Matu

t ra

r 2

0

2 05

0

ZADANIA DO POWTARZANIA PRZED MATURĄ

Zestaw III Wielomiany i funkcje wymierne Zadanie 1.

Akwizytor otrzymał dwie oferty zatrudnienia, w firmach A i B. Firma A oferuje stałą miesięczną pensję 2500 zł i prowizję stanowiącą 8% kwoty miesięcznej sprzedaży. Natomiast firma B oferuje stałą miesięczną pensję 2000 zł i prowizję stanowiącą 10% kwoty miesięcznej sprzedaży. Przy ja-kiej kwocie sprzedaży akwizytor zarabiałby więcej w firmie B niż w firmie A?

Zadanie 2.

Zbadaj dla jakich wartości parametrów m, n układ równań:

5 x + ( m − )

1 y = 3 n



 x − 2 y = 3

ma dokładnie jedno rozwiązanie, a dla jakich nie ma rozwiązań. Znajdź to jedno rozwiązanie.

Zadanie 3.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej f .

Znajdź:

a) największą wartość funkcji f w zbiorze liczb rzeczywistych R,

b) najmniejszą wartość funkcji f w przedziale − 1

;

3

.

Zadanie 4.

Mając dane funkcje: f ( x) 2

= x − 2 x − 8 oraz g( x) = 2 x − 3, rozwiąż graficznie nierówność g( x) ≥ f ( x).

Zadanie 5.

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n, liczba: n 3 3 + n

3 2 − 6 n jest podzielna przez 6.

Zadanie 6.

Wiadomo, że liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu: W ( x) 4

= x + 3 3

x − 3 2

x − x + 2 .

a) Zbadaj, czy ten wielomian ma jeszcze inne pierwiastki rzeczywiste.

b) Rozwiąż nierówność W ( x) ≥ 0 .

Zadanie 7.

Uzasadnij, że jeśli do licznika ułamka 2 dodamy dowolną liczbę naturalną parzystą, a do mianow-3

nika liczbę stanowiącą 150% liczby dodanej do licznika, to otrzymamy ułamek równy 2 .

3

Zadanie 8.

2 x −1

Rozwiąż graficznie równanie:

= 4 − x .

x + 2

Zadanie 9.

x − 5

Zbadaj, dla jakich wartości parametru a dziedziną funkcji: f ( x) =

jest zbiór

x 4 + (3 − a) x 2 − a 3

wszystkich liczb rzeczywistych.

Zadania dla poziomu rozszerzonego są wyróżnione kursywą.

Matu

t ra

r 2

0

2 05

0

Zadanie 10.

Uzasadnij, że po rozwinięciu potęgi ( x −

)7

3

3 x otrzymamy wielomian, w którym zmienna x wystę-

puje tylko w potęgach o wykładnikach nieparzystych i którego wszystkie współczynniki są niepa-rzyste.

Matu

t ra

r 2

0

2 05

0

Odpowiedzi:

1. k > 25000



3 m + 6 n −

x =

3



m + 9

2. Dla m = 9

− , n ∈ R − układ ma dokładnie jedno rozwiązanie: 



3 n −15

 y =



m + 9

Gdy m = 9

− i n ≠ 5 − układ nie ma rozwiązań.

3. a) f

( 3

− = b) f (− )

3 = −7

max

) 25

4

8

4. x ∈ − ,

1 5

5. Wskazówka: Najpierw wykaż, że 3 3

n + 3 2

n − 6 n = 3 n( n + 2)( n − ) 1 , a następnie zauważ, że n

i n – 1 to kolejne liczby naturalne.

6. a) Ma jeszcze dwa pierwiastki: x = − , 1 x = 2

−

2

3

b) W ( x) ≥ ,

0 d

l

a x ∈ (− ∞, − 2 ∪ − ,

1 + ∞)

2 + 2 n

2

7.

=

3 + 3 n

3

8. x = − ,

3 x = 3

1

2

9. Dla a < 0

 7 

k

 7

−



k

−

10. Po rozwini

3

7

7 k

k +

ęciu wielomian ma składniki postaci:  ( x ) (3 x)

=  (3)

2

7

x

. Stąd wynika

 k 

 k 

teza.