

ax

2

+ bx + c ≤ 0,

ax

2

+ bx + c ≥ 0,

a 6= 0

zbiorem rozwi¸

aza´

n takich nier´

owno´

sci jest:

• dla ax

2

+ bx + c < 0, a > 0, ∆ > 0, x

1

< x

2

x ∈ (x

1

; x

2

)

• dla ax

2

+ bx + c ≤ 0, a > 0, ∆ > 0, x

1

< x

2

x ∈ hx

1

; x

2

i

• dla ax

2

+ bx + c < 0, a > 0, ∆ ≤ 0,

x ∈ ∅

• dla ax

2

+ bx + c ≤ 0, a > 0, ∆ = 0,

x = x

0

• dla ax

2

+ bx + c ≤ 0, a > 0, ∆ < 0,

x ∈ ∅

• dla ax

2

+ bx + c < 0, a < 0, ∆ > 0, x

1

< x

2

x ∈ (−∞, x

1

) ∪ (x

2

, +∞)

• dla ax

2

+ bx + c ≤ 0, a < 0, ∆ > 0, x

1

< x

2

x ∈ (−∞, x

1

i ∪ hx

2

, +∞)

• dla ax

2

+ bx + c < 0, a < 0, ∆ < 0,

x ∈ R

• dla ax

2

+ bx + c < 0, a < 0, ∆ = 0,

x ∈ (−∞, x

0

) ∪ (x

0

, +∞)

• dla ax

2

+ bx + c ≤ 0, a < 0, ∆ = 0,

x ∈ R

• dla ax

2

+ bx + c ≤ 0, a < 0, ∆ < 0,

x ∈ R

• dla ax

2

+ bx + c > 0, a > 0, ∆ > 0, x

1

< x

2

x ∈ (−∞, x

1

) ∪ (x

2

, +∞)

• dla ax

2

+ bx + c ≥ 0, a > 0, ∆ > 0, x

1

< x

2

x ∈ (−∞, x

1

i ∪ hx

2

, +∞)

• dla ax

2

+ bx + c > 0, a > 0, ∆¯

0,

x ∈ (−∞, x

0

) ∪ (x

0

, +∞)

• dla ax

2

+ bx + c > 0, a > 0, ∆0,

x ∈ R

3

• dla ax

2

+ bx + c ≥ 0, a > 0, ∆ = 0,

x = x

0

• dla ax

2

+ bx + c ≥ 0, a > 0, ∆ < 0,

x ∈ R

• dla ax

2

+ bx + c > 0, a < 0, ∆ > 0, x

1

< x

2

x ∈ (x

1

, x

2

)

• dla ax

2

+ bx + c ≥ 0, a < 0, ∆ > 0, x

1

< x

2

x ∈ hx

1

, x

2

i

• dla ax

2

+ bx + c > 0, a < 0, ∆ ≤ 0,

x ∈ ∅

• dla ax

2

+ bx + c ≥ 0, a < 0, ∆ = 0,

x = x

0

• dla ax

2

+ bx + c ≥ 0, a < 0, ∆ < 0,

x ∈ ∅

4